Skip to content

የቅርጽ ፋንክሽኖች የቦታ ተዋጽኦዎች

በ የቅርጽ ፋንክሽኖች እና የውሱን ኤለመንት ግምት የተዋወቀው የቅርጽ ፋንክሽን \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) የኤለመንቱ አካባቢያዊ መጋጠሚያ በሆነው ተፈጥሯዊ መጋጠሚያ \(\boldsymbol{r}\) ተግባር ይሰጣል። በሌላ በኩል፣ በደካማው ቅርጽ የኢንተግራንድ ውስጥ በስትሬይን-መፈናቀል ግንኙነት በኩል ከፊዚካላዊ መጋጠሚያዎች (የማጣቀሻ ኮንፊግሬሽን \(\boldsymbol{X}\) ወይም የአሁኑ ኮንፊግሬሽን \(\boldsymbol{x}\)) ጋር የተያያዙ ከፊል ተዋጽኦዎች \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) ወይም \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) ይታያሉ። ይህ ምዕራፍ እነዚህን የቅርጽ ፋንክሽኖች የቦታ ተዋጽኦዎች ከኤለመንት ኖድ መጋጠሚያዎችና ከተፈጥሯዊ መጋጠሚያ ተዋጽኦዎች የማስላት ሂደትን ያደራጃል።

በቼይን ሕግ የቦታ ተዋጽኦ መግለጫ

በኢንተርፖሌሽን ስሌት \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (የቀደመው ምዕራፍ) ላይ ቼይን ሕጉን ሲተገበር፣ ከተፈጥሯዊ መጋጠሚያዎች ወደ ፊዚካላዊ መጋጠሚያዎች የሚደረገውን ማፒንግ የሚገልጸውን ጃኮቢያን ማትሪክስ \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) በመጠቀም

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

ይገኛል። እዚህ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) እና \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ማትሪክሶች ሲሆኑ፣ ረድፍ \(\alpha\) የኖድ \(\alpha\)ን ከፊል ተዋጽኦ ቬክተር የሚወክል \(n_e \times 3\) ማትሪክስ ነው።

የ ጃኮቢያን ማትሪክስ አወቃቀር

የኢንተርፖሌሽን ስሌቱን ከ \(\boldsymbol{r}\) አንጻር ከፊል ተዋጽኦ ሲወሰድ፣

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

ይሆናል፣ እና በቀጥታ ከኤለመንት ኖድ መጋጠሚያዎች \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) እና ከተፈጥሯዊ መጋጠሚያ ተዋጽኦ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ሊገነባ ይችላል። የተፈጥሯዊ መጋጠሚያ ተዋጽኦዎች በቅርጽ ፋንክሽኑ ተግባራዊ ቅርጽ የሚወሰኑ ሲሆን፣ ለእያንዳንዱ የኤለመንት ዓይነት አስቀድመው ይተገበራሉ።

የ ጃኮቢያን ማትሪክሱ ዲተርሚናንት \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) በ ቁጥራዊ ኢንተግሬሽን ውስጥ የድምጽ ኤለመንቱን ለመቀየር \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) ይጠቀማል። ዲተርሚናንቱ \(0\) ከሆነ ኤለመንቱ ዲጀነሬት ነው እና ስሌቱ አይሰራም።

የስሌት ፍሰት

ከላይ ካለው አወጣጥ፣ የቦታ ተዋጽኦ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ስሌት በሚከተሉት 4 ደረጃዎች ሊከፈል ይችላል።

  1. የተፈጥሯዊ መጋጠሚያ ተዋጽኦ ስሌት፦ የኤለመንት ዓይነቱን እና የግምገማ ነጥቡን ተፈጥሯዊ መጋጠሚያ \(\boldsymbol{r}\) እንደ ግቤት በመውሰድ፣ የተፈጥሯዊ መጋጠሚያ ተዋጽኦ ማትሪክስ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)ን ያሰላል። የቅርጽ ፋንክሽኑ ተግባራዊ ቅርጽ እንደ ኤለመንት ዓይነቱ ስለሚለያይ፣ እንደ ዓይነቱ ይከፈላል።
  2. የ ጃኮቢያን ማትሪክስ ስሌት፦ ከኤለመንት ኖድ መጋጠሚያዎች \(\boldsymbol{X}^e\) እና \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)፣ በቀደመው ክፍል ስሌት መሠረት ጃኮቢያን ማትሪክስ \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\)ን ይገነባል።
  3. የኢንቨርስ ማትሪክስና ዲተርሚናንት ስሌት፦ የ ጃኮቢያን ማትሪክሱን ኢንቨርስ \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) እና ዲተርሚናንት ያሰላል። ዲተርሚናንቱ ለቁጥራዊ ኢንተግሬሽን ክብደት ይጠቀማል።
  4. የቦታ ተዋጽኦ ስሌት፦ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) እና \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\)ን በማባዛት የቦታ ተዋጽኦ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\)ን ያገኛል።

እነዚህ 4 ደረጃዎች እንደ ኤለመንት ዓይነትና የቦታ ልኬት (2 ልኬት፣ 3 ልኬት) ይከፈላሉ፣ ነገር ግን አጠቃላይ ፍሰቱ የጋራ ነው።

በማጣቀሻ እና በአሁኑ ኮንፊግሬሽን መካከል የጋራ አጠቃቀም

ከላይ ያለው ሂደት \(\boldsymbol{X}^e\)ን በአሁኑ ኮንፊግሬሽን የኖድ መጋጠሚያ \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) ብቻ በመተካት፣ ለአሁኑ ኮንፊግሬሽን የቦታ ተዋጽኦ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) ሊተገበር ይችላል። ስለዚህ በ Total Lagrange እና Updated Lagrange ዘዴዎች ውስጥ የግቤት ኖድ መጋጠሚያዎችን ብቻ በመቀየር ተመሳሳይ ሂደት በጋራ ሊጠቀም ይችላል።

ተዛማጅ ርዕሶች