Slaan oor na inhoud

Warmtegeleidingsvergelyking

Hierdie hoofstuk som die beheervergelyking van warmtegeleiding wat deur FrontISTR op kontinuumvlak behandel word, en die randvoorwaardes daarvan op. Tyddiskretisering en FEM-diskretisering word aan die diskretiseringsafdeling (L3d) en die oplossingsalgoritme-afdeling (L3e: solution_methods/05_transient_heat) oorgelaat.

Beheervergelyking

Die warmtegeleidingsvergelyking in ’n kontinuum word soos volg gegee.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Hier dui \(\rho=\rho(x)\) massadigtheid aan, \(c=c(x,T)\) spesifieke warmte, \(T=T(x,t)\) temperatuur, \(k=k(x,T)\) termiese geleidingsvermoë, \(Q=Q(x,T,t)\) hittegenerering, \(x\) posisie en \(t\) tyd. \(k_x, k_y, k_z\) is die termiese geleidingsvermoëns in die onderskeie rigtings vir anisotropiese warmtegeleiding.

Vir spesifieke termiese eienskappe, insluitend temperatuurafhanklikheid en anisotropie, sien Termiese eienskappe.

Randvoorwaardes

Laat die domein wat beskou word \(S\) wees, met die grens aangedui deur \(\Gamma\). Met die aanname dat óf ’n Dirichlet-tipe óf ’n Neumann-tipe randvoorwaarde oral op \(\Gamma\) voorgeskryf word, word die randvoorwaardes soos volg gegee.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Hier word aanvaar dat die funksionele vorme van \(T_1\) en \(q\) bekend is. \(q\) is die hittevloed wat die grens verlaat. Die grens-hittevloed \(q\) bestaan uit die volgende drie komponente.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Hier is \(q_s\) die verspreide hittevloed, \(q_c\) die hittevloed as gevolg van konvektiewe hitte-oordrag en \(q_r\) die hittevloed as gevolg van stralingshitte-oordrag.

Hier is \(Tc=Tc(x,t)\) die omgewingstemperatuur vir konvektiewe hitte-oordrag, \(hc=hc(x,t)\) die konvektiewe hitte-oordragkoëffisiënt, \(Tr=Tr(x,t)\) die omgewingstemperatuur vir stralingshitte-oordrag, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) die stralingshitte-oordragkoëffisiënt, \(\varepsilon\) die emissiwiteit, \(\sigma\) die Stefan-Boltzmann-konstante en \(F\) die aansigfaktor.

Vir hoe hierdie toestande in ’n invoerlêer gespesifiseer word, sien Randvoorwaardes en laste in die funksieverwysing.

Swak vorm

Koppeling met strukturele analise

Verwante onderwerpe