Skip to content

የቅርጽ ፋንክሽኖች እና የውሱን ኤለመንት ግምት

የ ምናባዊ ሥራ መርህ ደካማ ቅርጽን በኮምፒውተር ለማስላት፣ የአካሉ ጎራ ወደ ውሱን ቁጥር ኤለመንቶች ይከፈላል፣ እና በኤለመንቱ ውስጥ ያሉ የቁሳቁስ ነጥብ መጋጠሚያዎች፣ መፈናቀሎች እና የሙከራ ፋንክሽኖች በኖድ እሴቶችና ቅርጽ ፋንክሽኖች ይኢንተርፖሌት ይደረጋሉ። የቅርጽ ፋንክሽኖች የቦታ ተዋጽኦዎች በ የቅርጽ ፋንክሽኖች የቦታ ተዋጽኦዎች፣ የደካማ ቅርጽ ዲስክሪታይዜሽን በ የውስጥ ኃይል ምናባዊ ሥራ ዲስክሪታይዜሽን፣ ለእያንዳንዱ የኤለመንት ዓይነት የቅርጽ ፋንክሽን ዝርዝር ቅርጾች ደግሞ ከ የኤለመንት ቁጥር ስርዓት እና የቅርጽ ፋንክሽን ላይብረሪ ጀምሮ ተገልጸዋል።

የጎራ ክፍፍል እና የኢንተግራል ኤለመንት ድምር

የማጣቀሻ ኮንፊግሬሽን ጎራ \(\Omega_0\) እና የአሁኑ ኮንፊግሬሽን ጎራ \(\Omega\) በቅደም ተከተል እንደ ኤለመንቶች \(\Omega^e_0\)፣ \(\Omega^e\) ህብረት ይገመታሉ፦

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) የኤለመንት ቁጥር ነው፣ የኤለመንት ድንበሮች በአጎራባች ኤለመንቶች መካከል ይጋራሉ)። በዚህ ምክንያት በ ምናባዊ ሥራ መርህ ውስጥ ያሉ የድምጽና የወለል ኢንተግራሎች ወደ የእያንዳንዱ ኤለመንት ኢንተግራል ድምር ይከፈላሉ፦

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(ለአሁኑ ኮንፊግሬሽንም \(dV \to dv\)፣ \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\)፣ \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) በመተካት ተመሳሳይ ነው)። ከዚህ በኋላ የደካማ ቅርጹ ግምገማ ወደ በኤለመንት ደረጃ የኢንተግራል አወቃቀር ይቀየራል።

በኖድ እሴቶችና ቅርጽ ፋንክሽኖች ኢንተርፖሌሽን (አይዞፓራሜትሪክ ኤለመንቶች)

ለእያንዳንዱ ኤለመንት \(\Omega^e_0\)፣ \(n_e\) ኖዶች ይመደባሉ። የኤለመንት ኖድ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) የማጣቀሻ ኮንፊግሬሽን መጋጠሚያና የኖድ መፈናቀል \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) ብለን ከወሰድን፣ እነዚህን የሚያደራጁት የኤለመንት ኖድ ቬክተሮች \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\)፣ \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) ከጠቅላላ የኖድ ቬክተሮች \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) ጠቅላላ የኖዶች ብዛት ነው) ውስጥ ኤለመንት \(e\)ን የሚፈጥሩ ኖዶች ክፍሎች ብቻ የተወሰዱ ናቸው።

የኤለመንቱ አካባቢያዊ መጋጠሚያ የሆነውን ተፈጥሯዊ መጋጠሚያ \(\boldsymbol{r}\) እንደ ፓራሜትር በሚጠቀም የቅርጽ ፋንክሽን \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\)፣ በኤለመንቱ ውስጥ ያሉ የቁሳቁስ መጋጠሚያዎች፣ መፈናቀሎች እና የሙከራ ፋንክሽኖች በተመሳሳይ የቅርጽ ፋንክሽን ይኢንተርፖሌት ይደረጋሉ (አይዞፓራሜትሪክ ኤለመንት፣ Galerkin ዘዴ)፦

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

የቅርጽ ፋንክሽኖቹ የሚከተሉትን 2 ባህሪያት እንዲያሟሉ ይገነባሉ፣ እና ከተፈጥሯዊ መጋጠሚያ ወደ ቁሳቁስ መጋጠሚያ የሚደረገው ማፒንግ \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) በኤለመንቱ ውስጥ አንድ-ለ-አንድ እንዲሆን የኤለመንት ቅርጽ ይመረጣል፦

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) ከኖድ \(\alpha\) ጋር የሚዛመደው የተፈጥሯዊ መጋጠሚያ ነጥብ፣ \(\delta_{\alpha\beta}\) የ Kronecker ዴልታ ነው)። የመጀመሪያው ስሌት የሪጂድ-ቦዲ ትራንስሌሽንን መድገም ያረጋግጣል፣ ሁለተኛው ደግሞ የኢንተርፖሌሽን እሴት በኖዶች ላይ ከኖድ እሴት ጋር እንዲዛመድ ያረጋግጣል። ለእያንዳንዱ የኤለመንት ዓይነት \(n_e\) እና \(N_\alpha^e\) ዝርዝር ቅርጾች ከ የኤለመንት ቁጥር ስርዓት እና የቅርጽ ፋንክሽን ላይብረሪ ጀምሮ ተገልጸዋል። የምልክት ውስብስብነትን ለመቀነስ፣ በኤለመንት ዓይነት ላይ ያለው ጥገኝነት በኤለመንት ላይ ባለው ከፍተኛ ኢንዴክስ \(e\) ይወከላል።

በእነዚህ የኢንተርፖሌሽን ደንቦች፣ የደካማ ቅርጹ ኢንተግራንድ በኤለመንት ኖድ እሴቶች \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) እና \(N_\alpha^e\) ብቻ ሊገለጽ ይችላል። በሌላ በኩል፣ ስትሬይን ከተኢንተርፖሌት የተደረገው መፈናቀልና የስትሬይን-መፈናቀል ግንኙነት፣ ስትሬስ ደግሞ ከዚያ ስትሬይንና የቁስ ግንኙነት ሕግ የሚመነጩ ሲሆኑ፣ በቀጥታ ከኖድ እሴቶች አይኢንተርፖሌት ይደረጉም። እነዚህ በኤለመንቱ ውስጥ ባሉ የኢንተግሬሽን ነጥቦች ይገመገማሉ (ቁጥራዊ ኢንተግሬሽን)።

የጠቅላላ ኖድ ቬክተር የማደራጃ ደንብ

ለኖዶች የሚመደቡ ፊዚካላዊ መጠኖች እንደ ጠቅላላ ኖድ ቬክተር የኖድ ቁጥር → የነጻነት ደረጃ በሚለው ቅደም ተከተል ከትንሽ ወደ ትልቅ ይደረደራሉ። በኖድ \(\alpha\) ያለውን የነጻነት ደረጃ \(i\) ክፍል \(u_{i\alpha}\) ብለን ከወሰድን፣ በ3 ልኬት (\(i=1,2,3\)) እና 2 ልኬት (\(i=1,2\)) በቅደም ተከተል

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

ይሆናሉ። መጋጠሚያዎች \(\boldsymbol{X}^n\) እና የሙከራ ፋንክሽን \(\delta\boldsymbol{u}^n\) ተመሳሳይ አደራደርን ይከተላሉ። ከዚህ በኋላ የማትሪክስና ቬክተር ቅርጽ ስሌቶች 3 ልኬትን እንደ ዋና ምሳሌ ይጠቀማሉ።

ተዛማጅ ርዕሶች