Gevorderde elementformulerings¶

Die standaard verplasingsgebaseerde formulering wat in Formulering van 3D-soliede elemente aangebied word, toon oormatige kunsmatige styfheid, bekend as sluiting (volumetriese sluiting of skuifsluiting), wanneer dit op byna onsamedrukbare materiale of buiginggedomineerde dunwandige strukture toegepas word. Om dit te vermy, bied FrontISTR die B-bar- en F-bar-metodes, wat slegs die volumetriese deel van die B-matriks of vervormingsgradiënt vervang; onversoenbare elemente met interne vryheidsgrade; u-p-gemengde elemente wat druk as ’n onafhanklike onbekende veld behandel; en MITC-dop- en balkelemente wat vir plaat- en balkstrukture gespesialiseer is.

Hierdie hoofstuk som die formulerings van hierdie gevorderde elemente en strukturele elemente op ’n element-vir-element-basis op.

B-bar-metode¶

Wanneer ’n 8-nodus lineêre heksaëdriese element vir ’n byna onsamedrukbare materiaal gebruik word, kan die rekveld binne een element met die konstante-volumebeperking bots, wat oormatige styfheid bekend as volumetriese sluiting veroorsaak. Die B-bar-metode verlig hierdie oorbeperking deur die komponente van die B-matriks wat tot volumetriese uitsetting bydra, te vervang met waardes wat by die elementsentrum geëvalueer is [Hughes1980].

Laat by die elementsentrum \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) die B-matriks wat uit die ruimtelike afgeleides van die vormfunksies bereken is \(\bar{\boldsymbol{B}}\) wees; laat by integrasiepunt \(\boldsymbol{r}\) die gewone B-matriks \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) wees. In die verplasing-rek-verband vir nodus \(\alpha\) en vryheidsgraad \(i\) word die volumetriese rekkomponente \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) gewysig deur by te voeg

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Vir die skuifkomponente \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) word die gewone \(\boldsymbol{B}\) gebruik. Die elementstyfheid en internekragvektor word saamgestel met die resulterende B-bar-matriks.

FrontISTR bied hierdie formulering spesifiek vir die 8-nodus lineêre heksaëdriese element (element-ID 361; sien Elementnommeringstelsel), en dit kan op kleinvervormings-, Totale Lagrange- en Bygewerkte Lagrange-formulerings toegepas word.

F-bar-metode¶

Onder eindige vervorming tree volumetriese verandering nie-lineêr deur die vervormingsgradiënt \(\boldsymbol{F}\) binne. Die F-bar-metode [deSouzaNeto1996] pas ’n behandeling vir volumetriese sluiting, analoog aan die B-bar-metode, op die vlak van die vervormingsgradiënt toe.

Laat die volumeverhouding van die vervormingsgradiënt wat by die elementsentrum \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) geëvalueer is \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) wees, en laat die volumeverhouding by ’n integrasiepunt \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) wees. Die vervormingsgradiënt by die integrasiepunt word vervang deur

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Dit gee \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), sodat die volumeverhouding regdeur die element met die waarde by die elementsentrum ooreenstem. Die vervangde \(\bar{\boldsymbol{F}}\) word vir spanningsevaluering en konstruksie van die rek-verplasingsmatriks gebruik, en die element se tangensiële styfheid sluit die bykomende terme in wat met hierdie vervanging verband hou.

FrontISTR implementeer die F-bar-metode spesifiek vir die 8-nodus lineêre heksaëdriese element, en dit kan op kleinvervorming sowel as Totale Lagrange / Bygewerkte Lagrange nie-lineêre geometrie toegepas word.

Onversoenbare elemente¶

Die 8-nodus lineêre heksaëdriese element het nie die rekmodusse wat vir buiging benodig word nie en toon buigingsluiting in buiginggedomineerde probleme. Onversoenbare elemente [Taylor1976] voer bykomende verplasingsmodusse binne die element in om vir hierdie tekort te vergoed.

Benewens die element-nodusverplasings \(\boldsymbol{u}^e\) word onversoenbare-modus-vryheidsgrade \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), wat slegs binne die element bestaan, as 3 rigtings × 3 modusse per element ingevoer, en die verplasingsveld word benader as

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Vir natuurlike koördinate \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) word die onversoenbare vormfunksies geneem as \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) en \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Hulle waarborg nie kontinuïteit oor elementgrense nie, maar voeg ’n interne ruimte by wat die rekke wat met buigingsmodusse verband hou kan reproduseer.

Die elementstyfheid word eers in ’n eksterne-vryheidsgraad/interne-vryheidsgraad-blokvorm saamgestel

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Na samestelling in hierdie vorm elimineer statiese kondensasie die interne vryheidsgrade met \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), wat die elementstyfheid lewer wat slegs die eksterne vryheidsgrade behels

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

wat na die globale samestelling deurgegee word.

FrontISTR implementeer die onversoenbare element spesifiek vir die 8-nodus lineêre heksaëdriese element (C3D8IC), en dit kan op kleinvervormings-, Totale Lagrange- en Bygewerkte Lagrange-formulerings toegepas word.

U-P-gemengde elemente¶

Terwyl die B-bar- en F-bar-metodes die volumetriese komponent binne ’n verplasingsgebaseerde raamwerk korrigeer, gebruik die u-p-gemengde (U-P) element ’n gemengde formulering [Bathe1996] wat druk \(\lambda\) as ’n onbekende veld onafhanklik van verplasing invoer. Vir byna onsamedrukbare materiale, soos rubberagtige materiale met Poisson se verhouding uiters naby aan 0.5 of metale ná plastiese vervorming, veroorsaak die afdwinging van die konstante-volumebeperking met slegs die verplasingsveld volumetriese sluiting; die behandeling van druk as ’n onafhanklike veranderlike verslap hierdie beperking.

Die spanning word soos volg in deviatoriese en drukkomponente geskei

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Hier is \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) die deviatoriese elastiese matriks wat verkry word deur die volumetriese deel eweredig aan die bulkmodulus \(K\) uit die elastiese matriks te verwyder. Die druk \(\lambda\) en volumetriese rek \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) word deur die beperking via die saamdrukbaarheid \(\alpha^{-1} = 1/K\) verbind

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Diskretisering met verplasing \(\boldsymbol{u}\) en druk \(\lambda\) as onbekendes lewer die gekoppelde elementstelsel

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

waar \(\mathbf{K}_{uu}\) die deviatoriese elastiese bydrae en, vir eindige vervorming, geometriese styfheid bevat; \(\mathbf{K}_{up}\) volumetriese rek en druk koppel; en \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) die drukstabiliseringsterm is (\(\boldsymbol{N}_p\) is die drukvormfunksie). Omdat die drukvryheidsgrade intern tot die element is,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

word statiese kondensasie in hierdie vorm uitgevoer, en die effektiewe styfheid wat slegs die eksterne (verplasings-) vryheidsgrade behels, word na die globale samestelling deurgegee.

FrontISTR implementeer die U-P-element spesifiek vir die 8-nodus lineêre heksaëdriese element, met een drukvryheidsgraad per element (konstant binne die element). Dit kan op kleinvervormings-, Totale Lagrange- en Bygewerkte Lagrange-formulerings toegepas word. In Bygewerkte Lagrange word die deviatoriese spanning met ’n objektiewe spanningstempo (Jaumann/Hughes-Winget-tipe) opgedateer, en die druk \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) word dan opgelê met die waarde wat deur statiese kondensasie verkry is.

Dopelemente¶

Dopelemente gebaseer op Reissner-Mindlin-plaat/dopteorie word vir dunwandige plaat- en dopstrukture gebruik. Namate die dikte afneem, oorskat lae-orde verplasingsgebaseerde plaat/dopelemente dwars-skuifrek deur ’n meganisme analoog aan volumetriese sluiting (skuifsluiting), wat veroorsaak dat die styfheid vir buigingsmodusse buitensporig toeneem. Die MITC-metode (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] vermy hierdie probleem deur slegs die skuifrekkomponente by voorafbepaalde bindpunte in die element te herbemonster en dié bemonsterde waardes oor die element terug te interpoleer.

Die nodusse van ’n MITC-dopelement lê op die middeloppervlak, en elke nodus het ses vryheidsgrade: drie translasiekomponente en drie rotasiekomponente rondom die normale koördinaatstelsel van die middeloppervlak. Elementstyfheid word deur driedimensionele Gauss-integrasie oor die natuurlike koördinate van die middeloppervlak en die dikterigting geëvalueer, en die dikte \(h\) word tydens konstitutiewe evaluering as ’n elementeienskap verskaf.

FrontISTR bied MITC3 (element-ID 731), MITC4 (741) en MITC9 (743), wat deur ’n enkele middeloppervlaklaag voorgestel word, asook gelaagde dopelemente MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 nodusse, 3 vryheidsgrade per nodus) en MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 nodusse, 3 vryheidsgrade per nodus), waarvan die nodusse in twee lae deur die dikte gerangskik is. In die gelaagde dopelemente bestaan nodusvryheidsgrade slegs uit drie translasiekomponente, terwyl buigingsmodusse wat met rotasievryheidsgrade ooreenstem deur die tweelaagrangskikking voorgestel word.

Balkelemente¶

Lynelemente soos draers en raamstrukture word met balkelemente gediskretiseer. FrontISTR gebruik ’n Timoshenko-balkformulering wat skuifvervorming in ag neem en beide buiging en skuif as funksies van translasie- en rotasievryheidsgrade uitdruk.

Elke balknodus het ses vryheidsgrade: drie translasiekomponente en drie rotasiekomponente om die balkas en dwarsasse. Elementstyfheid word deur eendimensionele numeriese integrasie langs die balkas geëvalueer. Die deursnee-oppervlakte \(A\) en tweede oppervlakmomente \(I\) in die buig- en torsierigtings word as balkseksie-eienskappe verskaf, en saam met die materiaal se Young-modulus \(E\) en skuifmodulus \(G\) definieer hulle die aksiale, buig-, torsie- en skuifstyfhede.

FrontISTR bied ’n 2-nodus reguit balkelement (element-ID 611) en ’n 4-nodus tetraëdriese soliede-balk-hibriedelement wat met 3 nodusse voorgestel word (641, vir gemengde vryheidsgrade).

Verwante onderwerpe¶

Formulering van 3D-soliede elemente — Vergelyking met die standaardformulering
Elementnommeringstelsel en vormfunksiebiblioteek — Elementtipe-ID’s
Elementbiblioteek (funksies) — Riglyne vir die keuse van elke element