Skip to content

መስመራዊ ኤላስቲሲቲ

ይህ ምዕራፍ የመስመራዊ ኤላስቲክ ቁሳቁሶችን የቁስ ግንኙነት ሕግ (የHooke ሕግ) ይመለከታል። ሞዴል ምርጫና የግቤት መግለጫ ዝርዝሮችን በተግባራት ክፍል 03_material ይመልከቱ።

ክስተት (መስመራዊ ኤላስቲክ ምላሽ)

መስመራዊ ኤላስቲክ አካል ማለት፣ በጭነት ስር ያለው ስትሬይን በቂ ሁኔታ ትንሽ በሆነበት ክልል ስትሬስና ስትሬይን መስመራዊ ግንኙነት ያላቸው፣ ጭነቱ ሲወገድም ሁሉም ስትሬይን ወደ መነሻ ሁኔታ የሚመለስበት ተመላሽና ከታሪክ ነፃ ምላሽ የሚያሳይ ቁሳቁስ ነው። ከፕላስቲሲቲ ወይም ክሪፕ በተለየ፣ ሁኔታን የሚወክሉ የውስጥ ተለዋዋጮች (እንደ ፕላስቲክ ስትሬይን ወይም ቪስኮስ ስትሬይን) የሉትም፣ ስትሬሱም በአሁኑ ስትሬይን ብቻ በአንድ ወጥ ሁኔታ ይወሰናል።

በእጅግ ትንሽ ቅርጽ-ለውጥ ክልል Cauchy ስትሬስ \(\boldsymbol{\sigma}\) እና እጅግ ትንሽ ስትሬይን \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ይጠቀማሉ፤ በውስን ቅርጽ-ለውጥ ክልል (ትልቅ መዞር ያካተቱ ነገር ግን ስትሬይኑ ራሱ ትንሽ የሆነ ችግር) 2ኛ Piola-Kirchhoff ስትሬስ \(\boldsymbol{S}\) እና Green-Lagrange ስትሬይን \(\boldsymbol{E}\) ይጠቀማሉ (St.Venant-Kirchhoff ቁሳቁስ)።

የቁስ ግንኙነት ሕግ

አይሶትሮፒክ መስመራዊ ኤላስቲክ አካል

በእጅግ ትንሽ ቅርጽ-ለውጥ ክልል ያለው አይሶትሮፒክ የHooke ሕግ፣ የLamé ቋሚዎች \(\lambda, \mu\) በመጠቀም

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

ተብሎ ይገለጻል። በኮምፖነንት አጻጻፍ

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

ይሆናል፣ ከስትሬይን ጋር በድርብ ኮንትራክሽን \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) ይሰጣል። የLamé ቋሚዎች ከያንግ ሞዱለስ \(E\) እና ከፖይሰን ሬሾ \(\nu\) ጋር የሚከተለው ግንኙነት አላቸው፦

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

በVoigt ኖቴሽን የስትሬይን ቬክተር \(\hat{\varepsilon}\) እና የስትሬስ ቬክተር \(\hat{\sigma}\) ግንኙነት \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ተብሎ ይጻፋል፣ የ3-ልኬት የቁሳቁስ ማትሪክስ \(D\) ደግሞ

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

እንደዚህ ይሰጣል (በአተገባበሩ ውስጥ ይህ የማትሪክስ አቀራረብ ይጠቀማል)።

ኦርቶትሮፒክ መስመራዊ ኤላስቲክ አካል

በዋና አክስ አቅጣጫዎች መሠረት የኤላስቲክ ቋሚዎች በሚለያዩባቸው ቁሳቁሶች፣ 9 ገለልተኛ ቋሚዎች ያሉት ኦርቶትሮፒክ ሞዴል ይጠቀማል፦ በዋና አክሶች አቅጣጫ የያንግ ሞዱለሶች \(E_1, E_2, E_3\)፣ በዋና አክሶች መካከል የፖይሰን ሬሾዎች \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\)፣ እና ሼር ሞዱለሶች \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\)። የ\(D\) ማትሪክሱ ዝርዝር ቅርጽ ለመደበኛ የቴክኒክ ምንጮች ይተዋል።

የውስን ቅርጽ-ለውጥ ክልል፦ St.Venant-Kirchhoff ቁሳቁስ

ትልቅ መዞርን የሚያካትቱ ነገር ግን ስትሬይኑ ራሱ ትንሽ በሆነ ችግር፣ St.Venant-Kirchhoff ቁሳቁስ በ2ኛ Piola-Kirchhoff ስትሬስ \(\boldsymbol{S}\) እና Green-Lagrange ስትሬይን \(\boldsymbol{E}\) መካከል የሚገኝ መስመራዊ ኤላስቲክ ሕግ ሆኖ ይጠቀማል፦

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

የLamé ቋሚዎች \(\lambda, \mu\) ትርጉም ከእጅግ ትንሽ ቅርጽ-ለውጥ ሁኔታ ጋር ተመሳሳይ ነው። ነገር ግን የስትሬስና ስትሬይን ጥንድ ትርጉም ስለሚለይ፣ ይህ ከእጅግ ትንሽ ቅርጽ-ለውጥ የHooke ሕግ የተለየ የቁስ ግንኙነት ሕግ መሆኑን ልብ ይበሉ።

ሃይፖኤላስቲክ ቁሳቁስ

በUpdated Lagrange ዘዴ፣ በአንጻራዊ Kirchhoff ስትሬስ ቴንሰር Jaumann ሬት \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) እና የቅርጽ-ለውጥ ሬት ቴንሰር \(\boldsymbol{D}\) መካከል ያለውን መስመራዊ ኤላስቲክ ሕግ

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

የሚጠቀም ሃይፖኤላስቲክ ቁሳቁስ ይጠቀማል። እዚህም \(\boldsymbol{C}\) በLamé ቋሚዎች የሚገለጽበት መንገድ ከላይ ጋር ተመሳሳይ ነው፣ ነገር ግን የስትሬስና ስትሬይን ጥንድ ስለሚለይ የተለየ የቁስ ግንኙነት ሕግ ነው። በጊዜ ኢንተግሬሽን ሂደት (ፎርዋርድ Euler ኢንተግሬሽን እና ሴንትራል-ዲፈረንስ ግምት) \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) የሚዘምንበት ዝርዝር tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex ይመልከቱ።

ለ2-ልኬት ትንተናና ለሼል ኤለመንቶች ማቃለል

ፕሌን ስትሬስ (\(\sigma_{33} = 0\))

ቀጭን ፕሌቶችና ሼሎች ላይ ያለ ጭነትን በሚወክል ፕሌን ስትሬስ፣ \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) ተብሎ ይገመታል፣ ከወለል ውጭ ያለው የስትሬይን ኮምፖነንት \(\varepsilon_{33}\) በአልጀብራዊ ሁኔታ ከተወገደ በኋላ የተገኘው \(D\) ይጠቀማል፦

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

ፕሌን ስትሬይን (\(\varepsilon_{33} = 0\))

በውፍረት አቅጣጫ የተገደበ ረጅም መዋቅር መቆራረጫን በሚወክል ፕሌን ስትሬይን፣ \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) ተብሎ ይገመታል፦

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

አክሲሲሜትሪክ

በሲሊንደሪካል መጋጠሚያዎች \((r, \theta, z)\) ውስጥ በ\(\theta\) አቅጣጫ ወጥ የሆነ ችግርን በሚመለከት አክሲሲሜትሪክ ትንተና፣ 4ቱ ኮምፖነንቶች \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\)፣ \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) ይቀመጣሉ፣ እና

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

ይሆናል።

የሼል ኤለመንቶች (ፕሌን ስትሬስ + ትራንስቨርስ ሸር)

በሼል ኤለመንቶች ውስጥ በወለሉ ውስጥ ያለው ስትሬስ እንደ ፕሌን ስትሬስ ይያዛል፣ በተጨማሪም ለትራንስቨርስ ሸር ስትሬይን ኮምፖነንቶች \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) የሸር ማስተካከያ ኮኤፊሺየንት \(\kappa\) (በአጠቃላይ \(\kappa = 5/6\)) የተተገበረበት \(\kappa\, G\) ይጠቀማል። የእያንዳንዱ ኤለመንት ዝርዝር ፎርሙሌሽን የላቀ የኤለመንት ፎርሙሌሽን ይመልከቱ። በተግባራት ክፍል 03_material ያለው "የሼል ኤለመንቶች መስመራዊ ኤላስቲሲቲን ብቻ ይደግፋሉ" የሚለው ዝርዝር፣ በወለል ውስጥ ያለውን ሁኔታ እንደ ፕሌን ስትሬስ በሚይዘው ቀላል ማድረግ ላይ የተመሰረተ ነው።

የሙቀት ጥገኛነት

የያንግ ሞዱለስ \(E\)፣ የፖይሰን ሬሾ \(\nu\)፣ እና የመስመራዊ ቴርማል ኤክስፓንሽን ኮኤፊሺየንት \(\alpha\) በአጠቃላይ እንደ ሙቀት \(T\) ፋንክሽን ይገለጻሉ። FrontISTR ለውሱን የሙቀት ነጥቦች ቅደም ተከተል \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) እሴቶችን እንዲገቡ ያደርጋል፣ በስሌት ወቅት ያለው ሙቀት \(T\) ደግሞ በተጎራባች ነጥቦች መካከል በመስመራዊ ኢንተርፖሌሽን ይገመገማል። ከክልሉ ውጭ ላሉ ሙቀቶች (\(T < T_1\) ወይም \(T > T_n\)) በቅርብ ጫፍ \(T_1\) ወይም \(T_n\) ያለው እሴት ለኤክስትራፖሌሽን ይጠቀማል (ቋሚ ኤክስትራፖሌሽን)።

የቴርማልና የሙቀት ኮንዳክሽን ባህሪያት (ዴንሲቲ፣ ስፔሲፊክ ሂት፣ ቴርማል ኮንዳክቲቪቲ) የሙቀት ጥገኛነት ለማወቅ የቴርማል ባህሪያት ይመልከቱ። የኢንተርፖሌሽን ደንቦቹ ለእነዚህም ተመሳሳይ ናቸው።

ተዛማጅ ርዕሶች