Slaan oor na inhoud

Kruip

Hierdie hoofstuk behandel die kruipkonstitutiewe wet wat deur FrontISTR gebruik word. Sien die funksie-afdeling 03_material vir besonderhede oor keuse en invoerspesifikasie.

Kruipverskynsel en additiewe rekontbinding

Tydafhanklike verplasing onder ’n konstante spanningstoestand is ’n verskynsel wat “kruip” genoem word.

Die visko-elastiese gedrag wat hierbo beskryf is, kan ook as ’n tipe lineêre kruipverskynsel beskou word. Hier word verskeie nie-lineêre kruipgedraginge beskryf. ’n Algemene benadering is om die konstitutiewe verhouding te vorm deur hierdie gedrag by die rek wat oombliklik ontstaan te voeg, en die rek wat ophoop terwyl ’n gegewe konstante las voortduur as die kruiprek \(\varepsilon^c\) te definieer. ’n Konstitutiewe verhouding wat kruip in ag neem, word gewoonlik uitgedruk met die kruiprektempo \(\dot{\varepsilon}^c\), gedefinieer as ’n funksie van spanning en die totale kruiprek.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

As die rek wat oombliklik ontstaan die elastiese rek \(\varepsilon^e\) is, word die totale rek as die volgende som, insluitend die kruiprek, uitgedruk.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

waar

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) is die elastisiteitskoëffisiënttensor).

Norton-wet

As ’n spesifieke kruipkonstitutiewe wet gebruik FrontISTR die volgende Norton-model. In hierdie konstitutiewe wet word die ekwivalente kruiprektempo \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) as ’n funksie van die Mises-spanning \(q\) en tyd \(t\) uitgedruk.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Hier is \(A\), \(m\), \(n\) materiaalkonstantes.

Tydintegrasie en spanningsopdatering

Soos met plastiese materiale moet ’n numeriese tydintegrasiemetode vir ’n konstitutiewe wet wat kruip toon, gespesifiseer word. Die konstitutiewe verhouding wanneer kruip in ag geneem word, is

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

waar \(\beta_{n+\theta}\)

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

is. Die kruiprekinkrement \(\Delta \varepsilon^c\) word verder deur die vereenvoudigde nie-lineêre vergelyking

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

gegee.

In Newton-Raphson-iterasieberekening, met \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) as die beginwaarde en die rekinkrement wat uit die eindige-elementmetode verkry word, word die iteratiewe oplossing en inkrementoplossing deur die volgende vergelyking gegee.

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

waar

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

is. Wanneer iterasie uitgevoer word totdat die residu \(R\) \(\mathbf{0}\) word, word die spanning \(\sigma_{n+1}\) en die tangensiële modulus

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

gebruik.

Verwante items