Slaan oor na inhoud

Diskretisering van interne virtuele arbeid

Die virtuele-arbeidsvergelyking op tyd \(t + \Delta t\) wat in Raamwerk van inkrementele analise aangebied word, neem twee vorme aan, die Bygewerkte Lagrange- en Totale Lagrange-formulerings, afhangend van die keuse van verwysingskonfigurasie. In hierdie hoofstuk word die eindige-elementbenadering wat in Vormfunksies en eindige-elementbenadering en Ruimtelike afgeleides van vormfunksies bekendgestel is, gebruik om die interne virtuele arbeid van albei formulerings ruimtelik te diskretiseer en die element-internekragvektore \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) en \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL) te verkry.

Vir element \(e\), laat die samestellende nodusse \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) wees; laat die verplasings \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) wees, en rangskik die element-nodusverplasingsvektor as \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Die virtuele verplasing \(\delta \boldsymbol{u}^e\) word in dieselfde volgorde gedefinieer. Die verplasing binne die element word deur die vormfunksies geïnterpoleer as \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Interne virtuele arbeid in die Bygewerkte Lagrange-formulering

In die Bygewerkte Lagrange-formulering word die huidige konfigurasie \({}^{t}\Omega\) op tyd \(t\) as die verwysingskonfigurasie gebruik, en die interne virtuele arbeid word in terme van die Cauchy-spanning \(\boldsymbol{\sigma}\) en die lineêre deel van die Almansi-rek \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) geskryf as

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Elke komponent van \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) kan, met gebruik van die huidige-konfigurasiekoördinate \(\boldsymbol{x}\), uitgedruk word as ’n lineêre kombinasie van die vormfunksie-afgeleides \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) en die nodusvirtuele verplasings \(\delta u^e_{i\alpha}\). In Voigt-notasie kan dit saamgevoeg word as

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Die nodusblok \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) word gevorm deur \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) volgens die Voigt-konvensie in ’n \(6 \times 3\)-matriks te rangskik, en \(\boldsymbol{B}_L\) is die rek-verplasingsmatriks vir die UL-formulering. Vervanging hiervan in die interne virtuele arbeid en uitfaktorisering van \(\delta \boldsymbol{u}^e\) gee

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Vir \(\boldsymbol{q}^e\) is die nodusblok \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) die interne krag van element \(\Omega^e\) wat op samestellende nodus \(\alpha\) inwerk.

Interne virtuele arbeid in die Totale Lagrange-formulering

In die Totale Lagrange-formulering word die aanvanklike konfigurasie \(\Omega_0\) as die verwysingskonfigurasie gebruik, en die interne virtuele arbeid word in terme van die tweede Piola-Kirchhoff-spanning \(\boldsymbol{S}\) en die Green-Lagrange-rek \(\boldsymbol{E}\) geskryf as

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Die variasie \(\delta \boldsymbol{E}\) word geskei in ’n term lineêr in die virtuele verplasing en ’n nie-lineêre term wat produkte met die huidige verplasingsgradiënt \(\partial u_k/\partial X_j\) bevat:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Die lineêre term kan geskryf word deur dieselfde rangskikkingsreël as in die UL-formulering op \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) toe te pas, wat die nodusblok \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) gee:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Slegs die samestellende afgeleides verander van \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) na \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) vanweë die verskillende verwysingskonfigurasie; dieselfde simbool as in die UL-formulering word gebruik. Die nie-lineêre term gebruik produkte van die huidige verplasingsgradiënt \(\partial u_k/\partial X_j\) en \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), volgens die Voigt-konvensie gerangskik om die nodusblok \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) te vorm:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Dus is \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), en \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) is die rek-verplasingsmatriks vir die TL-formulering. Vervanging hiervan in die interne virtuele arbeid gee

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Die nodusblok \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) is die interne krag van element \(\Omega^e_0\) wat op samestellende nodus \(\alpha\) inwerk.

Ooreenstemming tussen UL/TL en berekeningsvloei

Die element-internekragvektore in die Bygewerkte Lagrange- en Totale Lagrange-formulerings stem soos volg ooreen.

Item Bygewerkte Lagrange-formulering Totale Lagrange-formulering
Verwysingskonfigurasie Huidige konfigurasie \({}^{t}\Omega^e\) Aanvanklike konfigurasie \(\Omega^e_0\)
Spanningstensor Cauchy-spanning \(\boldsymbol{\sigma}\) Tweede PK-spanning \(\boldsymbol{S}\)
Rekvariasie \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B-matriks \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Element-internekrag \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Albei word met dieselfde prosedure verwerk: konstrueer \(\boldsymbol{B}_L\) uit die ruimtelike afgeleides van die vormfunksies; konstrueer en voeg in die TL-formulering \(\boldsymbol{B}_{NL}\) uit die huidige verplasingsgradiënt by; werk die spanning (\(\boldsymbol{\sigma}\) of \(\boldsymbol{S}\)) volgens die konstitutiewe wet by; en integreer \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) of \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) numeries oor die elementdomein by die integrasiepunte (Numeriese integrasie). Behalwe vir die omskakeling van die verwysingskonfigurasie (noduskoördinate en konstruksie van die \(\boldsymbol{B}\)-matriks) en die vervanging van die spanningstensor, is die verwerking gemeenskaplik, daarom implementeer FrontISTR die internekragberekeninge vir albei formulerings met gemeenskaplike subroetines. Samestelling van die element-internekragvektore \(\boldsymbol{q}^e\) en \(\boldsymbol{Q}^e\) in die globale internekragvektor word in Eksterne virtuele arbeid en samestelling van die globale vergelykings behandel.

Verwante onderwerpe