Slaan oor na inhoud

Elastoplastisiteit

Hierdie hoofstuk beskryf die raamwerk van die elastoplastiese konstitutiewe wet wat deur FrontISTR gebruik word. Vir besonderhede oor keuse en invoerspesifikasies, sien 03_material in die Funksie-afdeling.

Verskynsel (plastiese vervorming)

TBD (moet in die volgende fase geskryf word).

Raamwerk van die konstitutiewe wet

FrontISTR gebruik ’n elastoplastiese konstitutiewe vergelyking gebaseer op ’n geassosieerde vloeiwet. Die konstitutiewe vergelyking druk die verband tussen die Jaumann-tempo van Kirchhoff-spanning en die vervormingstempotensor uit, en die vervormingsanalise gebruik die bygewerkte Lagrange-formulering.

Neem aan dat die vloeikriterium van ’n elastoplastiese materiaal soos volg gegee word.

Aanvanklike vloeikriterium:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Daaropvolgende vloeikriterium:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

waar

  • \(F\): vloeifunksie
  • \(\sigma_{y_0}\): aanvanklike vloeispanning
  • \(\sigma_y\): daaropvolgende vloeispanning
  • \(\sigma\): spanningstensor
  • \(e\): infinitesimale rektensor
  • \(e^p\): plastiese rektensor
  • \(\overline{e}^p\): ekwivalente plastiese rek

Daar word aanvaar dat die verband tussen vloeispanning en ekwivalente plastiese rek saamval met die verband tussen spanning en plastiese rek onder ’n eenassige toestand.

Spanning–plastiese-rek-verband onder ’n eenassige toestand

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

waar \(H'\) die rekverhardingsmodulus is.

Ekwivalente-spanning–ekwivalente-plastiese-rek-verband

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Oor die algemeen is die daaropvolgende vloeifunksie ’n funksie van temperatuur en plastiese-rek-arbeid, maar vir eenvoud word hier aanvaar dat dit slegs ’n funksie van die ekwivalente plastiese rek \(\overline{e}^p\) is. Gedurende die verloop van plastiese vervorming moet \(F = 0\) steeds geld, en daarom moet die volgende vergelyking bevredig word.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Hier dui \(\dot{F}\) die tydafgeleide van \(F\) aan. Hierna word die tydafgeleide van ’n grootheid \(A\) deur \(\dot{A}\) aangedui.

Neem die bestaan van ’n plastiese potensiaal \(\Theta\) aan en druk die plastiese reksnelheid met die volgende vergelyking uit.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Hier is \(\dot{\lambda}\) ’n koëffisiënt.

Verder, met die aanname dat die plastiese potensiaal \(\Theta\) gelyk is aan die vloeifunksie \(F\), word die volgende geassosieerde vloeireël gebruik.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Vervanging van hierdie vergelyking in die konsistensievoorwaarde gee die volgende vergelyking.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Hier is \(D\) die elastisiteitsmatriks, en

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Die elastoplastiese spanning–rek-verband kan soos volg geskryf word.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Sodra die vloeifunksie \(F\) van die elastoplastiese materiaal bekend is, word die konstitutiewe vergelyking daarvan uit hierdie uitdrukking verkry.

Vloeifunksies

Die elastoplastiese vloeifunksies wat deur FrontISTR gebruik word, word hieronder gelys.

Von Mises-vloeifunksie

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Hier is \(J_2\) die tweede invariant van die deviatore spanningstensor.

Mohr-Coulomb-vloeifunksie

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Hier is \(\sigma_1, \sigma_3\) die maksimum en minimum hoofspannings, \(c\) die kohesie en \(\phi\) die interne wrywingshoek.

Drucker-Prager-vloeifunksie

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Hier word die materiaalkonstantes \(\alpha\) en \(\sigma_y\) soos volg uit die materiaalkohesie en wrywingshoek bereken.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Verwante onderwerpe