Skip to content

ከፍተኛ አፈጻጸም ያላቸው የኤለመንት ቀመሮች

በ3-ልኬት ሶሊድ ኤለመንቶች ቀመር የታየው መደበኛ በመፈናቀል ላይ የተመሰረተ ቀመር፣ ለኢንኮምፕሬሲብል ቅርብ ማቴሪያሎች ወይም በመታጠፍ ለሚቆጣጠሩ ቀጭን መዋቅሮች ሲተገበር ሎኪንግ (ቮልዩሜትሪክ ሎኪንግ እና ሺየር ሎኪንግ) የሚባል ያልተገባ ከፍተኛ ግትርነት ያሳያል። ይህን ለማስወገድ FrontISTR፣ የB ማትሪክስ ወይም የመቀየር ግራዲየንት ቮልዩሜትሪክ ክፍልን ብቻ የሚተኩ B-bar እና F-bar ዘዴዎችን፣ ውስጣዊ ነፃነት ደረጃዎችን የሚጨምሩ ኢንኮምፓቲብል ኤለመንቶችን፣ ግፊትን እንደ ገለልተኛ ያልታወቀ ፊልድ የሚያዝ u-p የተቀላቀለ ኤለመንትን፣ እንዲሁም ለፕሌትና ቢም መዋቅሮች የተለዩ MITC ሼል ኤለመንቶችና ቢም ኤለመንቶችን ያቀርባል።

ይህ ምዕራፍ እነዚህን ከፍተኛ አፈጻጸም ያላቸው ኤለመንቶችና መዋቅራዊ ኤለመንቶች ቀመሮች በኤለመንት ይደራጃል።

B-bar ዘዴ

8-ኖድ መስመራዊ ሄክሳሂድራል ኤለመንትን ለኳዚ-ኢንኮምፕሬሲብል ማቴሪያል ሲጠቀሙ፣ በአንድ ኤለመንት ውስጥ ያለው ስትሬይን ከቋሚ ቮልዩም ገደብ ጋር ይጋጫል፣ እና ቮልዩሜትሪክ ሎኪንግ የሚባል ከመጠን ያለፈ ግትርነት ይታያል። B-bar ዘዴ ከB ማትሪክስ ውስጥ ለቮልዩሜትሪክ መስፋፋት የሚያበረክቱትን ክፍሎች በኤለመንት ማዕከል በተገመቱ እሴቶች በመተካት የገደብ መብዛትን ያሳንሳል [Hughes1980]።

በኤለመንት ማዕከል \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) ከቅርጽ ፋንክሽኖች የቦታ ተዋጽኦዎች የተሰላውን B ማትሪክስ \(\bar{\boldsymbol{B}}\)፣ እና በኢንተግሬሽን ነጥብ \(\boldsymbol{r}\) የተሰላውን መደበኛ B ማትሪክስ \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) እንበል። ለኖድ \(\alpha\) ነፃነት ደረጃ \(i\) በመፈናቀል–ስትሬይን ግንኙነት ውስጥ፣ ለቮልዩሜትሪክ ስትሬይን ክፍሎች \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\)

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

ይጨመራል፣ እና ለሺየር ክፍሎች \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) መደበኛው \(\boldsymbol{B}\) ይጠቀማል። በዚህ መንገድ በተገኘው B-bar ማትሪክስ የኤለመንት ግትርነትና የውስጥ ኃይል ቬክተር ይገጣጠማሉ።

FrontISTR ይህን ቀመር ለ8-ኖድ መስመራዊ ሄክሳሂድራል ኤለመንት (የኤለመንት ID 361፣ የኤለመንት ቁጥር ስርዓት) ብቻ ያቀርባል፣ እና ለትንሽ መቀየር፣ Total Lagrange እና Updated Lagrange ሁሉ ሊተገበር ይችላል።

F-bar ዘዴ

በትልቅ መቀየር ውስጥ የቮልዩም ለውጥ በመቀየር ግራዲየንት \(\boldsymbol{F}\) በኩል መስመራዊ ባልሆነ መልኩ ስለሚጎዳ፣ ከB-bar ዘዴ ጋር ተመሳሳይ የቮልዩሜትሪክ ሎኪንግ መከላከያን በመቀየር ግራዲየንት ደረጃ የሚያደርገው F-bar ዘዴ [deSouzaNeto1996] ነው።

በኤለመንት ማዕከል \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) የተገመተውን የመቀየር ግራዲየንት የቮልዩም ሬሾ \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)፣ እና በኢንተግሬሽን ነጥብ ያለውን የመቀየር ግራዲየንት የቮልዩም ሬሾ \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) እንበል፣ እና በኢንተግሬሽን ነጥቡ ያለውን የመቀየር ግራዲየንት

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

በሚለው እንተካለን። በዚህ \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) ይሆናል፣ እና በመላው ኤለመንት የቮልዩም ሬሾ ከኤለመንት ማዕከል እሴት ጋር ይስተካከላል። ለስትሬስ ግምገማና ለስትሬይን–መፈናቀል ማትሪክስ ግንባታ ከተተካ በኋላ ያለው \(\bar{\boldsymbol{F}}\) ይጠቀማል፣ እና በኤለመንት ግትርነት ውስጥ ከዚህ መተካት የሚመጡ ተጨማሪ ንጥሎችን ጨምሮ የታንጀንት ማትሪክስ ይገጣጠማል።

FrontISTR F-bar ዘዴን ለ8-ኖድ መስመራዊ ሄክሳሂድራል ኤለመንት ብቻ ይተገብራል፣ እና ለትንሽ መቀየር፣ Total Lagrange / Updated Lagrange ሁሉ መስመራዊ ያልሆነ ጂኦሜትሪ ሊተገበር ይችላል።

ኢንኮምፓቲብል ኤለመንት

8-ኖድ መስመራዊ ሄክሳሂድራል ኤለመንት ለመታጠፍ ሞድ የሚያስፈልገውን የስትሬይን ነፃነት ደረጃ ስለሌለው፣ በመታጠፍ ለሚቆጣጠር ችግር የመታጠፍ ሎኪንግ ያሳያል። ኢንኮምፓቲብል ኤለመንት [Taylor1976] ይህን ጉድለት ለመሙላት በኤለመንቱ ውስጥ ተጨማሪ የመፈናቀል ሞዶችን ያስገባል።

ከኤለመንት የኖድ መፈናቀል \(\boldsymbol{u}^e\) በተጨማሪ፣ በኤለመንቱ ውስጥ ብቻ የሚኖሩ የኢንኮምፓቲብል ሞድ ነፃነት ደረጃዎች \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) ለእያንዳንዱ ኤለመንት 3 አቅጣጫ × 3 ሞድ ይጨመራሉ፣ እና የመፈናቀል ፊልድ

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

በሚለው ይገመታል። የኢንኮምፓቲብል ቅርጽ ፋንክሽኖች ለተፈጥሯዊ ኮኦርዲኔት \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) \(M_1 = 1 - \xi^2\)፣ \(M_2 = 1 - \eta^2\)፣ \(M_3 = 1 - \zeta^2\) ተብለው ይወሰዳሉ። እነዚህ በኤለመንት ድንበር ላይ ቀጣይነትን አያረጋግጡም፣ ነገር ግን የመታጠፍ ሞድ ስትሬይንን ሊወክል የሚችል ቦታ በኤለመንቱ ውስጥ ይጨምራሉ።

የኤለመንት ግትርነት በውጭ ነፃነት ደረጃ–ውስጥ ነፃነት ደረጃ ብሎክ ክፍፍል

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

ቅርጽ ከተገጣጠመ በኋላ፣ ውስጣዊ ነፃነት ደረጃዎችን \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) በማስወገድ ስታቲክ ኮንደንሴሽን ይደረጋል፣ እና የውጭ ነፃነት ደረጃዎች ብቻ ያሉት የኤለመንት ግትርነት

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

ወደ ጠቅላላ ግጥም ይላካል።

FrontISTR ኢንኮምፓቲብል ኤለመንትን ለ8-ኖድ መስመራዊ ሄክሳሂድራል (C3D8IC) ብቻ ይተገብራል፣ እና ለትንሽ መቀየር፣ Total Lagrange እና Updated Lagrange ሁሉ ሊተገበር ይችላል።

U-P የተቀላቀለ ኤለመንት

B-bar እና F-bar ዘዴዎች በመፈናቀል ላይ በተመሰረተው ማዕቀፍ ውስጥ የቮልዩሜትሪክ ክፍልን ሲያስተካክሉ፣ u-p የተቀላቀለ (U-P) ኤለመንት ግፊት \(\lambda\)ን ከመፈናቀል ገለልተኛ ያልታወቀ ፊልድ አድርጎ የሚያስገባ የተቀላቀለ ቀመር [Bathe1996] ነው። በኳዚ-ኢንኮምፕሬሲብል ማቴሪያሎች (የፖይሰን ሬሾ ወደ 0.5 እጅግ ቅርብ የሆነ የጎማ ዓይነት ማቴሪያል ወይም ከፕላስቲክ መቀየር በኋላ ያለ ብረት ወዘተ)፣ በመፈናቀል ፊልድ ብቻ የቋሚ ቮልዩም ገደብን ለማሟላት ሲሞከር ቮልዩሜትሪክ ሎኪንግ ይፈጠራል፣ ግፊትን ገለልተኛ ተለዋዋጭ በማድረግ ግን ይህ ገደብ ይለሰልሳል።

ስትሬስን ወደ ዲቪያቶሪክ ክፍልና ግፊት በመክፈል፣

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

ተብሎ ይጻፋል። እዚህ \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) ከኤላስቲክነት ማትሪክስ ከባልክ ሞዱለስ \(K\) ጋር የሚመጣጠነውን ቮልዩሜትሪክ ክፍል በማስወገድ የተገኘ ዲቪያቶሪክ የኤላስቲክነት ማትሪክስ ነው። ግፊት \(\lambda\) እና ቮልዩሜትሪክ ስትሬይን \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) በኮምፕሬሲቢሊቲ \(\alpha^{-1} = 1/K\) በኩል በሚከተለው ገደብ

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

ይገናኛሉ። መፈናቀል \(\boldsymbol{u}\) እና ግፊት \(\lambda\)ን እንደ ያልታወቁ ተለዋዋጮች ከሚያዝ ዲስክሪታይዜሽን የኤለመንቱ የተጣመረ ቀመር

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

ይገኛል። እዚህ \(\mathbf{K}_{uu}\) ዲቪያቶሪክ ኤላስቲክ ክፍልን እና (በትልቅ መቀየር) ጂኦሜትሪክ ግትርነትን፣ \(\mathbf{K}_{up}\) ቮልዩሜትሪክ ስትሬይንን ከግፊት ጋር የሚያገናኝ ማትሪክስን፣ \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) ደግሞ የግፊት ስታቢላይዜሽን ንጥልን ያመለክታሉ (\(\boldsymbol{N}_p\) የግፊት ቅርጽ ፋንክሽን ነው)። የግፊት ነፃነት ደረጃዎች በኤለመንቱ ውስጥ ስለሚዘጉ፣

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

በሚለው ቅርጽ ስታቲክ ኮንደንሴሽን ይደረጋል፣ እና የውጭ (መፈናቀል) ነፃነት ደረጃዎች ብቻ ያሉት ውጤታማ ግትርነት ወደ ጠቅላላ ግጥም ይላካል።

FrontISTR U-P ኤለመንትን ለ8-ኖድ መስመራዊ ሄክሳሂድራል ብቻ ይተገብራል፣ እና በእያንዳንዱ ኤለመንት 1 የግፊት ነፃነት ደረጃ (በኤለመንቱ ውስጥ ቋሚ) ይጠቀማል። ለትንሽ መቀየር፣ Total Lagrange እና Updated Lagrange ሁሉ ሊተገበር ይችላል፣ እና በUpdated Lagrange ውስጥ ዲቪያቶሪክ ስትሬስን በኦብጀክቲቭ ስትሬስ ሬት (Jaumann/Hughes-Winget አይነት) ካዘመነ በኋላ፣ ግፊት \(\lambda\,\boldsymbol{I}\)ን በስታቲክ ኮንደንሴሽን ከተገኘው እሴት ይጭናል።

ሼል ኤለመንት

ለቀጭን ፕሌት-ሼል መዋቅሮች በReissner-Mindlin ፕሌት-ሼል ንድፈ ሐሳብ ላይ የተመሰረተ ሼል ኤለመንት ይጠቀማል። ዝቅተኛ ዲግሪ ያለው በመፈናቀል ላይ የተመሰረተ ፕሌት-ሼል ኤለመንት ውፍረቱ ሲቀንስ የተሻጋሪ ሺየር ስትሬይንን ከቮልዩሜትሪክ ሎኪንግ ጋር በሚመሳሰል ሜካኒዝም (ሺየር ሎኪንግ) ከመጠን በላይ ይገምታል፣ እና ለመታጠፍ ሞድ ያለው ግትርነት በመበተን ሁኔታ ይጨምራል። MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) ዘዴ [Dvorkin1984] [Bathe1986] የሺየር ስትሬይን ክፍሎችን ብቻ በኤለመንቱ ውስጥ ቀድሞ በተወሰኑ የማሰሪያ ነጥቦች ላይ እንደገና ሳምፕል በማድረግ እና እነዚህን ሳምፕል እሴቶች በኤለመንቱ ውስጥ እንደገና በመካከለኛ እሴት በማስላት ይህን ችግር ያስወግዳል።

የMITC ሼል ኤለመንት ኖዶች በኩርባ ወለሉ ላይ ያሉ የመካከለኛ ወለል ኖዶች ናቸው፣ እያንዳንዱ ኖድ 3 የትርጉም ክፍሎች እና 3 የመካከለኛ ወለል ኖርማል ዙሪያ የሽክርክር ክፍሎችን በማጣመር 6 ነፃነት ደረጃዎች አሉት። የኤለመንት ግትርነት የመካከለኛ ወለል ተፈጥሯዊ ኮኦርዲኔትን እና የውፍረት አቅጣጫን ያካተተ ጠቅላላ 3-ልኬት ጋውስ ኢንተግሬሽን ይገመገማል፣ እና የፕሌት ውፍረት \(h\) በቁስ ግንኙነት ሕግ ስሌት ጊዜ እንደ ኤለመንት ባህሪ ይሰጣል።

FrontISTR በአንድ የመካከለኛ ወለል ሌየር የሚያዙ MITC3 (የኤለመንት ID 731)፣ MITC4 (741)፣ MITC9 (743) እና በውፍረት አቅጣጫ 2 ሌየር ኖዶች ያሉባቸው ተደራራቢ ሼል ኤለመንቶች MITC3-shell361 (761፣ 3\(\times\)2 ኖድ፣ ለእያንዳንዱ ኖድ 3 ነፃነት ደረጃ) እና MITC4-shell361 (781፣ 4\(\times\)2 ኖድ፣ ለእያንዳንዱ ኖድ 3 ነፃነት ደረጃ) ያቀርባል። በተደራራቢ ሼል ኤለመንቶች የኖድ ነፃነት ደረጃዎች 3 የትርጉም ክፍሎች ብቻ ናቸው፣ እና ከሽክርክር ነፃነት ደረጃ ጋር የሚመጣጠነው የመታጠፍ ሞድ በ2-ሌየር አቀማመጥ ይወከላል።

ቢም ኤለመንት

እንደ ግርድርና ፍሬም መዋቅሮች ያሉ መስመራዊ አባላት በቢም ኤለመንት ዲስክሪታይዝ ይደረጋሉ። FrontISTR የሺየር ዲፎርሜሽንን የሚያካትት Timoshenko ቢም ቀመር ይጠቀማል፣ እና መታጠፍና ሺየርን ሁለቱንም እንደ መፈናቀልና የሽክርክር ነፃነት ደረጃዎች ፋንክሽን ይገልጻል።

የቢም ኤለመንት ኖዶች 3 የትርጉም ክፍሎችን እና በአክሱና በተሻጋሪ አክሶች ዙሪያ 3 የሽክርክር ክፍሎችን በማጣመር 6 ነፃነት ደረጃዎች አላቸው፣ እና የኤለመንት ግትርነት በቢሙ አክሲያል አቅጣጫ 1-ልኬት ቁጥራዊ ኢንተግሬሽን ይገመገማል። የመስቀል-ክፍል ስፋት \(A\) እና በመታጠፍና በመጠምዘዝ አቅጣጫ የመስቀል-ክፍል ሁለተኛ ሞመንት \(I\) እንደ የቢም መስቀል-ክፍል ቋሚዎች በኤለመንት ባህሪዎች ይሰጣሉ፣ እና ከማቴሪያሉ የያንግ ሞዱለስ \(E\) እና ሼር ሞዱለስ \(G\) ጋር በመሆን የመራዘም፣ መታጠፍ፣ መጠምዘዝና ሺየር ግትርነት ኮኤፊሺየንቶችን ይፈጥራሉ።

FrontISTR 2-ኖድ ቀጥተኛ ቢም ኤለመንት (የኤለመንት ID 611) እና በ3 ኖዶች የሚወከል 4-ኖድ ቴትራሂድራል ሶሊድ–ቢም ሃይብሪድ ኤለመንት (641፣ ለተቀላቀለ ነፃነት ደረጃ) ያቀርባል።

ተዛማጅ ርዕሶች