እንቅስቃሴ፣ መቀየር እና ስትሬይን¶

የማጣቀሻ እና የአሁኑ አቀማመጥ¶

የአቀማመጥ ትርጉም¶

አንድ ፊዚካዊ መጠን በየትኛው ቅርጽ ላይ ተመስርቶ እንደሚገለጽ ለመለየት፣ በዚህ ማኑዋል ሁለት ዓይነት አቀማመጦችን እንጠቀማለን።

የማጣቀሻ አቀማመጥ (reference configuration)፡ ትንተናው በሚጀምርበት ጊዜ (ጊዜ \(0\)) ያለው ያልተቀየረ ቅርጽ (መነሻ አቀማመጥ ተብሎም ይጠራል)። በማጣቀሻ አቀማመጥ ውስጥ ያለ ነጥብ በቁሳዊ መጋጠሚያ \(\boldsymbol{X}\) ይወከላል፣ መጠኑ \(V\) እና ወለሉ \(S\) ይሆናሉ።
የአሁኑ አቀማመጥ (current configuration)፡ በጊዜ \(t\) ያለው ከተቀየረ በኋላ የሚገኘው ቅርጽ። በአሁኑ አቀማመጥ ውስጥ ያለ ነጥብ በየቦታ መጋጠሚያ \(\boldsymbol{x}\) ይወከላል፣ መጠኑ \(v\) እና ወለሉ \(s\) ይሆናሉ።

እንቅስቃሴው በእነዚህ ሁለት አቀማመጦች መካከል እንደ ካርታ \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) ይገለጻል፣ መፈናቀልም \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) ተብሎ ይገለጻል።

በአቀማመጥ የሚወሰኑ የምልክት ህጎች (አቢይ/ንዑስ ፊደል)¶

ፊዚካዊ መጠኑ የየትኛው አቀማመጥ እንደሆነ በምልክቱ የፊደል መጠን ይለያል።

የማጣቀሻ አቀማመጥ መጠኖች በአቢይ ፊደል ይጻፋሉ (ለምሳሌ፦ \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\))።
የአሁኑ አቀማመጥ መጠኖች በንዑስ ፊደል ይጻፋሉ (ለምሳሌ፦ \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\))።
እንደ 1st Piola-Kirchhoff ስትሬስ \(\boldsymbol{P}\) ያሉ፣ ሁለቱንም አቀማመጦች የሚያገናኙ መጠኖች የተለመደውን ምልክት ይጠቀማሉ እና አስፈላጊ በሆነበት ቦታ በጽሑፉ ውስጥ ይገለጻሉ።
በአነስተኛ መቀየር ቲዎሪ የሁለቱ አቀማመጦች ልዩነት ስለሚጠፋ፣ ንዑስ ፊደሎች (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) ብቻ ይጠቀማሉ።

የማጣቀሻ እና የአሁኑ አቀማመጥ ግራዲየንት¶

የቦታ ተዋጽኦ በየትኛው አቀማመጥ ላይ እንደሚወሰድ መሠረት ምልክቱና ትርጉሙ ይለያያሉ።

የማጣቀሻ አቀማመጥ ግራዲየንት \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)፡ በቁሳዊ መጋጠሚያ የሚወሰድ ግራዲየንት። ለምሳሌ፦ \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\)።
የአሁኑ አቀማመጥ ግራዲየንት \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)፡ በየቦታ መጋጠሚያ የሚወሰድ ግራዲየንት። ለምሳሌ፦ \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\)።

ሁለቱ በ \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) ይዛመዳሉ። ስለ ጊዜ ተዋጽኦ ህጎች (ቁሳዊ ጊዜ ተዋጽኦ \(\dot{(\cdot)}\)) የቴንሰር ኖቴሽንና የሂሳብ መሠረቶችን ይመልከቱ።

የእንቅስቃሴ መግለጫ¶

የእንቅስቃሴ ካርታ እና ቁሳዊ/የቦታ መግለጫ¶

ቀጣይ አካሉን በጊዜ \(0\) ያለው ቦታ \(\boldsymbol{X}\) መለያ የሆነላቸው የቁሳዊ ነጥቦች ስብስብ ብለን ካየን፣ እንቅስቃሴው የቁሳዊ ነጥብ \(\boldsymbol{X}\)ን በጊዜ \(t\) ካለው ቦታ \(\boldsymbol{x}\) ጋር በሚያዛምድ ካርታ \(\phi\) እንደሚከተለው ይገለጻል።

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

የማጣቀሻ አቀማመጥን መነሻ አቀማመጥ በሚያደርገው ህግ \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\) ነው።

ነጻ ተለዋዋጮችን በመምረጥ ሁለት ዓይነት መግለጫዎች ይለያሉ።

ቁሳዊ መግለጫ (Lagrange መግለጫ)፡ ፊዚካዊ መጠኖችን እንደ \((\boldsymbol{X}, t)\) ፋንክሽን ይገልጻል። በጠጣር ሜካኒክስ የማጣቀሻ አቀማመጡ እንደ ቋሚ ቅርጽ ስለሚሰጥ ተፈጥሯዊ ምርጫ ነው።
የቦታ መግለጫ (Euler መግለጫ)፡ ፊዚካዊ መጠኖችን እንደ \((\boldsymbol{x}, t)\) ፋንክሽን ይገልጻል። በፈሳሽ ሜካኒክስ መደበኛ ነው።

የFrontISTR መዋቅራዊ ትንተና በመሠረቱ በቁሳዊ መግለጫ ላይ የተመሠረተ ነው፤ ነገር ግን Updated Lagrange ዘዴ የአሁኑን አቀማመጥ እንደ አዲስ የማጣቀሻ አቀማመጥ ስለሚጠቀም የቦታ መግለጫ መጠኖችንም በአንድነት ይጠቀማል።

መፈናቀል፣ ፍጥነት እና ማፋጠን¶

መፈናቀል \(\boldsymbol{u}\) ከላይ እንደተገለጸው \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) ነው። ስለ መጠኑ ምንም ግምት ሳይደረግ እስከ ውሱን መቀየር ድረስ ይሸፍናል። የፍጥነት ቬክተርና የማፋጠን ቬክተር፣ የቁሳዊ ነጥቡን ቋሚ በማድረግ በ \(\boldsymbol{u}\) ላይ በሚወሰድ ቁሳዊ ጊዜ ተዋጽኦ እንደሚከተለው ይገለጻሉ።

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

ተብለው ይገለጻሉ።

የመቀየር ግራዲየንት እና የመቀየር ቴንሰሮች¶

የመቀየር ግራዲየንት ቴንሰር¶

በውሱን መቀየር የቀጣይ አካል ሜካኒክስ ውስጥ መሠረታዊ መጠን የመቀየር ግራዲየንት ቴንሰር \(\boldsymbol{F}\) ነው። ይህ በማጣቀሻ አቀማመጥ ያለውን ኢንፊኒተሲማል የመስመር ክፍል \(d\boldsymbol{X}\) ወደ አሁኑ አቀማመጥ \(d\boldsymbol{x}\) የሚያስተላልፍ መስመራዊ ካርታ ሲሆን፣ በእንቅስቃሴ ካርታው ላይ በቁሳዊ መጋጠሚያ የሚወሰድ ግራዲየንት እንደሚከተለው ይገለጻል።

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

ይህም (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)) ነው። ባልተቀየረ ሁኔታ \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) ይሆናል። \(\boldsymbol{F}\) ስትሬይንና ስትሬስን ለመግለጽ እና ፊዚካዊ መጠኖችን በአቀማመጦች መካከል ለመቀየር በስፋት ይጠቀማል።

የመጠን ለውጥ ሬሾ¶

በማጣቀሻ አቀማመጥ ያለው ኢንፊኒተሲማል መጠን \(dV\) እና በአሁኑ አቀማመጥ ያለው \(dv\) መካከል ያለው ሬሾ የመጠን ለውጥ ሬሾ \(J\) ይባላል፣ እና

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

ተብሎ ይሰጣል። ቀጣይ አካሉ ተመላሽ እንደሆነ በመገመት \(J > 0\) ይወሰዳል። የጅምላ ጥበቃ ህግ \(\rho_0 = J\rho\) ተብሎ ይገለጻል።

ቀኝ እና ግራ Cauchy-Green የመቀየር ቴንሰሮች¶

የመቀየር ግራዲየንት \(\boldsymbol{F}\) የጠንካራ አካል ሽክርክርን ስለሚያካትት፣ መቀየሩን ራሱን ለመለካት የሽክርክሩ ተጽዕኖ የተወገደባቸው መጠኖች ይጠቀማሉ። ቀኝ Cauchy-Green የመቀየር ቴንሰር \(\boldsymbol{C}\) (የማጣቀሻ አቀማመጥ) እና ግራ Cauchy-Green የመቀየር ቴንሰር \(\boldsymbol{b}\) (የአሁኑ አቀማመጥ) እንደሚከተለው ይገለጻሉ።

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

ሁለቱም ሲሜትሪክ ቴንሰሮች ሲሆኑ ተመሳሳይ ልዩ እሴቶችን (የዋና ስትሬች ሬሾዎች ካሬ) ይኖራቸዋል። የሀይፐርኤላስቲክ ስትሬይን-ኢነርጂ ፋንክሽን ዋና የማይለወጡ መጠኖች በእነዚህ ይገለጻሉ።

የስትሬይን ቴንሰሮች¶

Green-Lagrange የስትሬይን ቴንሰር¶

በማጣቀሻ አቀማመጥ ላይ የተመሠረተ የስትሬይን መለኪያ Green-Lagrange የስትሬይን ቴንሰር \(\boldsymbol{E}\) እንደሚከተለው ይገለጻል።

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

ይህ በማጣቀሻ አቀማመጥ ውስጥ ያሉ ኢንፊኒተሲማል ቬክተሮች የውስጥ ብዜት ለውጥን የሚወክል ሲሜትሪክ ቴንሰር ነው፤ ለጠንካራ አካል ሽክርክር የማይለወጥ ነው እና ባልተቀየረ ሁኔታ \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) ይሆናል። \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) በመጠቀም

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

በመፈናቀል ግራዲየንት የመጀመሪያና ሁለተኛ ዲግሪ ቃላት ድምር መልክ ይገለጻል፣ ሁለተኛው ዲግሪ ቃልም ጂኦሜትሪያዊ መስመራዊ-ያልሆነነትን ይወክላል። በTotal Lagrange ዘዴ የስትሬስ-ስትሬይን ተጓዳኝ ጥንድ \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) ሆኖ ይጠቀማል።

Almansi የስትሬይን ቴንሰር¶

በአሁኑ አቀማመጥ ላይ የተመሠረተ የስትሬይን መለኪያ Almansi የስትሬይን ቴንሰር \(\boldsymbol{e}\) እንደሚከተለው ይገለጻል።

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

ከGreen-Lagrange ስትሬይን ጋር \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (ወደ ኋላ መመለስ) በሚለው ግንኙነት ይዛመዳል።

ኢንፊኒተሲማል የስትሬይን ቴንሰር¶

የመፈናቀል ግራዲየንቱ ትንሽ ሲሆን (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\))፣ በGreen-Lagrange ስትሬይን ያለውን ሁለተኛ ዲግሪ ቃል መተው ይቻላል። በተጨማሪም የሁለቱ አቀማመጦች ልዩነት ስለሚጠፋ፣ ግራዲየንቱን በየቦታ መጋጠሚያ የሚገልጸው ኢንፊኒተሲማል የስትሬይን ቴንሰር \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ይገኛል፦

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

የFrontISTR መስመራዊ ስታቲክ ትንተና፣ ሞዳል ትንተና፣ የድግግሞሽ ምላሽ ትንተና እና መስመራዊ ዳይናሚክ ትንተና ይህንን የስትሬይን መለኪያ ይጠቀማሉ። በውሱን መቀየር ትንተና Total Lagrange ዘዴ \(\boldsymbol{E}\)ን፣ Updated Lagrange ዘዴ ደግሞ በአሁኑ አቀማመጥ ላይ የተመሠረተ የመቀየር-ፍጥነት ቴንሰር \(\boldsymbol{D}\)ን ይጠቀማል።