Slaan oor na inhoud

Vormfunksies vir 3D-soliede elemente

Hierdie hoofstuk som die natuurlike koördinaatstelsels en eksplisiete vorme van die vormfunksies \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) op wat in Vormfunksies en eindige-elementbenadering bekendgestel is vir die driedimensionele soliede elemente wat FrontISTR in kontinuumanalise gebruik. Die ses elementtipes is eerste-/tweede-orde-tetraëders (341/342), eerste-/tweede-orde-driehoekige prismas (351/352) en eerste-/tweede-orde-heksaëders (361/362). Sien die Elementbiblioteek in die funksieverwysing vir nodusvolgorde en vlaknommers in die HEC-MW-maasformaat.

Die prosedure vir die konstruksie van elementintegrasie uit hierdie vormfunksies en die Jacobi-determinant volg Numeriese integrasie. Die B-bar-, F-bar- en onversoenbare formulerings vir 361, asook vormfunksies vir balk- en dopelemente, word in Gevorderde elementformulerings behandel.

Natuurlike koördinaatstelsels en interne nodusvolgorde

Vormfunksies word op die natuurlike koördinate \(\boldsymbol{r}\) van elke element gedefinieer. Driedimensionele soliede elemente gebruik die volgende drie natuurlike-koördinaatstelsels volgens elementvorm.

  • Heksaëders (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraëders (341/342): volumekoördinate \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), met \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) en \(L_i \ge 0\). Met \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) as onafhanklike veranderlikes is \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Driehoekige prismas (351/352): kombineer die volumekoördinate \((\xi, \eta)\) van die basisdriehoek (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) met die aksiale koördinaat \(\zeta \in [-1, 1]\) om \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) te vorm. Die hulpgrootheid \(a = 1 - \xi - \eta\) word as die derde volumekoördinaat op die basis gebruik.

Vir eerste-orde-elemente is die elementnodusnommering dieselfde in die HEC-MW-invoerformaat en die interne formaat. Vir tweede-orde-elemente verskil die konvensies vir die rangskikking van middelsynodusse. FrontISTR aanvaar die HEC-MW-formaat as invoer (hoeknodusse word rondom die element gelys, gevolg deur middelsynodusse in randvolgorde 1-2, 2-3, …), terwyl die vormfunksies in die elementbiblioteek geïmplementeer is met die aanname van ’n ander nodusvolgorde.

Die verskil tussen die twee formate word opgelos deur hecmw2fstr_mesh_conv, wat onmiddellik ná maasinvoer aangeroep word en die nodusse vir elke element herrangskik. Onder driedimensionele soliede elemente word die volgende twee tipes omgeskakel.

Elementtipe Omskakelingstabel Beskrywing
342 (tweede-orde tetraëder) Table342 Herrangskik die 10 nodusse na \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (tweede-orde driehoekige prisma) Table352 Herrangskik die 15 nodusse na \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Omdat herrangskikking direk op die skikking wat elementkonnektiwiteit stoor uitgevoer word, gebruik alle daaropvolgende aanroepe na die elementbiblioteek FrontISTR se interne nodusvolgorde. Vir tweede-orde-heksaëdriese element 362 bestaan geen omskakelingstabel nie omdat die middelsynodusvolgorde in HEC-MW-invoer en FrontISTR se interne formaat dieselfde is. By resultaatuitvoer herstel die omgekeerde omskakeling fstr2hecmw_mesh_conv die HEC-MW-nodusvolgorde vóór skryf, sodat gebruikers slegs van die HEC-MW-formaat vir beide invoer en uitvoer bewus hoef te wees. Die nodusnommers in die vormfunksies hieronder gebruik die omgeskakelde FrontISTR-interne formaat.

Vormfunksies vir eerste-orde-elemente

Vir die eerste-orde tetraëdriese element (341) is die vormfunksies die volumekoördinate self:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Vir die eerste-orde driehoekige-prisma-element (351) is die vormfunksies produkte van die lineêre vormfunksies van die basisdriehoek (\(a, \xi, \eta\)) en die lineêre aksiale vormfunksies (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Vir die eerste-orde-heksaëdriese element (361) is die vormfunksies tensorprodukte van lineêre vormfunksies in die drie koördinaatrigtings:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Hier is \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) die natuurlike-koördinaatwaardes van nodus \(\alpha\) (elke komponent is \(\pm 1\)).

Vormfunksies vir tweede-orde-elemente

Vir die tweede-orde-tetraëdriese element (342) word die vormfunksies verdeel in vier hoekknope en ses middelkantknope:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Middelkantknope 5–10 stem onderskeidelik ooreen met die middelpunte van rande 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 en 3-4.

Die tweede-orde-driehoekige-prisma-element (352) bestaan uit ses hoekknope, ses middelkantknope op die driehoekige vlakke en drie middelkantknope op die aksiale rande:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Middelsynodusse 7–9 stem ooreen met die randmiddelpunte van die onderste driehoek (\(\zeta = -1\)), nodusse 10–12 met die randmiddelpunte van die boonste driehoek (\(\zeta = +1\)), en nodusse 13–15 met die middelpunte van die aksiale rande.

Die tweede-orde-heksaëdriese element (362) is ’n 20-nodus-element van die Serendipity-familie. Laat die natuurlike-koördinaatwaardes van nodus \(\alpha\) \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) wees. Vir hoeknodusse (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), met elke komponent \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Vir middelsynodusse (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), met een van die drie natuurlike koördinate gelyk aan \(0\) en die ander twee gelyk aan \(\pm 1\)), het nodusse met \(\xi_\alpha = 0\) (rande georiënteer in die \(\xi\)-rigting)

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Middelkantknope waarvan die randrigting die \(\eta\)- of \(\zeta\)-as is, word analoog gegee, met die ooreenstemmende natuurlike koördinaat wat deur die gekwadrateerde term uitgeskakel word.

Verwante onderwerpe