Skip to content

የውስጥ ኃይል ምናባዊ ሥራ ዲስክሪታይዜሽን

በየኢንክሪመንታል ትንተና ማዕቀፍ የተገለጸው በጊዜ \(t + \Delta t\) ያለው የምናባዊ ሥራ ስሌት፣ በማጣቀሻ ኮንፊግሬሽን ምርጫ መሠረት ወደ Updated Lagrange ዘዴ እና Total Lagrange ዘዴ ይከፈላል። በዚህ ምዕራፍ፣ በየቅርጽ ፋንክሽኖች እና የውሱን ኤለመንት ግምት እና የቅርጽ ፋንክሽኖች የቦታ ተዋጽኦዎች የተዋወቀውን የውሱን ኤለመንት ግምት በመጠቀም፣ የሁለቱንም ፎርሙሌሽን የውስጥ ኃይል ምናባዊ ሥራ በቦታ ይዲስክሪታይዝ እና የኤለመንት ውስጥ ኃይል ቬክተሮች \(\boldsymbol{q}^e\) (UL ዘዴ) እና \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL ዘዴ) ያገኛል።

ለኤለመንት \(e\) የሚያቀናብሩ ኖዶች \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) መፈናቀሎችን \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) ብለን እንወስናለን፣ የኤለመንት ኖድ መፈናቀል ቬክተርን \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) በሚለው ቅደም ተከተል እናዘጋጃለን፣ ቨርቹዋል መፈናቀል \(\delta \boldsymbol{u}^e\)ም በዚያው ቅደም ተከተል ይገለጻል። በኤለመንቱ ውስጥ ያለው መፈናቀል በቅርጽ ፋንክሽኖች \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) ተብሎ ይኢንተርፖሌት ይደረጋል።

በUpdated Lagrange ዘዴ የውስጥ ኃይል ምናባዊ ሥራ

በUpdated Lagrange ዘዴ፣ በጊዜ \(t\) ያለው የአሁኑ ኮንፊግሬሽን \({}^{t}\Omega\) እንደ ማጣቀሻ ኮንፊግሬሽን ይወሰዳል፣ እና የውስጥ ኃይል ምናባዊ ሥራ በCauchy ስትሬስ \(\boldsymbol{\sigma}\) እና በAlmansi ስትሬይን መስመራዊ ክፍል \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) እንደሚከተለው ይጻፋል፦

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) እያንዳንዱ ክፍል ከቅርጽ ፋንክሽኑ ከአሁኑ ኮንፊግሬሽን መጋጠሚያ \(\boldsymbol{x}\) ጋር የሚያያዘው ተዋጽኦ \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) እና የኖድ ቨርቹዋል መፈናቀል \(\delta u^e_{i\alpha}\) መስመራዊ ድብልቅ ሆኖ ሊገለጽ ይችላል፣ እና በVoigt ኖቴሽን፦

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

በሚለው ሊጠቃለል ይችላል። የኖድ ብሎክ \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) የ\(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)ን በVoigt ደንብ ያደራጀ \(6 \times 3\) ማትሪክስ ነው፣ እና \(\boldsymbol{B}_L\) የUL ዘዴ የስትሬይን-መፈናቀል ግንኙነት ማትሪክስ ይሆናል። ይህን በውስጥ ኃይል ምናባዊ ሥራ ውስጥ በመተካት \(\delta \boldsymbol{u}^e\)ን ሲለዩ፦

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

ይገኛል። የ\(\boldsymbol{q}^e\) የኖድ ብሎክ \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) በኤለመንት \(\Omega^e\) የሚያቀናብረው ኖድ \(\alpha\) ላይ የሚሰራው የውስጥ ኃይል ነው።

በTotal Lagrange ዘዴ የውስጥ ኃይል ምናባዊ ሥራ

በTotal Lagrange ዘዴ፣ መነሻ ኮንፊግሬሽን \(\Omega_0\) እንደ ማጣቀሻ ኮንፊግሬሽን ይወሰዳል፣ እና በሁለተኛ Piola-Kirchhoff ስትሬስ \(\boldsymbol{S}\) እና Green-Lagrange ስትሬይን \(\boldsymbol{E}\) የውስጥ ኃይል ምናባዊ ሥራ፦

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

ተብሎ ይጻፋል። \(\delta \boldsymbol{E}\) ከቨርቹዋል መፈናቀል ጋር የሚያያዝ መስመራዊ ተርም እና ከአሁኑ የመፈናቀል ግራዲየንት \(\partial u_k/\partial X_j\) ጋር ያለ ምርትን የሚያካትት መስመራዊ ያልሆነ ተርም ይከፈላል፦

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

መስመራዊው ተርም፣ የUL ዘዴን ተመሳሳይ የአደራደር ደንብ በ\(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ላይ በመተግበር በተገኘው የኖድ ብሎክ \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\)፦

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

ተብሎ ሊጻፍ ይችላል (በማጣቀሻ ኮንፊግሬሽኑ ልዩነት ምክንያት ክፍሎቹ ከ\(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ወደ \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ብቻ ይተካሉ፣ ምልክቱ ግን ከUL ዘዴ ጋር ይጋራል)። መስመራዊ ያልሆነው ተርም፣ የአሁኑ የመፈናቀል ግራዲየንት \(\partial u_k/\partial X_j\) እና \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ምርትን በVoigt ደንብ ባደራጀው የኖድ ብሎክ \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\)፦

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

ተብሎ ሊጻፍ ይችላል። ስለዚህ \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) ሲሆን፣ \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) የTL ዘዴ የስትሬይን-መፈናቀል ግንኙነት ማትሪክስ ነው። ይህን በውስጥ ኃይል ምናባዊ ሥራ ውስጥ በመተካት፦

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

ይገኛል። የኖድ ብሎክ \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) በኤለመንት \(\Omega^e_0\) የሚያቀናብረው ኖድ \(\alpha\) ላይ የሚሰራው የውስጥ ኃይል ነው።

የUL/TL ተዛማጅነት እና የስሌት ፍሰት

የUpdated Lagrange ዘዴ እና Total Lagrange ዘዴ የኤለመንት ውስጥ ኃይል ቬክተሮች የሚከተለው ተዛማጅነት አላቸው።

ንጥል Updated Lagrange ዘዴ Total Lagrange ዘዴ
ማጣቀሻ ኮንፊግሬሽን የአሁኑ ኮንፊግሬሽን \({}^{t}\Omega^e\) መነሻ ኮንፊግሬሽን \(\Omega^e_0\)
የስትሬስ ቴንሰር Cauchy ስትሬስ \(\boldsymbol{\sigma}\) ሁለተኛ PK ስትሬስ \(\boldsymbol{S}\)
የስትሬይን ቫሪዬሽን \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B ማትሪክስ \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
የኤለመንት ውስጥ ኃይል \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

ሁለቱም በተመሳሳይ ሂደት ሊሰሩ ይችላሉ፦ “ከቅርጽ ፋንክሽኖች የቦታ ተዋጽኦ \(\boldsymbol{B}_L\)ን መገንባት”፣ “በTL ዘዴ ከአሁኑ የመፈናቀል ግራዲየንት \(\boldsymbol{B}_{NL}\)ን ገንብቶ መጨመር”፣ “ስትሬስን (\(\boldsymbol{\sigma}\) ወይም \(\boldsymbol{S}\)) በቁሳቁስ ግንኙነት ሕግ መሠረት ማዘመን”፣ እና “በኢንተግሬሽን ነጥቦች \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) ወይም \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\)ን በኤለመንት ጎራ ላይ በቁጥራዊ ኢንተግሬሽን ማስላት (ቁጥራዊ ኢንተግሬሽን)”። ከማጣቀሻ ኮንፊግሬሽን መቀየር (የኖድ መጋጠሚያዎች እና የ\(\boldsymbol{B}\) ማትሪክስ ግንባታ) እና የስትሬስ ቴንሰሩን መተካት በስተቀር ሁሉም ነገር የጋራ ስለሆነ፣ FrontISTR የሁለቱንም ዘዴዎች የውስጥ ኃይል ስሌት በአንድ የጋራ ሳብሩቲን ይተገብራል። የኤለመንት ውስጥ ኃይል ቬክተሮች \(\boldsymbol{q}^e\) እና \(\boldsymbol{Q}^e\) ወደ አጠቃላይ የውስጥ ኃይል ቬክተር መሰብሰባቸው በየውጭ ኃይል ምናባዊ ሥራ እና የአጠቃላይ ስሌት አሰባሰብ ይታያል።

ተዛማጅ ርዕሶች