Lys van simbole vir fisiese groothede
Hierdie bladsy lys die simbole vir fisiese groothede wat in die FrontISTR-teoriehandleiding gebruik word. Vir notasiekonvensies (vetdruknotasie vir vektore en tensore, Einstein-sommasiekonvensie en Voigt-notasie), sien Tensornotasie en wiskundige grondslae.
Konfigurasies en koördinaatstelsels
| Simbool | Beskrywing |
| \(\boldsymbol{X}\) | Posisievektor van ’n materiaalpunt in die verwysings- (aanvanklike) konfigurasie (materiaalkoördinate) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Posisievektor van ’n materiaalpunt in die huidige konfigurasie (ruimtelike koördinate) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Bewegingsafbeelding: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Domein wat deur die liggaam in die verwysingskonfigurasie beslaan word |
| \(\Omega\) | Domein wat deur die liggaam in die huidige konfigurasie beslaan word |
| \(\Gamma_0\) | Grens van \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Grens van \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Geometriese (verplasings-) grens: grens in die huidige/verwysingskonfigurasie waarop \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) voorgeskryf word |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Meganiese grens: grens in die huidige/verwysingskonfigurasie waarop \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (of \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) voorgeskryf word |
| \(\boldsymbol{n}\) | Uitwaartse eenheidsnormaalvektor op ’n oppervlak in die huidige konfigurasie |
| \(\boldsymbol{N}\) | Uitwaartse eenheidsnormaalvektor op ’n oppervlak in die verwysingskonfigurasie |
| \(t\) | Tyd |
Konvensie: Fisiese groothede in die verwysingskonfigurasie word met hoofletters of ’n onderskrif \(0\) aangedui, terwyl groothede in die huidige konfigurasie met kleinletters aangedui word.
Tyd en inkremente (inkrementele analise)
| Simbool | Beskrywing |
| \(\Delta t\) | Tydinkrement: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Fisiese grootheid op tyd \(t\) (linkerboskrif). Voorbeeld: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) is die Cauchy-spanning op tyd \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Domein van die huidige konfigurasie op tyd \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Grens van die huidige konfigurasie op tyd \(t\) |
Konvensie: In inkrementele analise word die toestand tot tyd \(t\) as bekend beskou, en die toestand op tyd \(t + \Delta t\) as onbekend opgelos. Die linkerboskrif word weggelaat wanneer die tyd nie uitdruklik vermeld hoef te word nie. ’n Formulering wat die verwysingskonfigurasie \(\Omega_0\) as verwysing gebruik, word die Total Lagrange-formulering genoem, terwyl een wat die huidige konfigurasie \(^{t}\Omega\) aan die begin van die inkrement as verwysing gebruik, die Updated Lagrange-formulering genoem word.
Verplasing, snelheid, versnelling en liggaamskrag
| Simbool | Beskrywing |
| \(\boldsymbol{u}\) | Verplasingsvektor: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Verplasing voorgeskryf op die geometriese grens \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Virtuele verplasing (toetsfunksie): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) op \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Snelheidsvektor: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Versnellingsvektor: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Liggaamskrag (per massa-eenheid) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Traksievektor (per oppervlakte-eenheid): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Traksie voorgeskryf op die meganiese grens \(\Gamma_t\) (Neumann-data) |
Differensiaaloperatore
| Simbool | Beskrywing |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Materiaaltydafgeleide (tydafgeleide wat dieselfde materiaalpunt volg): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Verwysingskonfigurasiegradiënt (gradiënt met betrekking tot materiaalkoördinate \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Huidige-konfigurasiegradiënt (gradiënt met betrekking tot ruimtelike koördinate \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Simmetriese gradiëntoperator: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Nota: \(\nabla_X\) en \(\nabla_x\) hou verband deur \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). ’n Gradiënt sonder onderskrif, \(\nabla\), word gebruik wanneer die konfigurasie uit die konteks duidelik is of wanneer die onderskeid verdwyn, soos in kleinvervormingsprobleme.
Vervormingstensore
| Simbool | Beskrywing |
| \(\boldsymbol{F}\) | Vervormingsgradiënttensor: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Volumeverhouding: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Regter Cauchy-Green-vervormingstensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Linker Cauchy-Green-vervormingstensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Snelheidsgradiënttensor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Vervormingstempotensor (simmetriese deel van \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Spintensor (antisymmetriese deel van \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Rektensore
| Simbool | Beskrywing |
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange-rektensor (verwysingskonfigurasie): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi-rektensor (huidige konfigurasie): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Lineêre deel van die Almansi-rektensor (simmetriese verplasingsgradiënt in die huidige konfigurasie): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Infinitesimale rektensor (lineêre benadering): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Nota: \(\boldsymbol{E}\) word hoofsaaklik in die Total Lagrange-formulering gebruik, terwyl \(\boldsymbol{D}\) hoofsaaklik in die Updated Lagrange-formulering gebruik word.
Spanningstensore
| Simbool | Beskrywing |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy-spanningstensor (ware spanning, huidige konfigurasie): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Eerste Piola-Kirchhoff-spanningstensor (nominale spanning): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Tweede Piola-Kirchhoff-spanningstensor (verwysingskonfigurasie, simmetries): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Omskakelingsverwantskappe tussen die spanningstensore:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Konvensie: Die Total Lagrange-formulering gebruik die paar \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), terwyl die Updated Lagrange-formulering die paar \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) gebruik.
Digtheid en massa
| Simbool | Beskrywing |
| \(\rho\) | Massadigtheid in die huidige konfigurasie |
| \(\rho_0\) | Massadigtheid in die verwysingskonfigurasie |
Massabehoud: \(\rho_0 = J\rho\).
Materiaalkonstantes (lineêre elastisiteit)
| Simbool | Beskrywing |
| \(E\) | Young-modulus |
| \(\nu\) | Poisson-verhouding |
| \(\lambda\) | Eerste Lamé-konstante: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Tweede Lamé-konstante (skuifmodulus): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Elastisiteitstensor (vierde orde): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponente \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (of \(\hat{\tilde{C}}\)) | Materiaalmatrix (Voigt-notasie, \(6\times6\) in 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Komponente van die elastisiteitstensor vir ’n isotropiese lineêr-elastiese materiaal:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Hiperelastiese materiale
| Simbool | Beskrywing |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Elastiese potensiaalfunksie (rekenergiedigtheidsfunksie) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Hoofinvariante van die regter Cauchy-Green-tensor \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Gereduseerde invariante van \(\boldsymbol{C}\) (volumeverandering geskei) |
| \(C_1, C_2\) | Materiaalkonstantes van die Mooney-Rivlin-model |
| \(D\) | Materiaalkonstante wat met volumetriese elastisiteit verband hou |
Elastoplastiese materiale
| Simbool | Beskrywing |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Elastiese komponent van die vervormingstempotensor |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Plastiese komponent van die vervormingstempotensor |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Vloeifunksie |
| \(\kappa\) | Interne veranderlike wat die plastiese toestand voorstel (isotropiese verhardingsveranderlike) |
| \(\lambda^p\) | Plastiese vermenigvuldiger (plastiese rektampo-vermenigvuldiger): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Plastiese potensiaal (\(\Theta = F\) vir ’n geassosieerde vloeireël) |
| \(\bar{\sigma}\) | Ekwivalente spanning (bv. von Mises-spanning) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Ekwivalente plastiese rek |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Isotropiese verhardingsfunksie |
Komplementariteitsvoorwaarde: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Eindige-elementmetode
| Simbool | Beskrywing |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Domeine in die huidige en verwysingskonfigurasies wat deur eindige-elementdiskretisering benader word: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Elementdomein in die huidige en verwysingskonfigurasies |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Deel van die elementgrens wat aan die meganiese grens behoort |
| \(\boldsymbol{r}\) | Natuurlike koördinate (elementlokale koördinate) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Punt in natuurlike koördinate wat met nodus \(\alpha\) ooreenstem |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Vormfunksie wat met nodus \(\alpha\) van element \(e\) ooreenstem |
| \(n_e\) | Aantal nodusse waaruit ’n element bestaan |
| \(n_g\) | Totale aantal globale nodusse |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Koördinate en verplasing van elementnodus \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Elementnodale koördinaat- en verplasingsvektore: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), ens. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Globale nodale koördinaat- en verplasingsvektore (gerangskik volgens nodusnommer en dan vryheidsgraad) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Rek-verplasingsverwantskapmatriks (B-matriks) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Vormfunksiematriks: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) is ’n \(d \times d\)-blok met die vormfunksie \(N_\alpha^e\) vir nodus \(\alpha\) op die diagonaal, en \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Elementstyfheidsmatriks |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Integrande van die elementstyfheidsmatriks (uitgedruk in die verwysings- en huidige konfigurasies): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-formulering), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-formulering) | Elementinternekragvektor |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Nodale eksterne krag wat op elementnodus \(\alpha\) inwerk, en die elementnodale eksternekragvektor: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Globale internekragvektor en globale eksternekragvektor: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); soortgelyk vir \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Nodale interne en eksterne krag by globale nodus \(i_g\) (nodale blokke van \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Globale raaklynstyfheidsmatriks: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matriks gevorm deur die \(3\times 3\)-blok \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) by ry \(i_g\), kolom \(i_h\) te plaas |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Residuvektor in Newton-Raphson-iterasie: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Korreksie in Newton-Raphson-iterasie (verkry deur die lineêre vergelyking \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) by iterasie \(i\) op te los) |
| \(i_g\) | Globale nodusnommer (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Globale nodusnommer wat ooreenstem met lokale nodusnommer \(\alpha\) van element \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Stel \((e, \alpha)\)-pare wat met globale nodusnommer \(i_g\) ooreenstem: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Word in samestellingsbewerkings gebruik |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Stel \((e, \alpha, \beta)\)-drietalle wat met die paar globale nodusnommers \((i_g, i_h)\) ooreenstem; gebruik vir styfheidsmatrikssamestelling |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Indekse vir nodusse waaruit ’n element bestaan |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Indekse vir vryheidsgrade (\(1, 2, 3\) in 3D) |
Hoëwerkverrigtingselemente en struktuurelemente
| Simbool | Beskrywing |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Rek-verplasingsverwantskapmatriks waarvan die volumetriese deel deur die B-bar-metode gewysig is (die volumetriese komponent word vervang deur die B-matriks wat by die elementsentrum geëvalueer word) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Vervormingsgradiënt waarvan die volumetriese deel deur die F-bar-metode gewysig is: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Volumeverhouding van die vervormingsgradiënt wat by die elementsentrum \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) geëvalueer word: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Interne vryheidsgraadvektor vir ’n onversoenbare-modus-element (koëffisiënte van bykomende verplasingsmodusse wat nie kontinuïteit op die elementgrens afdwing nie) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Vormfunksies vir onversoenbare modusse: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Dikte van ’n dopelement |
| \(A\) | Dwarsdoorsnee-oppervlakte van ’n balkelement |
| \(I\) | Tweede oppervlaktemoment van ’n balkelement se dwarsdoorsnee |
| \(G\) | Skuifmodulus: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Verwante onderwerpe