Skip to content

የውጫዊ ኃይል ምናባዊ ሥራና የጠቅላላ ስሌት አሰባሰብ

በየውስጥ ኃይል ምናባዊ ሥራ ዲስክሪታይዜሽን የደካማ ቅርጽ ግራ ክፍል ወደ ኤለመንት የውስጥ ኃይል ቬክተር \(\boldsymbol{q}^e\) (UL ዘዴ) ወይም \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL ዘዴ) ተሰብስቧል። በዚህ ምዕራፍ ከውጫዊ ኃይል ምናባዊ ሥራ የኤለመንት-ኖድ ውጫዊ ኃይል ቬክተር \(\boldsymbol{F}^e\) እናስገባለን፣ የኤለመንት-ኖድ ፊዚካዊ መጠኖችን በጠቅላላ ኖድ ቁጥሮች እንደገና በመደርደር የሚያጠቃልለውን አሰባሰብ ሂደት እናደርጋለን፣ በመጨረሻም FrontISTR የመስመራዊ-ያልሆነ መዋቅራዊ ትንተና ሊፈታው የሚገባውን ከኖድ መፈናቀል ጋር የተያያዘ የመስመራዊ-ያልሆነ ስሌት ስርዓት እናገኛለን።

የውጫዊ ኃይል ምናባዊ ሥራ ወደ ኤለመንቶች መከፋፈል

በየምናባዊ ሥራ መርህ ቀኝ ክፍል ያለው ውጫዊ ኃይል ምናባዊ ሥራ፣ ከቦዲ ፎርስ እና በሜካኒካል ድንበር ላይ ከተወሰነ የወለል ኃይል የተዋቀረ ሲሆን በእያንዳንዱ ኤለመንት ሊከፈል ይችላል። በየቅርጽ ፋንክሽኖች እና የውሱን ኤለመንት ግምት የተዋወቀውን የመፈናቀል ኢንተርፖሌሽን በማትሪክስ መልክ ለመጻፍ፣ የኖድ \(\alpha\) ሼፕ ፋንክሽን \(N_\alpha^e\) በዲያጎናል የተደረደረበትን \(d \times d\) ብሎክ \(\boldsymbol{N}_\alpha\)፣ እንዲሁም እነዚህን በአግድም የሚያሰለፈውን \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) በመጠቀም \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) እንጽፋለን። ይህን በሪፈረንስ ኮንፊግዩሬሽን የተጻፈው የውጫዊ ኃይል ምናባዊ ሥራ ውስጥ ስንተካ፣

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

እናገኛለን። እዚህ የኤለመንት-ኖድ ውጫዊ ኃይል ቬክተር እንደ \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) ተደርድሯል። በዚህ የውጫዊ ኃይል ምናባዊ ሥራ ከውስጥ ኃይል ወገን ጋር ተመሳሳይ የ"ኤለመንት-ኖድ ቬክተር × የሙከራ ፋንክሽን" ቅርጽ ይይዛል (በአሁኑ ኮንፊግዩሬሽን ቢጻፍም \(dV \to dv\)፣ \(\rho_0 \to \rho\)፣ \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) በመተካት ተመሳሳይ ቅርጽ ይኖረዋል)።

የኤለመንት-ኖድ ፊዚካዊ መጠኖች አሰባሰብ

በእያንዳንዱ ኤለመንት የተገኙትን የኖድ ፊዚካዊ መጠኖች \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) በጠቅላላ ኖድ ቁጥሮች ወደ ተደረደሩ ጠቅላላ ቬክተሮች እናሰባስባለን። በኤለመንት \(\Omega^e\) ውስጥ የኤለመንት-ውስጥ ኖድ ቁጥር \(\alpha\) የሚዛመደውን ጠቅላላ ኖድ ቁጥር

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

ብለን ካስቀመጥን፣ የኤለመንት-ኖድ ፊዚካዊ መጠን ከጠቅላላ ኖድ ፊዚካዊ መጠኑ ተዛማጅ ኮምፖነንት ጋር ይዛመዳል (ለምሳሌ \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\))። በአጠቃላይ ኖድ \(i_g\) በብዙ ኤለመንቶች የሚጋራ ስለሆነ፣ ጠቅላላ ኖድ ቁጥሩ \(i_g\) የሆኑ \((e, \alpha)\) ጥንዶችን የሚሰበስበውን ስብስብ

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

በመጠቀም \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) ብለን ድምሩን እንደገና ከጻፍን፣ በሁሉም \(n_g\) ኖዶች ላይ ያለው የኖድ ውስጥ ኃይል እና ጠቅላላ የውስጥ ኃይል ቬክተር

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

ይገኛሉ። \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) በኖድ \(i_g\) ላይ የሚሰሩ የኤለመንት-ኖድ ውስጥ ኃይሎች ውጤታዊ ኃይልን ይወክላል፣ ውጫዊ ኃይል ሳይሰራ ሚዛን ላይ ከሆነም \(\boldsymbol{0}\) ይሆናል። በUL ዘዴም ተመሳሳይ ሂደት \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) ያስገኛል፣ በእሴት \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) ስለሆነ ከዚህ በኋላ ልዩነት በሚያስፈልግበት ቦታ ብቻ እንጂ በአጠቃላይ \(\boldsymbol{Q}\) እንጠቀማለን። ጠቅላላ የውጫዊ ኃይል ቬክተር \(\boldsymbol{F}\) እንዲሁ በተመሳሳይ አሰባሰብ ይገኛል።

በአተገባበር ደረጃ ስብስብ \(\mathcal{E}(i_g)\) በግልጽ አይፈጠርም፤ በኤለመንት ሉፕ ውስጥ ወደ ተዛማጁ ኮምፖነንት በመደመር ይሰበሰባል።

ጠቅላላ የውስጥ ኃይል ቬክተር Qን በ0 ጀምር፦ Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (የኤለመንቶች ብዛት)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

ጠቅላላ የውጫዊ ኃይል ቬክተር \(\boldsymbol{F}\) በተመሳሳይ ሂደት ይገነባል። በጠቅላላ ኖድ ቁጥሮች የተሰየሙ ቬክተሮችና ማትሪክሶች ላይ የኤለመንት-ኖድ ፊዚካዊ መጠኖችን በመደመር የማከማቸት ይህ ሂደት አሰባሰብ (assemble) ይባላል። 2 የኖድ ቁጥሮች ላሉት 2ኛ-ደረጃ ቴንሰሮች (እንደ ግትርነት ማትሪክስ)፣ ስብስብ \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) በመጠቀም ተመሳሳይ የአሰባሰብ ሂደት ይገኛል (ዝርዝር አሰራሩን ታንጀንት ግትርነት ማትሪክስ ይመልከቱ)።

ሊፈታ የሚገባው መስመራዊ-ያልሆነ ስሌት

የውስጥና የውጫዊ ኃይል አሰባሰብ ውጤትን በየምናባዊ ሥራ መርህ ውስጥ በመተካት፣ ጂኦሜትሪያዊ ድንበር ሁኔታዎችን ለሚያሟላ ማንኛውም የሙከራ ፋንክሽን \(\delta\boldsymbol{u}^n\) መሟላቱን በመጠቀም

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

እናገኛለን። በኢንክሪመንታል ትንተና (የኢንክሪመንታል ትንተና ማዕቀፍ) አውድ የጊዜ ኢንዴክስ \(_{n+1}\)ን እንደገና በመጠቀምና ጠቅላላ የኖድ ቬክተርን የሚያሳየውን ሱፐርስክሪፕት \(^n\) በመተው፣ ሊፈታ የሚገባው ስሌት

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

ይሆናል። በጊዜ \(t_{n+1}\) ያለውን የኖድ መፈናቀል \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) ለማግኘት የተዲስክሪታይዝ የድንበር እሴት ችግር፣ ይህን ከመፈናቀል ጋር የተያያዘ መስመራዊ-ያልሆነ ስሌት ከጂኦሜትሪያዊ ድንበር ሁኔታዎች ጋር በአንድነት መፍታት ይሆናል። የስሌቱ ሊኒያራይዜሽንና የታንጀንት ግትርነት ማትሪክስ ግንባታ በታንጀንት ግትርነት ማትሪክስ፣ የኢተሬቲቭ መፍትሄ ደግሞ በNewton-Raphson ዘዴ ይታያሉ።

ተዛማጅ ርዕሶች