Skip to content

ስትሬስ እና የጥበቃ ሕጎች

ይህ ምዕራፍ የስትሬስ ቴንሰሮችን ትርጉምና ግንኙነት፣ እንዲሁም ከጅምላ፣ ከሞመንተም እና ከአንግላር ሞመንተም ጥበቃ ሕጎች የሚመጡትን የሚዛን ቀመሮችና የስትሬስ ሲሜትሪ ያቀርባል። ሦስቱ የስትሬስ ቴንሰሮች—Cauchy ስትሬስ \(\boldsymbol{\sigma}\)፣ 1ኛ Piola-Kirchhoff ስትሬስ \(\boldsymbol{P}\) እና 2ኛ Piola-Kirchhoff ስትሬስ \(\boldsymbol{S}\)—የማጣቀሻ ገጽና የኃይል ቬክተር የሚጠቀሙበት ኮንፊገሬሽን ስለሚለያይ ይገለጻሉ። ለኮንፊገሬሽን፣ እንቅስቃሴና የዲፎርሜሽን ግራዲየንት እንቅስቃሴ፣ መቀየር እና ስትሬይንን፣ ለምልክቶች የፊዚካል መጠኖች ምልክት ዝርዝርን ይመልከቱ።

Cauchy ስትሬስ ቴንሰር

በአሁኑ ኮንፊገሬሽን ነጥብ \(\boldsymbol{x}\) ላይ ባለ ትንሽ ገጽ (ስፋት \(d\Gamma\)፣ ወደ ውጭ የሚያመለክት ዩኒት ኖርማል \(\boldsymbol{n}\)) ላይ የሚሠራውን ኃይል \(d\boldsymbol{f}\) እንበል። የገጽ ኃይል ቬክተር \(\boldsymbol{t}\) በ \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) ይገለጻል። \(\boldsymbol{t}\) በቦታ \(\boldsymbol{x}\) እና በኖርማል \(\boldsymbol{n}\) ላይ ይወሰናል። የሞመንተም ጥበቃን ለአነስተኛ ቴትራሂድሮን ሲተገበር \(\boldsymbol{t}\) ከ \(\boldsymbol{n}\) ጋር መስመራዊ ስለሆነ ሁለተኛ-ደረጃ ቴንሰር \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) ይኖራል፣

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

ይህም ለማንኛውም \(\boldsymbol{n}\) ይሠራል (የ Cauchy ስትሬስ ቴዎረም)። \(\boldsymbol{\sigma}\)ን Cauchy ስትሬስ ቴንሰር እንለዋለን፤ በአሁኑ ኮንፊገሬሽን የጂኦሜትሪ ስፋት ላይ የተመሠረተ ኃይል/ስፋት ስለሆነ እውነተኛ ስትሬስ ተብሎም ይጠራል። \(\sigma_{ij}\) በ \(x_j\) ዘንግ ቀጥ ያለ ትንሽ ገጽ ላይ የሚሠራ የኃይል \(x_i\) ክፍልን ይወክላል።

ከዚህ በኋላ በሚታየው የአንግላር ሞመንተም ጥበቃ ሕግ መሠረት Cauchy ስትሬስ ሲሜትሪክ ቴንሰር ነው፣

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

በ3 ልኬት 6 ነፃ ክፍሎች (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)) አሉት። በ Voigt ኖቴሽን የስትሬስ ቬክተር ማድረግ ይህን ሲሜትሪ ይጠቀማል (የቴንሰር ኖቴሽንና የሂሳብ መሠረቶችን ይመልከቱ)። Cauchy ስትሬስ በ FrontISTR Updated Lagrange ጂኦሜትሪያዊ መስመራዊ-ያልሆነ ትንተና እና ትንሽ ዲፎርሜሽን ትንተና ውጤት ይጠቀማል።

1ኛ እና 2ኛ Piola-Kirchhoff ስትሬሶች

በውሱን ዲፎርሜሽን ብዙ ጊዜ ስትሬስን በማጣቀሻ ኮንፊገሬሽን ገጽና ቬክተር መግለጽ ምቹ ነው፤ ስለዚህ ሁለት Piola-Kirchhoff ስትሬስ ቴንሰሮች ይገለጻሉ። የማጣቀሻ ኮንፊገሬሽን ትንሽ ገጽ ስፋት \(d\Gamma_0\)፣ ወደ ውጭ ዩኒት ኖርማል \(\boldsymbol{N}\) ይሁን።

1ኛ Piola-Kirchhoff ስትሬስ (1ኛ PK ስትሬስ፣ ኖሚናል ስትሬስ) \(\boldsymbol{P}\)፣ የአሁኑ ኮንፊገሬሽን ኃይል \(d\boldsymbol{f}\) በማጣቀሻ ኮንፊገሬሽን ትንሽ ገጽ ላይ እንደሚሠራ በመውሰድ ይገለጻል፣

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

ይህ ትርጉም ከ Nanson ቀመር \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) እና ከ Cauchy ስትሬስ ቴዎረም ጋር በማጣመር ከ Cauchy ስትሬስ ጋር የሚከተለውን ግንኙነት ይሰጣል፣

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

ይገኛል። 1ኛ PK ስትሬስ በአጠቃላይ ሲሜትሪክ ያልሆነ ቴንሰር ነው።

2ኛ Piola-Kirchhoff ስትሬስ (2ኛ PK ስትሬስ) \(\boldsymbol{S}\)፣ የአሁኑ ኮንፊገሬሽን ኃይል \(d\boldsymbol{f}\) በ \(\boldsymbol{F}^{-1}\) ወደ ማጣቀሻ ኮንፊገሬሽን ከተመለሰ በኋላ በማጣቀሻው ትንሽ ገጽ ላይ እንደሚሠራ በመውሰድ ይገለጻል፣

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

ይህም የኃይል ቬክተሩንና የሚሠራበትን ገጽ ሁለቱንም በማጣቀሻ ኮንፊገሬሽን መጠኖች ይገልጻል፤ በሪጂድ ሮቴሽን አይቀየርም እና ሲሜትሪክ ቴንሰር ነው። ከ1ኛ PK ስትሬስ እና Cauchy ስትሬስ ጋር ያሉት ግንኙነቶች

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

ናቸው። 2ኛ PK ስትሬስ ከሃይፐርኤላስቲክ ስትሬይን ኤነርጂ ፋንክሽን \(W(\boldsymbol{C})\) በ \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) ይገኛል፤ በ Total Lagrange ዘዴ ከ Green-Lagrange ስትሬይን \(\boldsymbol{E}\) ጋር \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) የስራ-ኮንጁጌት ጥንድ ይሆናል።

የማጣቀሻ ኮንፊገሬሽንና ሲሜትሪ በሚከተለው ሰንጠረዥ ተጠቃለዋል። በትንሽ ዲፎርሜሽን ገደብ (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\)፣ \(J \to 1\)) ሦስቱም ስትሬሶች አንድ ይሆናሉ።

የስትሬስ ቴንሰር የማጣቀሻ ገጽ የኃይል ቬክተር ሲሜትሪ አጠቃቀም
Cauchy ስትሬስ \(\boldsymbol{\sigma}\) የአሁኑ ኮንፊገሬሽን \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) የአሁኑ ኮንፊገሬሽን \(d\boldsymbol{f}\) ሲሜትሪክ Updated Lagrange ዘዴ፣ ትንሽ ዲፎርሜሽን ትንተና
1ኛ PK ስትሬስ \(\boldsymbol{P}\) የማጣቀሻ ኮንፊገሬሽን \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) የአሁኑ ኮንፊገሬሽን \(d\boldsymbol{f}\) በአጠቃላይ ሲሜትሪክ አይደለም የማጣቀሻ ኮንፊገሬሽን ሚዛን ቀመር
2ኛ PK ስትሬስ \(\boldsymbol{S}\) የማጣቀሻ ኮንፊገሬሽን \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) የማጣቀሻ ኮንፊገሬሽን \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) ሲሜትሪክ Total Lagrange ዘዴ፣ ሃይፐርኤላስቲሲቲ

የጅምላና የሞመንተም ጥበቃ ሕጎች እና የሚዛን ቀመር

የአሁኑ ኮንፊገሬሽን የጅምላ ዴንሲቲ \(\rho\)፣ የማጣቀሻ ኮንፊገሬሽን ዴንሲቲ \(\rho_0\) ከሆኑ፣ የጅምላ ጥበቃ \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) ከ \(dv = J\, dV\) የቮልዩም ለውጥ ጋር ወደ አካባቢያዊ ቅርጽ

\[ \rho_0 = J \rho \]

ይቀነሳል።

የአካል ኃይል (በአንድ ጅምላ) \(\boldsymbol{g}\)፣ አክሰለሬሽን \(\boldsymbol{a}\) ከሆኑ፣ የሞመንተም ጥበቃ (የ Euler 1ኛ የእንቅስቃሴ ሕግ) ላይ የ Cauchy ስትሬስ ቴዎረምንና የ Gauss ዳይቨርጀንስ ቴዎረምን በመተግበር በአሁኑ ኮንፊገሬሽን የሚከተለው የሚዛን ቀመር (የእንቅስቃሴ ቀመር) ይገኛል፣

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Nanson ቀመርና \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) በመጠቀም ወደ ማጣቀሻ ኮንፊገሬሽን ኢንተግራል ሲቀየር፣ በማጣቀሻ ኮንፊገሬሽን ያለው አካባቢያዊ ቅርጽ

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

ይገኛል። ሁለቱ ቅርጾች በስትሬስ ለውጥ ሕግና \(\rho_0 = J\rho\) መሠረት እኩል ናቸው። የኢነርሺያ ተርም ሲተው፣

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

የስታቲክ ሚዛን ቀመር ይገኛል፣ ይህም የ FrontISTR መስመራዊና መስመራዊ-ያልሆነ ስታቲክ ትንተና መነሻ ነው።

የአንግላር ሞመንተም ጥበቃ እና የስትሬስ ሲሜትሪ

የአንግላር ሞመንተም ጥበቃ (የ Euler 2ኛ የእንቅስቃሴ ሕግ)ን ከሞመንተም ጥበቃ የሚመጣው የሚዛን ቀመር ጋር ሲጣመር፣ የ Cauchy ስትሬስ ቴንሰር ሲሜትሪ

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ይገኛል፣ በ3 ልኬትም 6 ነፃ ክፍሎች አሉት። \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) ትራንስፎርሜሽንን በሁለቱም ወገን ትራንስፖዝ በማድረግና \(\boldsymbol{F}\) ሬጉላር መሆኑን በመጠቀም 2ኛ PK ስትሬስም ሲሜትሪክ ነው፣

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

እና 6 ነፃ ክፍሎች አሉት። በሌላ በኩል 1ኛ PK ስትሬስ \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) በአጠቃላይ ሲሜትሪክ አይደለም፤ \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) ብቻ ይሠራል (ማለትም \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) ሲሜትሪክ ነው)፣ ነፃ ክፍሎቹም 9 ናቸው።

እነዚህ ሲሜትሪዎች በ Voigt ኖቴሽን ስትሬስን ወደ 6-ክፍል ቬክተር ለመቀየር መሠረት ናቸው። የ Voigt ኖቴሽን ደንቦችና የቁሳዊ ማትሪክስ አወቃቀር ለማየት የቴንሰር ኖቴሽንና የሂሳብ መሠረቶች እና መስመራዊ ኤላስቲሲቲን ይመልከቱ።

ተዛማጅ ርዕሶች