ቁጥራዊ ኢንተግሬሽን¶

በ የውስጥ ኃይል ምናባዊ ሥራ ዲስክሪታይዜሽን እና የውጭ ኃይል ምናባዊ ሥራ እና አጠቃላይ ስሌት አሰባሰብ የተገኙት የኤለመንት ውስጣዊ ኃይል ቬክተሮች \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) እና የኤለመንት ግትርነት ማትሪክስ \(\boldsymbol{K}^e\) በኤለመንት ጎራ \(\Omega^e\) ወይም \(\Omega^e_0\) ላይ የኢንተግራል ቅርጽ ይይዛሉ። FrontISTR እነዚህን በ Gauss ኢንተግሬሽን ቀመር ቁጥራዊ ሁኔታ ይገመግማል።

የ Gauss ኢንተግሬሽን ቀመር እና የተለዋዋጭ ለውጥ¶

የ Gauss ኢንተግሬሽን ቀመር በመደበኛ ጎራ \(\Xi\) ላይ ያለን ኢንተግራል፣ በኢንተግሬሽን ነጥቦች \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) ያለውን የኢንተግራንድ እሴት እና ክብደት \(w_i\) መስመራዊ ድምር በመጠቀም ይገምታል። ለኤለመንት ጎራ \(\Omega^e\) ሲተገበር በማፒንግ \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) የተለዋዋጭ ለውጥን ያካትታል፣

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

ተብሎ ይጻፋል። \(n_q\) የኢንተግሬሽን ነጥቦች ብዛት፣ \(J_{\xi_i}\) የለውጥ Jacobian ማትሪክስ ዲተርሚናንት ነው። መደበኛው ጎራ \(\Xi\) ለእያንዳንዱ የኤለመንት ዓይነት ይወሰናል (ሄክሳሄድራል \([-1,1]^3\)፣ ትራይአንግል፣ ቴትራሄድራል እና ፕሪዝም የየራሳቸውን መደበኛ ቅርጽ ይጠቀማሉ)፣ እና የኢንተግሬሽን ነጥቦች \(\boldsymbol{\xi}_i\) እና ክብደቶች \(w_i\) በቁጥራዊ ሰንጠረዥ ይሰጣሉ። የወለል ኢንተግራሎችም የኤለመንት ወለሉን ከ2-ልኬት መደበኛ ጎራ በማፕ ተመሳሳይ ቅርጽ ይጠቀማሉ።

FrontISTR የሚጠቀማቸው ዋና የኢንተግሬሽን ነጥብ ብዛቶች ከዚህ በታች ተገልጸዋል (ከኤለመንት ዓይነት ጋር ያለውን ግንኙነት ለማየት የኤለመንት ቁጥር ስርዓት እና የቅርጽ ፋንክሽን ላይብረሪ ይመልከቱ)።

የኤለመንት ዓይነት	የኢንተግሬሽን ቀመር	የኢንተግሬሽን ነጥቦች ብዛት
4-ኖድ ቴትራሄድራል (`tet4n`)	1-ነጥብ ቀመር	1
10-ኖድ ቴትራሄድራል (`tet10n`)	4-ነጥብ ቀመር	4
6-ኖድ ትራይአንግል ፕሪዝም (`prism6n`)	2-ነጥብ ቀመር	2
15-ኖድ ትራይአንግል ፕሪዝም (`prism15n`)	9-ነጥብ ቀመር	9
8-ኖድ ሄክሳሄድራል (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-ኖድ ሄክሳሄድራል (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-ኖድ ኳድሪላተራል (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-ኖድ ኳድሪላተራል (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-ኖድ ትራይአንግል (`tri3n`)	1-ነጥብ ቀመር	1
6-ኖድ ትራይአንግል (`tri6n`)	3-ነጥብ ቀመር	3

ለሄክሳሄድራል፣ ኳድሪላተራል እና መስመር ኤለመንቶች በእያንዳንዱ ዘንግ ያለው የ Gauss-Legendre ቀመር ቴንሰር ፕሮዳክት ይወሰዳል። ትራይአንግል፣ ቴትራሄድራል እና ትራይአንግል ፕሪዝም ለሲምፕሌክስ ቅርጾች የተስማሙ ልዩ ቀመሮችን ይጠቀማሉ።

በኤለመንት ኢንተግሬሽን ላይ አተገባበር¶

በኤለመንት ኢንተግሬሽን፣ ተፈጥሯዊ መጋጠሚያ \(\boldsymbol{r}\) እንደ መደበኛ ጎራ መጋጠሚያ (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)) ይወሰዳል፣ እና ወደ ፊዚካላዊ መጋጠሚያ የሚደረገው ማፒንግ በቅርጽ ፋንክሽን የኖድ መጋጠሚያ ኢንተርፖሌሽን ይሰጣል። እንደ ማጣቀሻ ኮንፊግሬሽን ምርጫ (የኢንክሪመንታል ትንተና ማዕቀፍ) በሚከተለው መልኩ ይለያያል።

ሙሉ ላግራንጂያን ዘዴ (በማጣቀሻ ኮንፊግሬሽን \(\Omega^e_0\) ላይ ኢንተግሬሽን)፦ ማፒንግና Jacobian እንደሚከተለው ይወሰናሉ።

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

እና የኤለመንት ውስጣዊ ኃይልና ግትርነት ማትሪክስ እንደሚከተለው ይገመታሉ።

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

\(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) ሁሉም በኢንተግሬሽን ነጥብ \(\boldsymbol{r}_i\) ይገመገማሉ።

የተዘመነ ላግራንጂያን ዘዴ (በአሁኑ ኮንፊግሬሽን \(\Omega^e\) ላይ ኢንተግሬሽን)፦ ማፒንግና Jacobian እንደሚከተለው ይወሰናሉ።

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

እና፣

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

ተብሎ ይገመታል።

በሁለቱ ፎርሙሌሽኖች መካከል ያለው ልዩነት ለማፒንጉ የሚገቡት የኖድ መጋጠሚያዎች \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ወይም \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) መሆናቸው ብቻ ነው፤ የኢንተግሬሽን ነጥቦች፣ ክብደቶች እና የኢንተግሬሽን ነጥብ ሉፕ መዋቅር የጋራ ነው።

ሙሉ ኢንተግሬሽን እና የተቀነሰ ደረጃ ኢንተግሬሽን¶

የኢንተግራንዱን ፖሊኖሚያል ደረጃ በትክክል ለማኢንተግሬት በቂ የኢንተግሬሽን ነጥቦች የሚጠቀም ኢንተግሬሽን ሙሉ ኢንተግሬሽን፣ ከዚያ አንድ ደረጃ ያነሰ የኢንተግሬሽን ነጥብ ብዛት የሚጠቀም ደግሞ የተቀነሰ ደረጃ ኢንተግሬሽን ይባላል። የተቀነሰ ደረጃ ኢንተግሬሽን የሸርና የድምጽ ሎኪንግን ለማቃለል ይጠቀማል፣ ነገር ግን እንደ አወርግላስ ሞድ ያሉ ሐሰተኛ የቅርጽ ለውጥ ሞዶችን መቆጣጠር ያስፈልጋል። ለእያንዳንዱ ኤለመንት የኢንተግሬሽን ነጥቦች ብዛትና ሙሉ/የተቀነሰ ደረጃ ምርጫ በ የኤለመንት ቁጥር ስርዓት እና የቅርጽ ፋንክሽን ላይብረሪ እና ከፍተኛ አፈጻጸም የኤለመንት ፎርሙሌሽን ውስጥ ይገለጻል።

ተዛማጅ ርዕሶች¶

የቅርጽ ፋንክሽኖች የቦታ ተዋጽኦዎች — የ Jacobian ስሌት
የውስጥ ኃይል ምናባዊ ሥራ ዲስክሪታይዜሽን — የቁጥራዊ ኢንተግሬሽን ዒላማ
ከፍተኛ አፈጻጸም የኤለመንት ፎርሙሌሽን — የተቀነሰ ደረጃ ኢንተግሬሽን አጠቃቀም