የቴንሰር ኖቴሽንና የሂሳብ መሠረቶች¶

ይህ ምዕራፍ በ FrontISTR የንድፈ-ሐሳብ መመሪያ ቀጣይ ምዕራፎች የሚጠቀሙትን የቴንሰር፣ የኢንዴክስ እና የ Voigt ኖቴሽን ደንቦች ያከማቻል። እዚህ ከፊዚካል መጠኖች ትርጉም ነፃ የሆኑ ንጹህ የኖቴሽን ደንቦች ብቻ ይቀርባሉ። ከቀጣይ አካል እንቅስቃሴ ኮንፊገሬሽን (ማጣቀሻ/አሁኑ) ጋር የተያያዙ የኖቴሽን ደንቦች፣ ለምሳሌ የአቢይና ንዑስ ፊደላት ልዩነት እና የቁሳዊ ተዋጽኦና የቦታ ተዋጽኦ ልዩነት፣ የኮንፊገሬሽን ጽንሰ-ሐሳብ በሚቀርብበት እንቅስቃሴ፣ መቀየር እና ስትሬይን ውስጥ ተገልጸዋል።

የቴንሰር ኖቴሽን¶

ቬክተርና ቴንሰር በደማቅ ፊደል መጻፍ¶

እንደ የጽሑፍ ደንብ፣ ስካላር መጠኖችና የቬክተር/ቴንሰር ክፍሎች በመደበኛ ፊደል (\(\rho\)፣ \(x_i\) ወዘተ) ይጻፋሉ፤ ቬክተርና ቴንሰር መጠኖች ራሳቸው በደማቅ ፊደል (\(\boldsymbol{a}\)፣ \(\boldsymbol{E}\)፣ \(\boldsymbol{\sigma}\) ወዘተ) ይጻፋሉ።

የ Einstein ድምር ደንብ¶

በተለየ ሁኔታ ካልተገለጸ በስተቀር፣ አንድ ኢንዴክስ በአንድ ተርም ውስጥ ሁለት ጊዜ ከታየ በዚያ ኢንዴክስ ላይ ድምር የሚወሰድበት የ Einstein ድምር ደንብ ይተገበራል። ለምሳሌ፣

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

እና የቴንሰሮች \(\boldsymbol{A}\) እና \(\boldsymbol{B}\) ውጤት \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) የ \(i,j\) ክፍል

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

ይሆናል። እንደ ኢንዴክስ ደንብ፣ በተለየ ሁኔታ ካልተገለጸ \(i, j, k, l, \ldots\) የነፃነት ደረጃዎችን (በ3 ልኬት \(1, 2, 3\)) ያመለክታሉ፤ ትንሽ የግሪክ ፊደሎች \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) ደግሞ የኤለመንት ኖዶችን ያመለክታሉ።

ውስጣዊ ውጤት፣ ትራንስፖዝ እና ቴንሰር ውጤት¶

የቴንሰር \(\boldsymbol{A}\) ትራንስፖዝ \(\boldsymbol{A}^T\) ተብሎ ይጻፋል። የሁለተኛ-ደረጃ ቴንሰሮች \(\boldsymbol{A}\) እና \(\boldsymbol{B}\) ውስጣዊ ውጤት (double contraction)

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

እንደዚህ ይጻፋል። የቬክተሮች \(\boldsymbol{a}\)፣ \(\boldsymbol{b}\) ውስጣዊ ውጤት \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\) ሲሆን፣ ቴንሰር ውጤቱ \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\) ነው።

Voigt ኖቴሽን¶

ስትሬስና ስትሬይን ሁለተኛ-ደረጃ ሲሜትሪክ ቴንሰሮች ሲሆኑ፣ በመካከላቸው ያለውን መስመራዊ ግንኙነት የሚገልጽ ቅንጅት አራተኛ-ደረጃ ቴንሰር ነው። በፕሮግራም በቀጥታ ማስተናገዱ የስሌትና የኮድ (ባለብዙ ልኬት ድርድሮችና በጥልቀት እርስ በርስ የተደራረቡ የድግግሞሽ ዑደቶች) ወጪን ይጨምራል። ስለዚህ በመደበኛ FEM ፕሮግራሞች፣ ሲሜትሪን በመጠቀም ስትሬስና ስትሬይን ወደ ኮሎም ቬክተር፣ አራተኛ-ደረጃ ኤላስቲክ ቴንሰር ወደ 2D ማትሪክስ ይጨመቃሉ። ይህ Voigt ኖቴሽን ይባላል።

ከዚህ በኋላ የቴንሰር \(\boldsymbol{A}\) ማትሪክስ/ቬክተር ውክልና \(\hat{A}\) ተብሎ ይጻፋል፣ ከመጀመሪያው ቴንሰርም ይለያል።

የስትሬስና ስትሬይን ቬክተር ውክልና¶

ለሲሜትሪክ ስትሬስ ቴንሰር \(\boldsymbol{\sigma}\) እና ስትሬይን ቴንሰር \(\boldsymbol{\varepsilon}\)፣ በ2 ልኬት

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

በ3 ልኬት ደግሞ

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

እንደ ኮሎም ቬክተሮች ይያዛሉ። ተመሳሳይ ደንብ ለቫሪዬሽንና ዲፈረንሺያል መጠኖችም ይሠራል። በስትሬይን በኩል የሺየር ክፍሉ 2 በሚል ቅንጅት ይባዛል (በስትሬስ በኩል አይደለም)። በዚህ ምክንያት የቴንሰር ውስጣዊ ውጤት እንደ ቬክተር ውስጣዊ ውጤት

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

በአጭር ቅርጽ ሊጻፍ ይችላል። በትግበራ የሺየር ስትሬይን 2 ቅንጅት ስህተት ለመፍጠር ቀላል ስለሆነ “በስትሬስ የለም / በስትሬይን አለ” የሚለው ደንብ ሊጠበቅ ይገባል። ተመሳሳይ Voigt ደንብ ለ2ኛ Piola-Kirchhoff ስትሬስ \(\boldsymbol{S}\) እና Green-Lagrange ስትሬይን \(\boldsymbol{E}\) ይተገበራል።

የ4ኛ-ደረጃ ቴንሰር ማትሪክስ ውክልና¶

ለስትሬስና ስትሬይን መስመራዊ ግንኙነት \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (በክፍል ቅርጽ \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\))፣ የ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ሲሜትሪን በመጠቀም

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

ተብሎ ሊጻፍ ይችላል። በ3 ልኬት \(\tilde{C}\)ን እንደ 6×6 የቁሳዊ ማትሪክስ \(\hat{\tilde{C}}\) ሲደረድር፣ የመጀመሪያው የቴንሰር ግንኙነት

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

ተብሎ ይገለጻል። ከዚህ በኋላ በዚህ መመሪያ የቁሳዊ ማትሪክስ በ \(D\) (ወይም \(\hat{C}\)) ይጻፋል። የኢዞትሮፒክ መስመራዊ ኤላስቲሲቲ ዝርዝር ክፍሎችን መስመራዊ ኤላስቲሲቲ ይመልከቱ።

የዲፈረንሺያል ኦፕሬተሮች ደንብ¶

ሲሜትሪክ ግራዲየንት ኦፕሬተር¶

ለቬክተር ፊልድ \(\boldsymbol{u}\) ሲሜትሪክ ግራዲየንት ኦፕሬተር \(\nabla_S\) እንደሚከተለው ይገለጻል፣

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

በክፍል ቅርጽ \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\) ነው። የትንሽ ዲፎርሜሽን ስትሬይን \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) በዚህ ኦፕሬተር በአጭር ይጻፋል። በውሱን ዲፎርሜሽን ግራዲየንት የሚወሰድበት ኮንፊገሬሽን ልዩነት በ እንቅስቃሴ፣ መቀየር እና ስትሬይን ይታያል።

የቁሳዊ ጊዜ ተዋጽኦ¶

የመጠን \(A\) ቁሳዊ ጊዜ ተዋጽኦ (ተመሳሳይ የቁሳዊ ነጥብን ተከትሎ የሚወሰድ የጊዜ ተዋጽኦ) በላይ ነጥብ \(\dot{A}\) ይጻፋል፦

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

ፍጥነትና አክሰለሬሽን ይህን ደንብ ይከተላሉ።

ተዛማጅ ርዕሶች¶

እንቅስቃሴ፣ መቀየር እና ስትሬይን — የማጣቀሻ/አሁኑ ኮንፊገሬሽን ጽንሰ-ሐሳብና በኮንፊገሬሽን ላይ የሚመሰሩ የምልክት ደንቦች (አቢይ/ንዑስ ፊደላት፣ የቁሳዊ/የቦታ ተዋጽኦዎች)
ስትሬስ እና የጥበቃ ሕጎች — ይህን ኖቴሽን በመጠቀም የገዢ ቀመሮች መውጣት
የምናባዊ ሥራ መርህ — የደካማ ቅርጽና Voigt ኖቴሽን አጠቃቀም
መስመራዊ ኤላስቲሲቲ — የቁሳዊ ማትሪክስ \(D\) ዝርዝር ቅርጽ
የቅርጽ ፋንክሽኖች እና የውሱን ኤለመንት ግምት — በ Voigt ኖቴሽን የኤለመንት ጥንካሬ ስሌት