Slaan oor na inhoud

Lineêr-elastiese statiese analise (Inleiding)

Hierdie afdeling gee die formulering van elastiese statiese analise gebaseer op infinitesimale vervormingsteorie. Lineêre elastisiteit word vir die spanning-vervormingsverband aanvaar. Hierdie hoofstuk is bedoel as ’n inleiding om die algehele struktuur van eindige-element-struktuuranalise te verstaan en is as ’n selfstandige hoofstuk georganiseer.

Vir die algemene teorie van die beginsel van virtuele arbeid (vorm in die huidige konfigurasie, vorm in die aanvanklike konfigurasie en reduksie tot infinitesimale vervorming), sien Beginsel van virtuele arbeid; vir besonderhede van die lineêr-elastiese konstitutiewe wet, sien Lineêre elastisiteit; vir konvensies van tensor- en Voigt-notasie, sien Tensornotasie en wiskundige grondbeginsels; vir die algemene formulering van eindige vervorming, sien Beweging, vervorming en rek; en vir oplossingsmetodes vir nie-lineêre probleme, sien Raaklynstyfheidsmatriks.

Basiese vergelykings

Onder die aannames van infinitesimale vervorming en lineêre elastisiteit bestaan die grenswaardeprobleem in vastestofmeganika uit die ewewigsvergelyking, meganiese randvoorwaardes en geometriese randvoorwaardes (essensiële randvoorwaardes) (sien Figuur 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{op} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{op} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Hier is \(\boldsymbol{\sigma}\) die Cauchy-spanning, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) die liggaamskrag per volume-eenheid, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) die voorgeskrewe oppervlaktraksie, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) die voorgeskrewe verplasing, en \(S_t, S_u\) die meganiese en geometriese grense.

Grenswaardeprobleem in vastestofmeganika (infinitesimale-vervormingsprobleem)

Figuur 2.1.1 Grenswaardeprobleem in vastestofmeganika (infinitesimale-vervormingsprobleem)

Met die simmetriese gradiëntoperator is die vervorming-verplasingsverband

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Die lineêr-elastiese konstitutiewe vergelyking is

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

waar \(\boldsymbol{C}\) die vierde-orde-elastisiteitstensor is.

Beginsel van virtuele arbeid

Die algemene vorme van die beginsel van virtuele arbeid (vorm in die huidige konfigurasie, vorm in die aanvanklike konfigurasie en reduksie tot infinitesimale vervorming) word in Beginsel van virtuele arbeid opgesom. Onder die aannames van infinitesimale vervorming en lineêre elastisiteit is die swak vorm

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{op} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Deur die konstitutiewe vergelyking \eqref{eq:2.1.5} te substitueer en in Voigt-notasie \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) te skryf, kry ons die vorm wat direk vir diskretisering gebruik word:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

word verkry, waar \(D\) die elastiese matriks is wat in Lineêre elastisiteit gedefinieer word. Vergelykings \eqref{eq:2.1.10} en \eqref{eq:2.1.7} vorm die beginsel van virtuele arbeid wat hieronder gediskretiseer word.

Diskretisering en samestelling van die globale vergelyking

Diskretisering van die beginsel van virtuele arbeid in Vgl.\( \eqref{eq:2.1.10} \) oor die eindige elemente gee

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Vir elke element word die verplasingsveld met die verplasings van die nodusse waaruit die element bestaan soos volg geïnterpoleer.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Die vervorming word dan met Vgl.\(\eqref{eq:2.1.4}\) soos volg gegee.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Substitusie van Vgls.\(\eqref{eq:2.1.12}\) en \(\eqref{eq:2.1.13}\) in Vgl.\(\eqref{eq:2.1.11}\) gee

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Vergelyking \(\eqref{eq:2.1.14}\) kan geskryf word as

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Hier kan die komponente van die matriks en vektor wat deur Vgls.\(\eqref{eq:2.1.16}\) en \(\eqref{eq:2.1.17}\) gedefinieer word, vir elke eindige element bereken en deur superposisie saamgestel word.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Omdat Vgl.\(\eqref{eq:2.1.15}\) vir ’n willekeurige virtuele verplasing \(\delta \boldsymbol{U}\) geld, word die volgende vergelyking verkry.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Intussen word die verplasingsrandvoorwaarde in Vgl.\(\eqref{eq:2.1.3}\) soos volg uitgedruk.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Deur Vgl.\(\eqref{eq:2.1.18}\) onder die beperkingsvoorwaarde in Vgl.\(\eqref{eq:2.1.19}\) op te los, kan die nodale verplasing \(\boldsymbol{U}\) bepaal word.

Sien ook