Slaan oor na inhoud

Vormfunksies en eindige-elementbenadering

Om die swak vorm van die beginsel van virtuele arbeid berekeningsmatig te hanteer, word die liggaamsdomein in ’n eindige aantal elemente verdeel, en die materiaalpuntkoördinate, verplasing en toetsfunksie binne elke element word uit noduswaardes en vormfunksies geïnterpoleer. Ruimtelike afgeleides van die vormfunksies word in Ruimtelike afgeleides van vormfunksies behandel, diskretisering van die swak vorm in Diskretisering van interne virtuele arbeid, en die spesifieke vorme van vormfunksies vir elke elementtipe in Elementnommeringstelsel en vormfunksiebiblioteek en daaropvolgende afdelings.

Domeinverdeling en elementgewyse somme van integrale

Die domein \(\Omega_0\) in die verwysingskonfigurasie en die domein \(\Omega\) in die huidige konfigurasie word onderskeidelik benader deur die verenigings van elemente \(\Omega^e_0\) en \(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) is die elementnommer, en elementgrense word tussen aangrensende elemente gedeel.) Dit ontbind die volume- en oppervlakintegrale in die beginsel van virtuele arbeid in somme van integrale oor individuele elemente:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Dieselfde geld vir die huidige konfigurasie deur \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) en \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) te vervang.) Hierna word die evaluering van die swak vorm gereduseer tot die konstruksie van integrale op ’n element-vir-element-basis.

Interpolasie met noduswaardes en vormfunksies (isoparametriese elemente)

Aan elke element \(\Omega^e_0\) word \(n_e\) nodusse toegeken. Laat die verwysingskonfigurasiekoördinate en nodusverplasings van elementnodus \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) onderskeidelik \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) wees. Die element-nodusvektore \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) en \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) word gevorm deur hierdie waardes te rangskik; uit die globale nodusvektore \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) is die totale aantal nodusse) word slegs die komponente onttrek van die nodusse wat element \(e\) vorm.

Met die natuurlike koördinate \(\boldsymbol{r}\), wat plaaslike koördinate binne die element is, as parameters, interpoleer die vormfunksies \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) die materiaalkoördinate, verplasing en toetsfunksie binne die element met dieselfde vormfunksies (isoparametriese element en Galerkin-metode):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Die vormfunksies word gekonstrueer om die volgende twee eienskappe te bevredig, en die elementgeometrie word so gekies dat die afbeelding \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) van natuurlike koördinate na materiaalkoördinate een-tot-een binne die element is:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) is die punt in natuurlike koördinate wat met nodus \(\alpha\) ooreenstem, en \(\delta_{\alpha\beta}\) is die Kronecker-delta.) Die eerste vergelyking waarborg reproduksie van styf-liggaamtranslasie, en die tweede waarborg dat die geïnterpoleerde waarde by elke nodus met die noduswaarde saamval. Die spesifieke vorme van \(n_e\) en \(N_\alpha^e\) vir elke elementtipe word in Elementnommeringstelsel en vormfunksiebiblioteek en daaropvolgende afdelings gegee. Om omslagtige notasie te vermy, word afhanklikheid van die elementtipe deur die elementgewyse boskrif \(e\) voorgestel.

Met die interpolasiereëls hierbo kan die integrand van die swak vorm uitsluitlik in terme van die element-noduswaardes \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) en \(N_\alpha^e\) uitgedruk word. Rek word daarenteen afgelei uit die geïnterpoleerde verplasing en die rek-verplasingsverhouding, terwyl spanning uit daardie rek en die materiaalkonstitutiewe wet afgelei word; hierdie groothede word nie direk uit noduswaardes geïnterpoleer nie. Hulle word by integrasiepunte binne die element geëvalueer (Numeriese integrasie).

Rangskikkingsreël vir globale nodusvektore

Fisiese groothede wat aan nodusse toegeken is, word in die globale nodusvektor in stygende volgorde van nodusnommer → vryheidsgraad gerangskik. Indien by nodus \(\alpha\) die vryheidsgraadkomponent \(i\) deur \(u_{i\alpha}\) aangedui word, dan onderskeidelik in drie dimensies (\(i=1,2,3\)) en twee dimensies (\(i=1,2\)),

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Die koördinate \(\boldsymbol{X}^n\) en die toetsfunksie \(\delta\boldsymbol{u}^n\) volg dieselfde rangskikking. Hierna word afleidings in matriks- en vektorvorm geskryf met die driedimensionele geval as verteenwoordigend.

Verwante onderwerpe