መስመራዊ ኤላስቲክ ስታቲክ ትንተና (መግቢያ)
እዚህ በአነስተኛ መበላሸት ጽንሰ-ሐሳብ ላይ የተመሠረተ የኤላስቲክ ስታቲክ ትንተና ፎርሙሌሽን ይቀርባል። በስትሬስ–ስትሬይን ግንኙነት ላይ መስመራዊ ኤላስቲሲቲ ይገመታል። ይህ ምዕራፍ በውሱን ኤለመንት ዘዴ የመዋቅራዊ ትንተናን አጠቃላይ ሂደት ለመረዳት የመግቢያ ክፍል ነው፣ እና በ1 ምዕራፍ ውስጥ ሙሉ በሙሉ እንዲነበብ ተዘጋጅቷል።
ስለ ምናባዊ ሥራ መርህ አጠቃላይ ውይይት (የአሁኑ ኮንፊግሬሽን፣ የመጀመሪያ ኮንፊግሬሽን እና ወደ አነስተኛ መበላሸት መቀነስ) የምናባዊ ሥራ መርህ ይመልከቱ። የመስመራዊ ኤላስቲክ የቁስ ግንኙነት ሕግ ዝርዝር መስመራዊ ኤላስቲሲቲ፣ የቴንሰር ኖቴሽንና የVoigt ኖቴሽን ደንቦች የቴንሰር ኖቴሽንና የሂሳብ መሠረቶች፣ የትልቅ መበላሸት አጠቃላይ ፎርሙሌሽን እንቅስቃሴ፣ መቀየር እና ስትሬይን፣ የመስመራዊ ያልሆኑ ችግሮች መፍትሔ ደግሞ ታንጀንት ግትርነት ማትሪክስ ይመልከቱ።
መሠረታዊ እኩልታዎች
በአነስተኛ መበላሸት እና መስመራዊ ኤላስቲሲቲ ግምት ስር የጠንካራ አካል ሜካኒክስ የወሰን-ዋጋ ችግር የሚዛን እኩልታ፣ የሜካኒካዊ ወሰን ሁኔታ እና የጂኦሜትሪ ወሰን ሁኔታ (መሠረታዊ ወሰን ሁኔታ) ያካትታል (ስዕል 2.1.1 ይመልከቱ)፦
\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]
እዚህ \(\boldsymbol{\sigma}\) የCauchy ስትሬስ፣ \(\overline{\boldsymbol{b}}\) በአንድ የድምጽ መጠን የሚሰራ የአካል ኃይል፣ \(\overline{\boldsymbol{t}}\) የወለል ኃይል (የተወሰነ ዋጋ)፣ \(\overline{\boldsymbol{u}}\) የተወሰነ መፈናቀል፣ እና \(S_t, S_u\) በቅደም ተከተል የሜካኒካዊ እና የጂኦሜትሪ ወሰኖች ናቸው።
ስዕል 2.1.1 በጠንካራ አካል ሜካኒክስ ውስጥ የወሰን-ዋጋ ችግር (አነስተኛ መበላሸት)
የስትሬይን–መፈናቀል ግንኙነት ሲሜትሪክ ግራዲየንት ኦፕሬተር በመጠቀም
\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]
የመስመራዊ ኤላስቲክ መዋቅራዊ እኩልታ
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]
በዚህ ይሰጣል (\(\boldsymbol{C}\) የ4ኛ ደረጃ ኤላስቲክ ቴንሰር ነው)።
የምናባዊ ሥራ መርህ
የምናባዊ ሥራ መርህ አጠቃላይ ቅርጽ (የአሁኑ ኮንፊግሬሽን አቀራረብ፣ የመጀመሪያ ኮንፊግሬሽን አቀራረብ እና ወደ አነስተኛ መበላሸት መቀነስ) በ የምናባዊ ሥራ መርህ ውስጥ ተጠቃሏል። በአነስተኛ መበላሸት እና መስመራዊ ኤላስቲሲቲ ግምት ስር ያለው ደካማ ቅርጽ
\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]
ነው። የመዋቅራዊ እኩልታ \eqref{eq:2.1.5} በመተካት እና በ Voigt ኖቴሽን \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ብለን በመጻፍ፣ በዲስክሪታይዜሽን ውስጥ በቀጥታ የሚጠቀምበትን ቅርጽ
\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]
እናገኛለን (\(D\) በ መስመራዊ ኤላስቲሲቲ የተገለጸው የኤላስቲክ ማትሪክስ ነው)። እኩልታዎች \eqref{eq:2.1.10} እና \eqref{eq:2.1.7} ከዚህ በታች የሚዲስክሪታይዝ የምናባዊ ሥራ መርህ ናቸው።
ዲስክሪታይዜሽን እና የአጠቃላይ እኩልታ አሰባሰብ
የምናባዊ ሥራ መርህ እኩልታ \( \eqref{eq:2.1.10} \) ለእያንዳንዱ ውሱን ኤለመንት ዲስክሪታይዝ በማድረግ የሚከተለው ይገኛል።
\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]
ለእያንዳንዱ ኤለመንት፣ የኤለመንቱን ኖዶች መፈናቀል በመጠቀም የመፈናቀል መስኩ እንደሚከተለው ኢንተርፖሌት ይደረጋል።
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]
በዚህ ጊዜ ስትሬይኑ እኩልታ \(\eqref{eq:2.1.4}\) በመጠቀም እንደሚከተለው ይሰጣል።
\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]
እኩልታዎች \(\eqref{eq:2.1.12}\) እና \(\eqref{eq:2.1.13}\) በእኩልታ \(\eqref{eq:2.1.11}\) ውስጥ በመተካት የሚከተለው ይገኛል።
\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]
እኩልታ \(\eqref{eq:2.1.14}\) እንደሚከተለው ሊጠቃለል ይችላል።
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]
እዚህ፣ በእኩልታዎች \(\eqref{eq:2.1.16}\) እና \(\eqref{eq:2.1.17}\) የተገለጹት የማትሪክሱ እና የቬክተሩ አካላት ለእያንዳንዱ ውሱን ኤለመንት ተለይተው ሊሰሉ እና ከዚያ ሊሰባሰቡ ይችላሉ።
\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]
እኩልታ \(\eqref{eq:2.1.15}\) ለማንኛውም ምናባዊ መፈናቀል \(\delta \boldsymbol{U}\) ስለሚሰራ፣ የሚከተለው ይገኛል።
\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]
በሌላ በኩል፣ የመፈናቀል ወሰን ሁኔታ እኩልታ \(\eqref{eq:2.1.3}\) እንደሚከተለው ይገለጻል።
\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]
እኩልታ \(\eqref{eq:2.1.18}\) በገደብ ሁኔታ \(\eqref{eq:2.1.19}\) ስር በመፍታት የኖዶች መፈናቀል \(\boldsymbol{U}\) ሊወሰን ይችላል።
ተዛማጅ ርዕሶች