Skip to content

የምናባዊ ሥራ መርህ

በስትሬስ እና የጥበቃ ህጎች ውስጥ ከተገኙት የሚዛን ስሌት እና የድንበር ሁኔታዎች በመነሳት፣ የቀጣይ አካል ሜካኒክስ የወሰን-እሴት ችግር ደካማ ቅርጽ የሆነውን የምናባዊ ሥራ መርህ እናወጣለን። በውሱን ኤለመንት ዘዴ የሚደረገው ዲስክሪታይዜሽን ከዚህ ደካማ ቅርጽ ይጀምራል። ይህ ምዕራፍ የአሁኑ አቀማመጥ (በCauchy ስትሬስ እና በAlmansi ስትሬይን መስመራዊ ክፍል) እና የማጣቀሻ አቀማመጥ (በ2nd Piola-Kirchhoff ስትሬስ እና Green-Lagrange ስትሬይን) ሁለቱንም ቅጾች ያቀርባል፣ እኩልነታቸውንም ካሳየ በኋላ ወደ አነስተኛ መቀየር የሚደረገውን ቅነሳ ያረጋግጣል።

የሚዛን ስሌት እና የድንበር ሁኔታዎች

በቀጣይ አካሉ ላይ የሚሠራውን የሰውነት ኃይል (በአንድ የጅምላ ክፍል) \(\boldsymbol{g}\) ብለን እንውሰድ፣ እና በአሁኑ አቀማመጥ \(\Omega\) ጎራን የሚይዝ አካል እንመልከት። ወሰኑ \(\Gamma\)፣ መፈናቀሉ \(\bar{\boldsymbol{u}}\) የተወሰነበት ጂኦሜትሪያዊ ወሰን \(\Gamma_B\) እና የወለል ኃይሉ \(\bar{\boldsymbol{t}}\) የተወሰነበት ሜካኒካዊ ወሰን \(\Gamma_t\) ተብሎ ይከፈላል፣ \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\)፣ \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\) ነው። ለስታቲክ ችግር፣ በስትሬስ እና የጥበቃ ህጎች የቀረበው የሞመንተም ጥበቃ ህግ የጅድለት ቃል ተወግዶ

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

የሚለው የሚዛን ስሌት ይሆናል። የድንበር ሁኔታዎቹ

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

ተብለው ይሰጣሉ። ከዚህ በኋላ የምናባዊ ሥራ መርህን፣ የሚዛን ስሌቱና የሜካኒካዊ ወሰን ሁኔታ \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) ደካማ ቅርጽ ሆኖ እናወጣለን። ጂኦሜትሪያዊ የድንበር ሁኔታ \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) በየሙከራ ፋንክሽን ምርጫ ውስጥ ይካተታል።

በአሁኑ አቀማመጥ የተገለጸ ደካማ ቅርጽ

በደካማ ቅርጽ ውስጥ የማይታወቀው መፈናቀል የሚፈቀድበት ቦታ እና የየሙከራ ፋንክሽን ቦታ በቅደም ተከተል

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

ተብለው ይገለጻሉ። እዚህ \(d\) የቦታ ልኬት፣ \(H^1(\Omega)\) እስከ የመጀመሪያ ደረጃ ደካማ ተዋጽኦ ድረስ ካሬው ሊዋሃድ የሚችል የሆነ የSobolev ቦታ፣ \(\delta\) ደግሞ የቫሪዬሽን ምልክት ነው። በአሁኑ አቀማመጥ ቅጽ \(\Omega\) ከተቀየረ በኋላ ያለው ጎራ ሲሆን፣ በተግባራዊ ቁጥራዊ መፍትሔ ውስጥ ወደ ማጣቀሻ አቀማመጥ ወይም የሚታወቅ መካከለኛ አቀማመጥ በወደ ኋላ መመለስ ተመልሶ ይታከማል።

የሚዛን ስሌቱን በክብደት \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) በማባዛት፣ የየGauss ዲቨርጀንስ ቴዎረም እና ሜካኒካዊ የድንበር ሁኔታውን በመተግበር፣ በአሁኑ አቀማመጥ ያለው የምናባዊ ሥራ መርህ እንደሚከተለው ይሆናል።

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

እዚህ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) የAlmansi ስትሬይን ቴንሰር መስመራዊ ክፍል ሲሆን፣

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

ተብሎ ይገለጻል። የእሱ ቫሪዬሽን \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\) ነው። ማለትም \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) ተፈልጎ፣ ለማንኛውም \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) የምናባዊ ሥራ ስሌቱ እንዲሟላ ይጠየቃል። የግራ በኩሉ የውስጥ ኃይል ምናባዊ ሥራ፣ የቀኝ በኩሉ ደግሞ በተወሰነው የወለል ኃይልና በሰውነት ኃይል የሚፈጠር የውጭ ኃይል ምናባዊ ሥራ ነው።

ይህ ስሌት በተቀየረው (የአሁኑ) ጎራ ላይ የተገለጸ ስለሆነ፣ በተግባራዊ መፍትሔ ውስጥ መነሻ አቀማመጥ \(\Omega_0\) (የማጣቀሻ አቀማመጥ) ወይም የሚታወቅ መካከለኛ አቀማመጥ እንደ ማጣቀሻ እንደገና ተመርጦ ወደ ጭማሪያዊ ቅጽ ከተጻፈ በኋላ ይፈታል። ስለ ማጣቀሻ አቀማመጡ ምርጫ (Total Lagrange / Updated Lagrange) እና የጭማሪ መከፋፈል የኢንክሪመንታል ትንተና ማዕቀፍን ይመልከቱ።

በመነሻ አቀማመጥ የተገለጸ ደካማ ቅርጽ

በማጣቀሻ አቀማመጥ \(\Omega_0\) ጎራን የሚይዝ አካል እንመልከት፣ እና ወሰኑን \(\Gamma_0\) ወደ \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) እንከፋፍል። የአሁኑን አቀማመጥ ቅጽ ወደ ማጣቀሻ አቀማመጥ ወደ ኋላ መመለስ ስናደርግ፣ የስትሬስ/ስትሬይን ተጓዳኝ ጥንድ 2nd Piola-Kirchhoff ስትሬስ \(\boldsymbol{S}\) እና Green-Lagrange ስትሬይን \(\boldsymbol{E}\) ይሆናሉ። በዚህ ጊዜ በመነሻ አቀማመጥ ያለው የምናባዊ ሥራ መርህ

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

ተብሎ ይጻፋል። እዚህ \(\rho_0\) በማጣቀሻ አቀማመጥ ያለው የጅምላ ጥግግት ሲሆን፣ በጅምላ ጥበቃ ህግ \(\rho_0 = J\rho\) ምክንያት በአሁኑ አቀማመጥ ካለው የየሰውነት ኃይል ገለጻ ጋር እኩል ነው።

የአሁኑ እና የመነሻ አቀማመጥ ቅጾች እኩልነት

በሁለቱ ቅጾች ያለው የውስጥ ኃይል ምናባዊ ሥራ፣ በመቀየር ግራዲየንት \(\boldsymbol{F}\) እና በመጠን ሬሾ \(J = \det \boldsymbol{F}\) የሚደረግ ለውጥ በኩል ይዛመዳል፤ ማለትም፣

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

ነው። የውጭ ኃይል ቃላትም በጅምላ ጥበቃ ህግ እና በወለል ኃይል ለውጥ እኩል ይሆናሉ። ስለዚህ የአሁኑ አቀማመጥ የምናባዊ ሥራ ስሌት እና የመነሻ አቀማመጥ ስሌት አንድን መርህ በተለያዩ አቀማመጦች የሚገልጹ ናቸው። የማጣቀሻ አቀማመጥን የሚጠቀም መፍትሔ Total Lagrange ዘዴን፣ የአሁኑን (የቀድሞውን የተሰበሰበ) አቀማመጥ የሚጠቀም መፍትሔ ደግሞ Updated Lagrange ዘዴን ይዛመዳል።

ወደ አነስተኛ መቀየር ቅነሳ

በአነስተኛ መቀየር ግምት \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\)፣ \(J \approx 1\) ስር የአሁኑ እና የማጣቀሻ አቀማመጦች ልዩነት ይጠፋል። 2nd PK ስትሬስ Cauchy ስትሬስ ይሆናል (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\))፣ Green-Lagrange ስትሬይንና የAlmansi ስትሬይን መስመራዊ ክፍልም ሁለቱም ወደ ኢንፊኒተሲማል ስትሬይን \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ይቀነሳሉ።

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

በዚህ ጊዜ የምናባዊ ሥራ መርህ፣ Cauchy ስትሬስ \(\boldsymbol{\sigma}\) እና ኢንፊኒተሲማል ስትሬይን \(\boldsymbol{\varepsilon}\) የሚጠቀም ደካማ ቅርጽ

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

ይሆናል። ይህ በአነስተኛ መቀየር መስመራዊ-ኤላስቲክ ስታቲክ ትንተና ውስጥ ዲስክሪታይዜሽን ለማድረግ በቀጥታ የሚጠቀም ደካማ ቅርጽ ነው (መስመራዊ ኤላስቲክ ስታቲክ ትንተና (መግቢያ/አባሪ) ይህንን ቅጽ መነሻ አድርጎ የኤለመንት ግትርነት \(\boldsymbol{K}^e\) ግንባታ እና የጠቅላላ ስሌት \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) ማገጣጠም ያሳያል)።

መስመራዊ ኤላስቲክ የቁስ ግንኙነት ሕግ \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) በመተካት፣ በVoigt ኖቴሽን \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ተብሎ ሲጻፍ፣ ደካማው ቅርጽ

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

የሚለውን ቅርጽ ይይዛል።

ተዛማጅ ርዕሶች