Slaan oor na inhoud

Oorganklike warmtegeleidingsanalise

Die tyddiskretisering en iteratiewe oplossingsmetode vir warmtegeleidingsanalise van soliede liggame met die eindige-elementmetode (Finite Element Method) word getoon. Vir die beheerende vergelyking en randvoorwaardes in die kontinuum, sien Warmtegeleidingsvergelyking.

Gediskretiseerde vergelyking (beginpunt)

Wanneer die warmtegeleidingsvergelyking (vergelyking van die warmtegeleidingsvergelyking (gov_he_main)) met die Galerkin-metode gediskretiseer word,

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

waar

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Hier is \(K\), \(M\), \(F\) en \(N\) onderskeidelik die warmtegeleidingsmatriks (insluitend die konveksie- en stralingsterme van die randbydraes), massamatriks, hitteladingsvektor en vormfunksiematriks. Die definisies van die materiaaleienskap-simbole (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\), ens.) volg Warmtegeleidingsvergelyking.

Tyddiskretisering en iteratiewe oplossingsmetode

Vergelyking\(\eqref{eq:2.4.8}\) is ’n nie-lineêre en oorgangsvergelyking. Diskretiseer nou ten opsigte van tyd met die terugwaartse Euler-metode, en bereken die temperatuur op tyd \(t=t_0+\Delta t\), gegewe dat die temperatuur op tyd \(t=t_0\) bekend is, met die volgende vergelyking.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Beskou die verbetering van die temperatuurvektor \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), wat vergelyking \(\eqref{eq:2.4.13}\) benaderd bevredig, om ’n oplossing \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) met goeie akkuraatheid te verkry.

Druk daarvoor eers die temperatuurvektor soos volg uit.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Die produk van die warmtegeleidingsmatriks en die temperatuurvektor, die massamatriks, ens., word benaderd deur die volgende vergelykings uitgedruk.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Deur vergelyking \(\eqref{eq:2.4.14}\), vergelyking \(\eqref{eq:2.4.15}\) en vergelyking \(\eqref{eq:2.4.16}\) in vergelyking \(\eqref{eq:2.4.13}\) te vervang en terme van tweede of hoër orde weg te laat, word die volgende vergelyking verkry.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Verder word die koëffisiëntmatriks aan die linkerkant benaderd met die volgende vergelyking geëvalueer.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Hier is \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) die tangensiële styfheidsmatriks.

Uiteindelik kan die temperatuur op tyd \(t=t_0+\Delta t\) bereken word deur iteratiewe berekening met die volgende vergelyking uit te voer.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

In die besonder word in bestendige-toestand-analise iteratiewe berekening met die volgende vergelyking uitgevoer.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

In oorgangsanalise is die keuse van tydtoename \(\Delta t\) oor die algemeen nie aan ’n groottebeperking onderworpe nie, aangesien ’n implisiete metode vir die tyddiskretisering gebruik word. Indien die tydtoename \(\Delta t\) egter te groot is, neem die aantal iterasies wat vir konvergensie nodig is toe. Oor die algemeen neem die aantal iterasies toe wanneer die tydtoename \(\Delta t\) te groot is. In die implementering word outomatiese inkrementbeheer gebruik wat die grootte van die residuvektor monitor; indien konvergensie stadig is, word \(\Delta t\) verklein, en indien die aantal iterasies klein is, word \(\Delta t\) vergroot (→ sien Stapbeheer vir besonderhede).

Verwante onderwerpe