Slaan oor na inhoud

Virtuele arbeid van eksterne kragte en samestelling van die globale vergelykings

In Diskretisering van die virtuele arbeid van interne kragte is die linkerkant van die swak vorm gereduseer tot die element-internekragvektor \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-metode) of \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-metode). Hierdie hoofstuk lei die element-nodale eksternekragvektor \(\boldsymbol{F}^e\) uit die virtuele arbeid van eksterne kragte in, en pas daarna die samestelling-bewerking toe wat element-nodale hoeveelhede volgens globale nodusnommer herrangskik en ophoop, om uiteindelik die nie-lineêre stelsel vergelykings in nodale verplasings te verkry wat deur FrontISTR se nie-lineêre strukturele analise opgelos word.

Elementontbinding van die virtuele arbeid van eksterne kragte

Die regterkant van die Beginsel van virtuele arbeid kan element vir element ontbind word in die virtuele arbeid van eksterne kragte wat bestaan uit liggaamskragte en voorgeskrewe oppervlaktraksies op meganiese grense. Om die verplasingsinterpolasie wat in Vormfunksies en eindige-element-benadering ingevoer is in matriksvorm te skryf, gebruik die vormfunksie \(N_\alpha^e\) van nodus \(\alpha\), wat op die diagonaal van die \(d \times d\)-blok \(\boldsymbol{N}_\alpha\) geplaas word, en vorm \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), sodat \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Substitusie hiervan in die virtuele arbeid van eksterne kragte, geskryf in die verwysingskonfigurasie, gee

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

waar die element-nodale eksternekragvektor gerangskik word as \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Die virtuele arbeid van eksterne kragte word dus tot dieselfde vorm "element-nodale vektor × toetsfunksie" as die internekragkant gereduseer (wanneer dit in die huidige konfigurasie geskryf word, word dieselfde vorm verkry deur die substitusies \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) en \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Samestelling van element-nodale hoeveelhede

Die nodale hoeveelhede \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) wat vir elke element verkry word, word in globale vektore opgehoop wat volgens globale nodusnommer georden is. Laat die globale nodusnommer wat met die plaaslike nodusnommer \(\alpha\) van element \(\Omega^e\) ooreenstem wees

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Dan is ’n element-nodale hoeveelheid identies aan die ooreenstemmende komponent van die globale nodale hoeveelheid (byvoorbeeld \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Omdat ’n nodus \(i_g\) gewoonlik deur verskeie elemente gedeel word, definieer die versameling pare \((e, \alpha)\) waarvan die globale nodusnommer \(i_g\) is as

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Deur hierdie versameling te gebruik om die som te herskryf as \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), word die nodale interne krag en globale internekragvektor oor al \(n_g\) nodusse verkry:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Hier is \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) die resultante van die element-nodale interne kragte wat by nodus \(i_g\) werk en is dit \(\boldsymbol{0}\) wanneer geen eksterne krag werk nie en ewewig bevredig word. Dieselfde prosedure in die UL-metode gee \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); omdat hul numeriese waardes aan \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) voldoen, word die notasie \(\boldsymbol{Q}\) hieronder gebruik behalwe waar ’n onderskeid nodig is. Die globale eksternekragvektor \(\boldsymbol{F}\) word deur dieselfde ophoping verkry.

In die implementering word die versameling \(\mathcal{E}(i_g)\) nie eksplisiet saamgestel nie; bydraes word eerder binne die elementlus by die ooreenstemmende komponente gevoeg.

Inisialiseer die globale internekragvektor Q na 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (aantal elemente)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Die globale eksternekragvektor \(\boldsymbol{F}\) word met dieselfde prosedure saamgestel. Hierdie bewerking om element-nodale hoeveelhede by vektore en matrikse wat volgens globale nodusnommer genommer is te voeg en daarin te stoor, word samestelling (assemble) genoem. Vir tweede-orde-tensors wat met twee nodusnommers geassosieer is (soos styfheidsmatrikse), word dieselfde soort samestelling verkry met die versameling \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{en}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (sien Raaklynstyfheidsmatriks vir die konkrete konstruksie).

Nie-lineêre vergelykings wat opgelos moet word

Deur die saamgestelde interne en eksterne kragte in die Beginsel van virtuele arbeid te substitueer en die feit te gebruik dat dit geld vir enige toetsfunksie \(\delta\boldsymbol{u}^n\) wat aan die geometriese randvoorwaardes voldoen, kry ons

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

Herstel in die konteks van inkrementele analise (Raamwerk van inkrementele analise) die tydsubskrip \(_{n+1}\) en laat die superskrip \(^n\), wat die globale nodale vektor aandui, weg. Die vergelyking wat opgelos moet word, is dan

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Die gediskretiseerde grenswaardeprobleem om die nodale verplasing \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) op tyd \(t_{n+1}\) te vind, word dus gereduseer tot die oplossing van hierdie nie-lineêre vergelyking in verplasing saam met die geometriese randvoorwaardes. Linearisering van die vergelyking en konstruksie van die raaklynstyfheidsmatriks word beskryf in Raaklynstyfheidsmatriks, en die iteratiewe oplossingsmetode in die Newton-Raphson-metode.

Verwante onderwerpe