Slaan oor na inhoud

Dinamiese analisemetodes

Hierdie afdeling beskryf analisemetodes vir dinamiese probleme wat direkte tydintegrasie gebruik. Die formulerings van die implisiete en eksplisiete metodes word hieronder aangebied.

Diskretisering van die bewegingsvergelyking (gemeenskaplike raamwerk)

Nog opgestel te word (word in die volgende fase voltooi).

Implisiete metode (Newmark-β-metode)

Vir dinamiese probleme word ’n direkte tydintegrasiemetode toegepas om die bewegingsvergelyking hieronder op te los.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Hier is \(M\) die massamatriks, \(C\) die dempingsmatriks, \(Q\) die internekragvektor en \(F\) die eksternekragvektor. Daar word aanvaar dat die massamatriks konstant bly ongeag vervorming, selfs in nielineêre analise.

Die veranderinge in verplasing, snelheid en versnelling oor die tydinkrement \(\Delta t\) word met die Newmark-\(\beta\)-metode benader soos in Vgl. \(\eqref{eq:2.5.2}\) en Vgl. \(\eqref{eq:2.5.3}\) getoon.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Hier is \(\gamma\) en \(\beta\) parameters van die Newmark-\(\beta\)-metode.

Soos algemeen bekend, stem die volgende waardes van \(\gamma\) en \(\beta\) onderskeidelik met die lineêre-versnellingsmetode en die trapesiumreël ooreen.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (lineêre-versnellingsmetode)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapesiumreël)

Substitusie van Vgl. \(\eqref{eq:2.5.2}\) en Vgl. \(\eqref{eq:2.5.3}\) in Vgl. \(\eqref{eq:2.5.1}\) gee die volgende vergelyking.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Veral vir ’n lineêre probleem is \(K_L\) die lineêre styfheidsmatriks en \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Substitusie van hierdie verband in die vergelyking hierbo gee die volgende vergelyking.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

By plekke waar versnelling as ’n geometriese randvoorwaarde voorgeskryf word, word die verplasing soos volg uit Vgl. \(\eqref{eq:2.5.2}\) verkry.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Net so word die verplasing by plekke waar snelheid voorgeskryf word, soos volg uit Vgl. \(\eqref{eq:2.5.6}\) verkry.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Hier is \(u_{is}(t+\Delta{t})\) die nodusverplasing op tyd \(t+\Delta{t}\), en \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) die nodussnelheid op tyd \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) die nodusversnelling op tyd \(t+\Delta{t}\), \(i\) die nodus-vryheidsgraadnommer en \(s\) die nodusnommer. Die massa- en dempingsterme word soos volg hanteer.

Behandeling van die massaterm

In beginsel word die massamatriks as ’n gekonsentreerde massamatriks behandel.

Behandeling van die dempingsterm

Die dempingsterm word behandel as Rayleigh-demping uitgedruk deur Vgl. \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Hier is \(R_m\) en \(R_k\) die Rayleigh-dempingsparameters.

Die \(R_m\)- en \(R_k\)-waardes wat op die !DYNAMIC-kaart gespesifiseer word, word eenvormig op die hele model toegepas. Om verskillende \(R_m\)- en \(R_k\)-waardes aan elke materiaal toe te ken, spesifiseer die !DAMPING-kaart binne daardie materiaal se !MATERIAL-blok. Vir elemente wat behoort aan ’n materiaal waarvoor !DAMPING gespesifiseer is, word die elementdempingsmatriks bereken as \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) uit die elementmassamatriks \(M_i\) en tangensstyfheidsmatriks \(K_i\), en in die globale dempingsmatriks saamgestel. Hierdie funksie is slegs vir die implisiete metode effektief.

Eksplisiete metode (sentrale-verskilmetode)

Die eksplisiete metode is gebaseer op die bewegingsvergelyking op tyd t wat hieronder getoon word.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Deur die verplasings op tye \(t + \Delta t\) en \(t - \Delta t\) met Taylor-uitbreidings om tyd \(t\) uit te druk en terme tot tweede orde in \(\Delta t\) te behou, word die volgende vergelykings verkry.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Deur die verskil en som van Vgl. \(\eqref{eq:2.5.3}\) en Vgl. \(\eqref{eq:2.5.4}\) te neem, word die volgende vergelykings verkry.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Substitusie van Vgl. \(\eqref{eq:2.5.12}\) en Vgl. \(\eqref{eq:2.5.13}\) in Vgl. \(\eqref{eq:2.5.9}\) gee die volgende vergelyking.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Veral vir ’n lineêre probleem is \(Q(t) = K_L U(t)\), en die vergelyking hierbo word

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Indien die massamatriks \(M\) as ’n gekonsentreerde massamatriks geneem word en die dempingsmatriks as ’n proporsionele dempingsmatriks \(C = R_m M\), vereis Vgl. \(\eqref{eq:2.5.15}\) geen oplossing van gelyktydige vergelykings nie.

Daarom kan \(U(t+\Delta t)\) uit Vgl. \(\eqref{eq:2.5.15}\) deur die volgende vergelyking verkry word.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Verwante onderwerpe