Slaan oor na inhoud

Beginsel van virtuele arbeid

Op grond van die ewewigsvergelyking en randvoorwaardes wat in Spanning en behoudswette afgelei is, lei ons die beginsel van virtuele arbeid af, wat die swak vorm van die grenswaardeprobleem in kontinuummeganika is. Eindige-element-diskretisering begin by hierdie swak vorm. Hierdie hoofstuk gee sowel die vorm in die huidige konfigurasie (uitgedruk met Cauchy-spanning en die lineêre deel van Almansi-rek) as die vorm in die verwysingskonfigurasie (uitgedruk met die tweede Piola-Kirchhoff-spanning en Green-Lagrange-rek), toon hul ekwivalensie en bevestig daarna die reduksie tot klein vervorming.

Ewewigsvergelyking en randvoorwaardes

Laat \(\boldsymbol{g}\) die liggaamskrag per massa-eenheid wees wat op die kontinuum werk, en beskou ’n liggaam wat die gebied \(\Omega\) in die huidige konfigurasie beslaan. Die grens \(\Gamma\) word verdeel in die geometriese grens waarop verplasing as \(\bar{\boldsymbol{u}}\) voorgeskryf word, \(\Gamma_B\), en die meganiese grens waarop traksie as \(\bar{\boldsymbol{t}}\) voorgeskryf word, \(\Gamma_t\), met \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) en \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Vir ’n statiese probleem word die ewewigsvergelyking verkry deur die traagheidsterm uit die behoudswet van momentum wat in Spanning en behoudswette getoon word, weg te laat:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

Die randvoorwaardes is

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{op} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{op} \ \Gamma_B \]

Hierna word die beginsel van virtuele arbeid afgelei as die swak vorm van die ewewigsvergelyking en die meganiese randvoorwaarde \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Die geometriese randvoorwaarde \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) word deur die keuse van toetsfunksie ingewerk.

Swak vorm in die huidige konfigurasie

Definieer in die swak vorm die toelaatbare ruimte vir die onbekende verplasing en die toetsfunksieruimte onderskeidelik as

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{op} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{op} \ \Gamma_B \} \]

Hier is \(d\) die ruimtelike dimensie, \(H^1(\Omega)\) die Sobolev-ruimte van funksies wat vierkantintegreerbaar is saam met hul eerste swak afgeleides, en \(\delta\) dui variasie aan. In die voorstelling van die huidige konfigurasie is \(\Omega\) die vervormde konfigurasie; in ’n werklike numeriese oplossing word dit teruggetrek na die verwysingskonfigurasie of na ’n bekende intermediêre konfigurasie.

Deur die ewewigsvergelyking met die gewig \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) te vermenigvuldig en die Gauss-divergensiestelling en die meganiese randvoorwaarde toe te pas, kry ons die volgende beginsel van virtuele arbeid in die huidige konfigurasie.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Hier is \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) die lineêre deel van die Almansi-rektensor, gedefinieer deur

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Die variasie daarvan is \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Ons soek dus \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) sodanig dat die virtuele-arbeidsvergelyking vir elke \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) bevredig word. Die linkerkant is die virtuele arbeid van interne kragte, terwyl die regterkant die virtuele arbeid van eksterne kragte weens voorgeskrewe traksie en liggaamskrag is.

Omdat hierdie vergelyking oor die vervormde gebied (huidige konfigurasie) geskryf is, kies ’n werklike oplossingsprosedure die aanvanklike konfigurasie \(\Omega_0\) (verwysingskonfigurasie) of ’n bekende intermediêre konfigurasie weer as verwysingskonfigurasie, herskryf die vergelyking in inkrementele vorm en los dit dan op. Sien Raamwerk vir inkrementele analise vir die konkrete keuse van verwysingskonfigurasie (Total Lagrange / Updated Lagrange) en die inkrementele ontbinding.

Swak vorm in die aanvanklike konfigurasie

Beskou ’n liggaam wat die gebied \(\Omega_0\) in die verwysingskonfigurasie beslaan, met grens \(\Gamma_0\) verdeel in \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Deur die voorstelling in die huidige konfigurasie terug te trek na die verwysingskonfigurasie, kry ons die gekonjugeerde spanning-rekpaar van die tweede Piola-Kirchhoff-spanning \(\boldsymbol{S}\) en Green-Lagrange-rek \(\boldsymbol{E}\). Die beginsel van virtuele arbeid in die aanvanklike konfigurasie is dan

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Hier is \(\rho_0\) die massadigtheid in die verwysingskonfigurasie, en volgens die massabehoudsverband \(\rho_0 = J\rho\) is dit ekwivalent aan die liggaamskragvoorstelling in die huidige konfigurasie.

Ekwivalensie van die voorstellings in die huidige en aanvanklike konfigurasie

Die virtuele arbeid van interne kragte in die twee voorstellings stem ooreen deur die transformasie met die vervormingsgradiënt \(\boldsymbol{F}\) en volumeverhouding \(J = \det \boldsymbol{F}\); naamlik,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Die eksternekragterme is ook ekwivalent deur massabehoud en traksietransformasie. Die virtuele-arbeidsvergelyking in die huidige konfigurasie en dié in die aanvanklike konfigurasie druk dus dieselfde beginsel in verskillende konfigurasies uit. ’n Oplossingsmetode wat na die verwysingskonfigurasie verwys, stem ooreen met die Total Lagrange-metode, terwyl ’n oplossingsmetode wat na die huidige konfigurasie (die onmiddellik voorafgaande gekonvergeerde konfigurasie) verwys, met die Updated Lagrange-metode ooreenstem.

Reduksie tot klein vervorming

Onder die aannames van klein vervorming \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) en \(J \approx 1\) verdwyn die onderskeid tussen die huidige en verwysingskonfigurasies, val die tweede PK-spanning saam met die Cauchy-spanning (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), en reduseer sowel Green-Lagrange-rek as die lineêre deel van Almansi-rek tot die infinitesimale rek \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Die beginsel van virtuele arbeid reduseer dan tot die swak vorm uitgedruk in terme van die Cauchy-spanning \(\boldsymbol{\sigma}\) en infinitesimale rek \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{op} \ \Gamma_B \]

Dit is die swak vorm wat direk vir diskretisering in kleinvervorming-lineêr-elastiese statiese analise gebruik word (Lineêr-elastiese statiese analise (Inleiding en bylaag) begin by hierdie vorm en toon die konstruksie van die elementstyfheid \(\boldsymbol{K}^e\) deur samestelling van die globale vergelyking \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Deur die lineêr-elastiese konstitutiewe wet \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) te substitueer en \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) in Voigt-notasie te skryf, word die swak vorm

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

wat hierdie vorm het.

Verwante onderwerpe