Verifikasie met ’n eenvoudig gevormde model¶

Elastiese statiese analise¶

Hierdie verifikasie gebruik ’n vrykragbalk met ’n maas soos in Figuur 9.1.1 getoon. Analises is vir sewe gevalle, exA tot exG, uitgevoer, met die lastoestande soos in Figuur 9.1.2 gevarieer. Geval exG het dieselfde lastoestande as exA, maar gebruik ’n direkte oplosser.

Die verifikasieresultaat vir elke lastoestand word in Tabelle 9.1.1–9.1.7 aangebied.

Figuur 9.1.1 Voorbeeld van ’n vrykragbalkmaas (heksaëdriese elemente)


	(a) exA, G: Gekonsentreerde las
	(b) exD: Swaartekrag
	(c) exB: Oppervlak-verspreide las
	(d) exE: Sentrifugale krag
	(e) exC: Volumelas
	(f) exF : Hittelading

Item	Waarde
Young se modulus	\(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Lengte	\(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
Poisson se verhouding	\(\nu = 0.3\)
Deursnee-oppervlakte	\(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
Massadigtheid	\(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Tweede oppervlaktemoment	\(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
Swaartekragversnelling	\(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Lineêre termiese-uitsettingskoëffisiënt	\(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Tabel 9.1.2 Verifikasievoorwaardes vir die vrykragbalkmodel

Tabel 9.1.1: exA: Verifikasieresultate van die gekonsentreerde-lasprobleem

Gevalnaam	Aantal elemente		Voorspelde waarde : \(\delta_{max}= -1.000\)		Opmerkings
		NASTRAN	Kommersieel	FrontISTR
A231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
A232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 nodusse / vlakspanningsprobleem
A241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
A242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 nodusse / vlakspanningsprobleem
A341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 nodusse
A342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525 nodusse
A351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 nodusse
A352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 nodusse
A361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 nodusse
A362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 nodusse
A731	40	-	-	-0.991	33 nodusse / direkte metode
A741	20	-	-	-0.996	33 nodusse / direkte metode

Tabel 9.1.2: exB: Verifikasieresultate van die oppervlak-verspreide-lasprobleem

Gevalnaam	Aantal elemente		Voorspelde waarde : \(\delta_{max}= -3.750\)		Opmerkings
		NASTRAN	Kommersieel	FrontISTR
B231	40	-1.281	-1.403	-1.403	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
B232	40	-3.579	-3.763	-3.763	105 nodusse / vlakspanningsprobleem
B241	20	-3.198	-2.680	-2.680	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
B242	20	-3.426	-3.765	-3.765	85 nodusse / vlakspanningsprobleem
B341	240	-1.088	-1.449	-1.454	99 nodusse
B342	240	-3.704	-3.704	-3.748	525 nodusse
B351	80	-3.547	-1.338	-1.325	99 nodusse
B352	80	-0.3717	-3.716	-3.713	381 nodusse
B361	40	-3.557	-3.691	-3.688	99 nodusse
B362	40	-3.726	-3.717	-3.717	220 nodusse
B731	40	-	-	-3.722	33 nodusse / direkte metode
B741	20	-	-	-3.743	33 nodusse / direkte metode

Tabel 9.1.3: exC: Verifikasieresultate van die volumelasprobleem

Gevalnaam	Aantal elemente		Voorspelde waarde : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\)		Opmerkings
		NASTRAN	Kommersieel	FrontISTR
C231	40	-	-1.101e-5	-1.101e-5	33 nodusse / vlakspanningprobleem
C232	40	-	-2.951e-5	-2.951e-5	105 nodusse / vlakspanningprobleem
C241	20	-	-2.102e-5	-2.102e-5	33 nodusse / vlakspanningprobleem
C242	20	-	-2.953e-5	-2.953e-5	85 nodusse / vlakspanningprobleem
C341	240	-	-1.136e-5	-1.140e-5	99 nodusse
C342	240	-	-2.905e-5	-2.937e-5	525 nodusse
C351	80	-	-1.050e-5	-1.039e-5	99 nodusse
C352	80	-	-2.914e-5	-2.911e-5	381 nodusse
C361	40	-	-2.895e-5	-2.893e-5	99 nodusse
C362	40	-	-2.915e-5	-2.915e-5	220 nodusse
C731	40	-	-	-2.922e-5	33 nodusse / direkte metode
C741	20	-	-	-2.938e-5	33 nodusse / direkte metode

Tabel 9.1.4: exD: Verifikasieresultate van die swaartekragprobleem

Gevalnaam	Aantal elemente		Voorspelde waarde : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\)		Opmerkings
		NASTRAN	Kommersieel	FrontISTR
D231	40	-1.101e-5	-1.101e-5	-1.101e-5	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
D232	40	-2.805e-5	-2.951e-5	-2.951e-5	105 nodusse / vlakspanningsprobleem
D241	20	-2.508e-5	-2.102e-5	-2.102e-5	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
D242	20	-2.684e-5	-2.953e-5	-2.953e-5	85 nodusse / vlakspanningsprobleem
D341	240	-1.172e-5	-1.136e-5	-1.140e-5	99 nodusse
D342	240	-2.906e-5	-2.905e-5	-2.937e-5	525 nodusse
D351	80	-1.046e-5	-1.050e-5	-1.039e-5	99 nodusse
D352	80	-2.917e-5	-2.914e-5	-2.911e-5	381 nodusse
D361	40	-2.800e-5	-2.895e-5	-2.893e-5	99 nodusse
D362	40	-2.919e-5	-2.915e-5	-2.915e-5	220 nodusse
D731	40	-	-	-2.922e-5	33 nodusse / direkte metode
D741	20	-	-	-2.938e-5	33 nodusse / direkte metode

Tabel 9.1.5: exE: Verifikasieresultate van die sentrifugale-kragprobleem

Gevalnaam	Aantal elemente		Voorspelde waarde : \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\)		Opmerkings
		NASTRAN	Kommersieel	FrontISTR
E231	40	2.410e-3	2.616e-3	2.650e-3	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
E232	40	2.447e-3	2.627e-3	2.628e-3	105 nodusse / vlakspanningsprobleem
E241	20	2.386e-3	2.622e-3	2.624e-3	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
E242	20	2.387e-3	2.627e-3	2.629e-3	85 nodusse / vlakspanningsprobleem
E341	240	2.708e-3	2.579e-3	2.625e-3	99 nodusse
E342	240	2.639e-3	2.614e-3	2.638e-3	525 nodusse
E351	80	2.642e-3	2.598e-3	2.625e-3	99 nodusse
E352	80	2.664e-3	2.617e-3	2.616e-3	381 nodusse
E361	40	2.611e-3	2.603e-3	2.603e-3	99 nodusse
E362	40	2.623e-3	2.616e-3	2.616e-3	220 nodusse
E731	40	-	-	2.619e-3	33 nodusse / direkte metode
E741	20	-	-	2.622e-3	33 nodusse / direkte metode

Tabel 9.1.6: exF: Verifikasieresultate van die termiese-spanningslasprobleem

Gevalnaam	Aantal elemente		Voorspelde waarde : \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\)		Opmerkings
		NASTRAN	Kommersieel	FrontISTR
F231	40	-	1.016e-2	1.007e-2	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
F232	40	-	1.007e-2	1.007e-2	105 nodusse / vlakspanningsprobleem
F241	20	-	1.010e-2	1.010e-2	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
F242	20	-	1.006e-2	1.006e-2	85 nodusse / vlakspanningsprobleem
F341	240	-	1.047e-2	1.083e-2	99 nodusse
F342	240	-	1.018e-2	1.022e-2	525 nodusse
F351	80	-	1.031e-2	1.062e-2	99 nodusse
F352	80	-	1.015e-2	1.017e-2	381 nodusse
F361	40	-	1.026e-2	1.026e-2	99 nodusse
F362	40	-	1.016e-2	1.016e-2	220 nodusse

Tabel 9.1.7: exG: Verifikasieresultate van die direkte metode (gekonsentreerde-lasprobleem)

Gevalnaam	Aantal elemente		Voorspelde waarde: δmax= -1.000		Opmerkings
		NASTRAN	Kommersieel	FrontISTR
G231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
G232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 nodusse / vlakspanningsprobleem
G241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
G242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 nodusse / vlakspanningsprobleem
G341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 nodusse
G342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525 nodusse
G351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 nodusse
G352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 nodusse
G361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 nodusse
G362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 nodusse
G731	40	-	-	-0.991	33 nodusse / direkte metode
G741	20	-	-	-0.996	33 nodusse / direkte metode

Nie-lineêre statiese analise¶

(2-1) exnl1: Geometries nie-lineêre analise¶

Die verifikasiemodel vir geval exI is identies aan die modelle vir gevalle exA tot exG. Figuur 9.1.3 toon ’n skematiese voorstelling van die verifikasiemodel. ’n Geometries nie-lineêre analise word op hierdie model uitgevoer. Die verifikasieresultate word in Tabel 9.1.8 getoon.

Die nie-lineêre berekening gebruik ’n verwysingslas van \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), met ’n inkrement van \(0.1P\) oor 10 lasstappe.

Figuur 9.1.3 Verifikasiemodel

Tabel 9.1.8 exI: Verifikasieresultate (maksimum deurbuigingsgeskiedenis)

Gevalnaam	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	Lineêre oplossing
I231	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I232	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I241	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I242	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I341	0.039	0.077	0.116	0.154	0.193	0.232	0.270	0.309	0.348	0.386	0.386
I342	0.099	0.200	0.300	0.400	0.499	0.599	0.698	0.797	0.896	0.995	0.999
I351	0.035	0.070	0.105	0.141	0.176	0.211	0.246	0.281	0.316	0.351	0.351
I352	0.099	0.198	0.298	0.397	0.496	0.595	0.693	0.792	0.890	0.987	0.992
I361	0.070	0.139	0.209	0.278	0.348	0.417	0.487	0.556	0.625	0.694	0.984
I362	0.099	0.197	0.298	0.397	0.496	0.595	0.694	0.793	0.891	0.988	0.993

(2-2) exnl2: Elastoplastiese vervormingsanalise¶

Hierdie verifikasieprobleem is gebaseer op National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.): Toets NL1 van NAFEMS, en voer ’n elastoplastiese vervormingsanalise uit wat geometriese nie-lineariteit en verskeie verhardingsreëls insluit. Figuur 9.1.4 toon die analismodel.

Elastoplastiese vervormingsanalisemodel

Figuur 9.1.4 Elastoplastiese vervormingsanalisemodel

(1) Verifikasievoorwaardes

Item	Waarde
Materiaal	Mises-elastoplastiese materiaal
Young se modulus	\(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
Poisson se verhouding	\(\nu=0.25\)
Aanvanklike vloeispanning	\(5\ \mathrm{MPa}\)
Aanvanklike vloeirek	\(0.25\times10^{-4}\)
Isotropiese verhardingskoëffisiënt	\(H_i = 0\) of \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(2) Randvoorwaardes

Item	Randvoorwaarde	Waarde
Stap 1	Voorgeskrewe verplasing by nodusse 2 en 3	\(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Stap 2	Voorgeskrewe verplasing by nodusse 2 en 3	\(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Stap 3	Voorgeskrewe verplasing by nodusse 3 en 4	\(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Stap 4	Voorgeskrewe verplasing by nodusse 3 en 4	\(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Stap 5	Voorgeskrewe verplasing by nodusse 2 en 3	\(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Stap 6	Voorgeskrewe verplasing by nodusse 2 en 3	\(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Stap 7	Voorgeskrewe verplasing by nodusse 3 en 4	\(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Stap 8	Voorgeskrewe verplasing by nodusse 3 en 4	\(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Alle nodusse wat nie hier gelys word nie, is volledig beperk. Die teoretiese oplossing vir hierdie probleem is soos volg.

Rek (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Ekwivalente spanning (MPa) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0	5.0; 5.0
0.50, 0, 0	5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0	5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0	5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0	5.0; 6.640
0, 0.50, 0	5.0; 7.322
0, 0.25, 0	3.917; 4.230
0, 0, 0	5.0; 5.673

Ter vergelyking is die berekeningsresultate soos volg.

Rek (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Ekwivalente spanning (MPa) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\)	\(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0	5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0	3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Kontakanalise (1)¶

Hierdie verifikasieprobleem is gebaseer op die kontakvlak-toetsprobleem CGS-4 van die National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), en toets die eindige-gly-kontakvermoë met wrywing. Figuur 9.1.5 toon die analisemodel.

Kontakanalisemodel

Figuur 9.1.5 Kontakanalisemodel

Die ewewigsvoorwaarde vir hierdie probleem is soos volg.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

In die kleefwrywingstadium is die wrywingskrag

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

en in die glywrywingstadium is dit

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

.

Die vergelyking tussen die berekeningsresultate en die analitiese oplossing is soos volg.

\(\mu\)	\(F/G\) Analitiese oplossing	\(F/G\) Berekeningsresultate
0.0	0.1	0.1
0.1	0.202	0.202
0.2	0.306	0.306
0.3	0.412	0.412

Kontakanalise (2): Hertz-kontakprobleem¶

Hierdie verifikasie ontleed die Hertz-kontakprobleem tussen ’n oneindig lang silinder en ’n oneindige vlak. Die silinderradius is \(R = 8\ \mathrm{mm}\), en Young se modulus \(E\) en Poisson se verhouding \(\mu\) van die vervormbare liggaam is onderskeidelik \(1100\ \mathrm{MPa}\) en \(0.0\). Daar word aanvaar dat die kontakarea voldoende klein is in vergelyking met die silinderradius, en met inagneming van die simmetrie van die probleem word ’n kwart-silindermodel ontleed.

Figuur 9.1.6 Analise-model vir die Hertz-kontakprobleem

(1) Verifikasieresultate van die kontakradius¶

Die teoretiese formule om die kontakradius te bereken is soos volg:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

waar

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

. Onder die huidige berekeningsvoorwaardes, wanneer die druk \(F=100\) is, is die kontakradius \(a=1.36\).

Figuur 9.1.7 toon die ekwivalente nodale kragte by die kontakpunte. Die kontakradius word verkry deur hierdie nodale-kragverdeling te ekstrapoleer.

Ekwivalente nodale-kragverdeling by die kontakpunte

Figuur 9.1.7 Ekwivalente nodale-kragverdeling by die kontakpunte

(2) Verifikasieresultate vir maksimum skuifspanning¶

In die teoretiese oplossing, by die kontakposisie

\[ z = 0.78a \]

is die maksimum skuifspanning

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

. Onder die huidige berekeningsvoorwaardes,

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

. Ter vergelyking gee die berekening

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

.

Figuur 9.1.8 Skuifspanningsverdeling (maksimum waarde = 15.6)

(3) Modale analise¶

Die verifikasiemodelle vir gevalle exJ en exK is identies aan die modelle vir gevalle exA tot exG. Figuur 9.1.9 toon ’n skematiese voorstelling van die verifikasiemodel. ’n Modale analise word op hierdie model uitgevoer. Die eerste drie natuurlike frekwensies word bereken. Geval exJ gebruik ’n iteratiewe oplosser, terwyl geval exK ’n direkte oplosser gebruik. Die verifikasieresultate word in Tabelle 9.1.9 tot 9.1.12 getoon.

Figuur 9.1.9 Verifikasiemodel

Die natuurlike frekwensies van die vrykragbalk word uit die volgende vergelykings verkry.

Eerste natuurlike frekwensie

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Tweede natuurlike frekwensie

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Derde natuurlike frekwensie

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Die eienskapwaardes van die verifikasiemodel is

Item	Waarde
\(I\)	\(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\)	\(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\)	\(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\)	\(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\)	\(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

Die eerste drie natuurlike frekwensies is dus soos volg:

Modusnommer	Waarde
\(n_1\)	3.609e3
\(n_2\)	2.262e4
\(n_3\)	6.335e4

Tabel 9.1.9: exJ: Verifikasieresultate van die iteratiewe metode vir die eerste natuurlike frekwensie

Gevalnaam	Aantal elemente	Voorspelde waarde : n1=3.609e3		Opmerkings
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 nodusse / vlakspanningsprobleem
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 nodusse / vlakspanningsprobleem
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 nodusse
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 nodusse
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 nodusse
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 nodusse
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 nodusse
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 nodusse

Tabel 9.1.10: Verifikasieresultate van exJ volgens die iteratiewe metode vir die tweede natuurlike frekwensie

Gevalnaam	Aantal elemente	Voorspelde waarde : n2=2.262e4		Opmerkings
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 nodusse / vlakspanningsprobleem
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 nodusse / vlakspanningsprobleem
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 nodusse
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 nodusse
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 nodusse
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 nodusse
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 nodusse
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 nodusse

Let wel: In die driedimensionele modelle is die eerste twee modusse gedegenereer. Daarom word die derde berekende natuurlike frekwensie in die tabel as die tweede natuurlike frekwensie aangegee.

Tabel 9.1.11: Verifikasieresultate van exK volgens die direkte metode vir die eerste natuurlike frekwensie

Gevalnaam	Aantal elemente	Voorspelde waarde : n1=3.609e3		Opmerkings
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 nodusse / vlakspanningsprobleem
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 nodusse / vlakspanningsprobleem
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 nodusse
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 nodusse
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 nodusse
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 nodusse
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 nodusse
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 nodusse
J731	40	-	3.606e3	220 nodusse
J741	20	-	3.594e3	220 nodusse

Tabel 9.1.12: Verifikasieresultate van exK volgens die direkte metode vir die tweede natuurlike frekwensie

Gevalnaam	Aantal elemente	Voorspelde waarde : n2=2.262e4		Opmerkings
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 nodusse / vlakspanningsprobleem
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 nodusse / vlakspanningsprobleem
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 nodusse / vlakspanningsprobleem
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 nodusse
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 nodusse
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 nodusse
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 nodusse
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 nodusse
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 nodusse
J731	40	-	2.156e4	220 nodusse
J741	20	-	2.153e4	220 nodusse

Let wel: In die driedimensionele modelle is die eerste twee modusse gedegenereer. Daarom word die derde berekende natuurlike frekwensie in die tabel as die tweede natuurlike frekwensie aangegee.

(4) Warmtegeleidingsanalise¶

Die gemeenskaplike voorwaardes vir die bestendige warmtegeleidingsanalises word in Figuur 9.1.10 getoon. Die individuele voorwaardes vir verifikasiegevalle exM tot exT word in Figuur 9.1.11 getoon. Die maasverdeling is ekwivalent aan dié wat vir exA gebruik word.

Die verifikasieresultate (temperatuurverdelingstabel) vir elke geval word in Tabelle 9.1.13–9.1.20 aangebied.

Warmtegeleidingsanalise


Lengte tussen AB	\(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
Deursnee-oppervlakte	\(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

Temperatuurafhanklikheid van termiese geleidingsvermoë

Termiese geleidingsvermoë \(\lambda\) (W/(m·K))	Temperatuur (°C)
50.0	0.0
35.0	500.0
20.0	1000.0

Figuur 9.1.10: Verifikasievoorwaardes van bestendige warmtegeleidingsanalise


exM: Lineêre materiaal
exN: Voorgeskrewe-temperatuurprobleem
exO: Gekonsentreerde-hittevloedprobleem
exP: Verspreide-hittevloedprobleem
exQ: Konvektiewe-hitteoordragprobleem
exR: Stralingshitteoordragprobleem
exS: Volume-hittegenerasieprobleem
exT: Interne-spleetprobleem

Figuur 9.1.11: Analisevoorwaardes vir elke verifikasiegeval

Tabel 9.1.13: Verifikasieresultate van exM (bestendige berekening van lineêre materiaal)

Gevalnaam	Elementsoort	Elemente/nodusse	Afstand vanaf einde A (m)
			Rand A	2.0	4.0	6.0	8,0	Rand B
M361A	361	40／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361B	361	40／105	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361C	361	20／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361D	361	20／85	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361E	361	240／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361F	361	24／525	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361G	361	80／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0

Tabel 9.1.14: Verifikasieresultate van exN (voorgeskrewe-temperatuurprobleem)

Gevalnaam	Elementsoort	Elemente/nodusse	Afstand vanaf einde A (m)
			Rand A	2.0	4.0	6.0	8,0	Rand B
Kommersieel	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N231	231	40／33	0.0	87.2	179.5	278.0	384.1	500.0
N232	232	40／105	0.0	86.0	178.3	276.8	382.9	500.0
N241	241	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N242	242	20／85	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N341	341	240／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N342	342	24／525	0.0	87.9	179.9	278.0	383.6	500.0
N351	351	80／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N352	352	80／381	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N361	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N362	362	40／330	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N731	731	40／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N741	741	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0

Tabel 9.1.15: Verifikasieresultate van exO (gekonsentreerde-hittevloedprobleem)

Gevalnaam	Elementsoort	Elemente/nodusse	Afstand vanaf einde A (m)
			Rand A	2.0	4.0	6.0	8,0	Rand B
Kommersieel	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.4	465.2	618.0
O341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
O342	342	24／525	0.0	104.4	214.9	334.7	466.3	614.6
O351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
O352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	465.0	624.2
O361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	623.5
O731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
O741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabel 9.1.16: Verifikasieresultate van exP (verspreide-hittevloedprobleem)

Gevalnaam	Elementsoort	Elemente/nodusse	Afstand vanaf einde A (m)
			Rand A	2.0	4.0	6.0	8,0	Rand B
Kommersieel	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
P342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
P352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	612.6
P731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
P741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabel 9.1.17: Verifikasieresultate van exQ (konvektiewe-hitteoordragprobleem)

Gevalnaam	Elementsoort	Elemente/nodusse	Afstand vanaf einde A (m)
			Rand A	2.0	4.0	6.0	8,0	Rand B
Kommersieel	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q231	231	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q232	232	40／105	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q241	241	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q242	242	20／85	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
Q342	342	24／525	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
Q352	352	80／381	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q361	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q362	362	40／330	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q731	731	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q741	741	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2

Tabel 9.1.18: Verifikasieresultate van exR (stralingshitteoordragprobleem)

Gevalnaam	Elementsoort	Elemente/nodusse	Afstand vanaf einde A (m)
			Rand A	2.0	4.0	6.0	8,0	Rand B
Kommersieel	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R231	231	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R232	232	40／105	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R241	241	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R242	242	20／85	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
R342	342	24／525	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
R352	352	80／381	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R361	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R362	362	40／330	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R731	731	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R741	741	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2

Tabel 9.1.19: Verifikasieresultate van exS (volume-hittegenerasieprobleem)

Gevalnaam	Elementsoort	Elemente/nodusse	Afstand vanaf einde A (m)
			Rand A	2.0	4.0	6.0	8,0	Rand B
Kommersieel	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabel 9.1.20: Verifikasieresultate van exT (interne-spleetprobleem)

Gevalnaam	Elementsoort	Elemente/nodusse	Afstand vanaf einde A (m)
			Rand A	2.0	4.0	6.0	8,0	Rand B
Kommersieel	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S231	231	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S232	232	40／105	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S241	241	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S242	242	20／85	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S361	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S362	362	40／330	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S731	731	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S741	741	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0

Lineêre dinamiese analise¶

In exW word ’n lineêre dinamiese analise op dieselfde vrykragbalk as in item (1) uitgevoer. Figuur 9.1.12 toon die verifikasievoorwaardes. Vir dieselfde maasverdeling word die uitwerking van die tydinkrement op die resultate geverifieer. Beide implisiete en eksplisiete tydintegrasiemetodes word gebruik, met elementsoorte 361 en 342. Die verifikasieresultate word in Tabel 9.1.22 en Figure 9.1.13 tot 9.1.15 getoon.

Analisemodel

Tydsgeskiedenis van eksterne krag F

Die teoretiese oplossing vir die verplasing van die opwekkingspunt is soos volg:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

waar

\[ \(F_0:\ \text{Konstante vektor}\) \]

\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]

\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Figuur 9.1.12: Verifikasievoorwaardes van lineêre dinamiese analise

Verifikasievoorwaardes:


Lengte	\(L\)	\(10.0\ \mathrm{mm}\)
Deursneewydte	\(a\)	\(1.0\ \mathrm{mm}\)
Deursneehoogte	\(b\)	\(1.0\ \mathrm{mm}\)
Young se modulus	\(E\)	\(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Poisson se verhouding	\(\nu\)	\(0.3\)
Digtheid	\(\rho\)	\(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Swaartekragversnelling	\(g\)	\(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Eksterne krag	\(F_0\)	\(1.0\ \mathrm{kgf}\)


Element	Eerste-orde heksaëdriese element
Tweede-orde tetraëdriese element
Oplossing	Implisiete metode
Newmark-\(\beta\)-metodeparameter \(\gamma\)	1/2
Parameter \(\beta\) van die Newmark-\(\beta\)-metode	1/4
Eksplisiete metode
Demping	Geen

Tabel 9.1.21: Verifikasievoorwaardes van die lineêre dinamiese analise (vervolg)

Gevalnaam	Elementsoort	Aantal nodusse	Aantal elemente	Oplossing	Tydinkrement \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	Implisiete metode	1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	Implisiete metode	1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	Implisiete metode	1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	Implisiete metode	1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	Implisiete metode	1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	Implisiete metode	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	Eksplisiete metode	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	Eksplisiete metode	1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	Eksplisiete metode	1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	Eksplisiete metode	1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	Eksplisiete metode	5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	Eksplisiete metode	1.0E-07

Tabel 9.1.22: Verifikasieresultate van lineêre dinamiese analise van exW (vrykragbalk)

Gevalnaam	Elementsoort	Aantal nodusse	Aantal elemente	Metode	z-rigtingverplasing op tydstip \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) (mm)
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	Implisiete metode	1.9753	1.9302
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	Implisiete metode	1.9753	1.8686
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	Implisiete metode	1.9753	0.3794
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	Implisiete metode	1.9753	1.9302
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	Implisiete metode	1.9753	1.9247
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	Implisiete metode	1.9753	Gedivergeer
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	Eksplisiete metode	1.9753	1.9431
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	Eksplisiete metode	1.9753	1.8719
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	Eksplisiete metode	1.9753	0.3873
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	Eksplisiete metode	1.9753	1.9359
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	Eksplisiete metode	1.9753	1.9358
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	Eksplisiete metode	1.9753	Gedivergeer

Figuur 9.1.13: Vervormingsdiagram en ekwivalente spanningsverdeling van die vrykragbalk

(a) Elementsoort 361 : Implisiete metode

(b) Elementsoort 361 : Eksplisiete metode (b) Elementsoort 361: Eksplisiete metode

Figuur 9.1.14 Tydsgeskiedenis van die verplasing van die opwekkingspunt \(u_z\)

(a) Elementsoort 342: Implisiete metode

(b) Elementsoort 342: Eksplisiete metode

Figuur 9.1.15: Tydsgeskiedenis van die verplasing van die opwekkingspunt \(u_z\)

Frekwensieresponsanalise¶

In hierdie verifikasie word ’n frekwensieresponsanalise op ’n vrykragbalk uitgevoer en deur vergelyking met resultate van ’n algemene kommersiële oplosser gevalideer. Die analisemodel en verifikasievoorwaardes word hieronder getoon.

Analisevoorwaardes:


Young se modulus	\(E\)	\(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
Poisson se verhouding	\(\nu\)	\(0.3\)
Digtheid	\(\rho\)	\(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
Swaartekragversnelling	\(g\)	\(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Las	\(F_0\)	\(1.0\ \mathrm{N}\)
Parameter van Rayleigh-demping	\(R_m\)	\(0.0\)
Parameter van Rayleigh-demping	\(R_k\)	\(7.2E-07\)

Figuur 9.1.16 Analisemodel (eerste-orde tetraëdriese elemente: 126 elemente, 55 nodusse)

Die eerste vyf natuurlike frekwensies wat uit die modale analise verkry is, en die frekwensierespons by die opwekkingspunt, word hieronder getoon.

modus	FrontISTR	Kommersieel
1	14952	14952
2	15002	15003
3	84604	84539
4	84771	84697
5	127054	126852

Figuur 9.1.17 : Frekwensieafhanklikheid van die grootte van die verplasing by die opwekkingspunt