ኤላስቶፕላስቲሲቲ¶

በዚህ ምዕራፍ FrontISTR የሚጠቀምበትን የኤላስቶፕላስቲክ የቁስ ግንኙነት ሕግ (constitutive law) ማዕቀፍ እንመለከታለን። ስለ ምርጫው እና ስለ ግቤት መግለጫው ዝርዝር በተግባሮች ክፍል ያለውን 03_material ይመልከቱ።

ክስተት (ፕላስቲክ ዲፎርሜሽን)¶

TBD (በሚቀጥለው ደረጃ ይጻፋል)።

የቁስ ግንኙነት ሕጉ ማዕቀፍ¶

FrontISTR ተያያዥ የፍሰት ሕግን (associated flow rule) የሚከተል የኤላስቶፕላስቲክ የቁስ ግንኙነት ቀመር ይጠቀማል። ይህ የቁስ ግንኙነት ቀመር በKirchhoff ስትሬስ የJaumann ለውጥ ፍጥነት እና በዲፎርሜሽን ፍጥነት ቴንሰር መካከል ያለውን ግንኙነት ይገልጻል፤ የዲፎርሜሽን ትንተናውም updated Lagrange ዘዴን ይጠቀማል።

የኤላስቶፕላስቲክ ቁስ የመፍሰስ ሁኔታ እንደሚከተለው ተሰጥቷል ብለን እንውሰድ።

የመጀመሪያ የመፍሰስ ሁኔታ:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

ቀጣይ የመፍሰስ ሁኔታ:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

እዚህ፣

\(F\): የመፍሰስ ፋንክሽን
\(\sigma_{y_0}\): የመጀመሪያ የመፍሰስ ስትሬስ
\(\sigma_y\): ቀጣይ የመፍሰስ ስትሬስ
\(\sigma\): የስትሬስ ቴንሰር
\(e\): የአነስተኛ ስትሬይን ቴንሰር
\(e^p\): የፕላስቲክ ስትሬይን ቴንሰር
\(\overline{e}^p\): ተመጣጣኝ ፕላስቲክ ስትሬይን

የመፍሰስ ስትሬስ–ተመጣጣኝ ፕላስቲክ ስትሬይን ግንኙነት በአንድ-ዘንግ ሁኔታ ካለው የስትሬስ–ፕላስቲክ ስትሬይን ግንኙነት ጋር እኩል ነው ብለን እንውሰድ።

በአንድ-ዘንግ ሁኔታ ያለ የስትሬስ–ፕላስቲክ ስትሬይን ግንኙነት

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

እዚህ \(H'\) የስትሬይን ማጠንከሪያ ኮፊሺየንት ነው።

የተመጣጣኝ ስትሬስ–ተመጣጣኝ ፕላስቲክ ስትሬይን ግንኙነት

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

በአጠቃላይ ቀጣዩ የመፍሰስ ፋንክሽን የሙቀት እና የፕላስቲክ ስትሬይን ሥራ ፋንክሽን ነው፤ እዚህ ግን ለማቅለል የተመጣጣኝ ፕላስቲክ ስትሬይን \(\overline{e}^p\) ብቻ ፋንክሽን ነው ብለን እንውሰድ። ፕላስቲክ ዲፎርሜሽኑ በሚቀጥልበት ጊዜ \(F = 0\) ያለማቋረጥ መሟላት ስላለበት፣ የሚከተለው ቀመር መሟላት አለበት።

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

እዚህ \(\dot{F}\) የ\(F\) የጊዜ ዴሪቬቲቭን ይወክላል። ከዚህ በኋላ የማንኛውም መጠን \(A\) የጊዜ ዴሪቬቲቭ በ\(\dot{A}\) ይወከላል።

የፕላስቲክ ፖቴንሻል \(\Theta\) እንዳለ በመገመት፣ የፕላስቲክ ስትሬይን ፍጥነትን በሚከተለው ቀመር እንገልጻለን።

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

እዚህ \(\dot{\lambda}\) ኮፊሺየንት ነው።

በተጨማሪ፣ የፕላስቲክ ፖቴንሻል \(\Theta\) ከመፍሰስ ፋንክሽን \(F\) ጋር እኩል ነው ብለን በመውሰድ፣ የሚከተለውን ተያያዥ የፍሰት ሕግ እንጠቀማለን።

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

ይህን ቀመር ወደ የወጥነት ሁኔታ ቀመር በመተካት የሚከተለው ይገኛል።

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

እዚህ \(D\) የኤላስቲክነት ማትሪክስ ሲሆን፣

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

የኤላስቶፕላስቲክ ስትሬስ–ስትሬይን ግንኙነት እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል።

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

የኤላስቶፕላስቲክ ቁስ የመፍሰስ ፋንክሽን \(F\) ከታወቀ፣ የቁስ ግንኙነት ቀመሩ ከዚህ ቀመር ይገኛል።

የመፍሰስ ፋንክሽኖች¶

FrontISTR የሚጠቀምባቸው የኤላስቶፕላስቲክ የመፍሰስ ፋንክሽኖች ከዚህ በታች ተዘርዝረዋል።

የቮን ማይዝስ (Von Mises) የመፍሰስ ፋንክሽን¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

እዚህ \(J_2\) የዴቪያቶሪክ ስትሬስ ቴንሰር ሁለተኛ ኢንቫሪያንት ነው።

የሞር–ኩሎምብ (Mohr-Coulomb) የመፍሰስ ፋንክሽን¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

እዚህ \(\sigma_1, \sigma_3\) በቅደም ተከተል ከፍተኛውና ዝቅተኛው ዋና ስትሬስ፣ \(c\) ተጣባቂነት፣ \(\phi\) ደግሞ የውስጥ ግጭት አንግል ናቸው።

የድሩከር–ፕራገር (Drucker-Prager) የመፍሰስ ፋንክሽን¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

እዚህ የቁስ ቋሚዎቹ \(\alpha\) እና \(\sigma_y\) ከቁሱ ተጣባቂነት እና ከግጭት አንግል በሚከተለው መንገድ ይሰላሉ።

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

ተዛማጅ ርዕሶች¶

መስመራዊ ኤላስቲሲቲ — የኤላስቲክ ምላሽ (የኤላስቶፕላስቲሲቲ ኤላስቲክ ክፍል)
የታንጀንት ግትርነት ማትሪክስ — የቁስ ኢ-መስመራዊነትን ያካተተ የጭማሪ ትንተና ታንጀንት ግትርነት
የቁሳቁስ ውሂብ (ተግባሮች) — የመፍሰስ ፋንክሽኖችን እና የማጠንከሪያ ሕጎችን የመምረጫ አማራጮች እና አጠቃቀም