Skip to content

Newton-Raphson ዘዴ

መስመራዊ ማድረግ እና የድግግሞሽ መደጋገሚያ ግንኙነት

በየውጭ ኃይል ምናባዊ ሥራ እና የጠቅላላ ስሌት አሰባሰብ የተገኘውን፣ በጊዜ \(t_{n+1}\) ላይ ለኖድ መፈናቀል \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) የሚሆነውን መስመራዊ-ያልሆነ ስሌት በNewton-Raphson ዘዴ እንፈታለን። እስከ ጊዜ \(t_n\) ያለው ኖድ መፈናቀል \(\boldsymbol{u}_n\) የታወቀ ተብሎ ይወሰዳል፣ የመፈናቀል ጭማሪ \(\Delta\boldsymbol{u}\) ደግሞ የማይታወቅ ተለዋዋጭ ሆኖ

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

እንፈልጋለን። ከዚህ በኋላ የውጭ ኃይል ቬክተር በኖድ መፈናቀል ላይ ያለውን ጥገኝነት ችላ በማለት፣ \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\) ብለን

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

እንፈታለን።

በአሁኑ መፍትሔ \(\Delta\boldsymbol{u}\) ላይ ያለውን ታንጀንት ግትርነት

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

በመጠቀም መስመራዊ-ያልሆነውን ስሌት መስመራዊ ስናደርግ

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

ይሆናል። በ\(i\)-ኛ ድግግሞሽ ያለውን ማስተካከያ \(d\boldsymbol{u}_i\)፣ እና ድግግሞሽ ሲጀምር ያለውን የቀሪ ኃይል ቬክተር

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

ብለን ከጻፍን፣ የድግግሞሽ መደጋገሚያ ግንኙነት

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

የሚለውን ቅርጽ ይይዛል። ቀሪ ኃይል \(\boldsymbol{R}_i\) ከሚዛን ሁኔታ ያለውን የኃይል አለመመጣጠን የሚወክል መጠን ነው።

የታንጀንት ግትርነት ማትሪክስ ግንባታ

ታንጀንት ግትርነት \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\) የሚገነባው፣ በየውስጥ ኃይል ምናባዊ ሥራ ዲስክሪታይዜሽን የተገኘውን የኤለመንት የውስጥ ኃይል ቬክተር በኖድ መፈናቀል ከፊል ዲፈረንሺዬሽን በማድረግ፣ ለእያንዳንዱ ኤለመንት የኢንተግራንድ ቃላትን በኤለመንት ጎራ ላይ ኢንተግሬት በማድረግ እና በመሰብሰብ ነው። በኤለመንት ደረጃ ያለውን ኢንተግራንድ \(\boldsymbol{K}^e_X\) (የማጣቀሻ አቀማመጥ፣ TL ዘዴ) ወይም \(\boldsymbol{K}^e_x\) (የአሁኑ አቀማመጥ፣ UL ዘዴ) ብለን ከጻፍን፣ የኤለመንት ታንጀንት ግትርነት

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

ተብሎ ይሰጣል። ከዚህ በታች የTL/UL ኢንተግራንድ የመጨረሻ ቅጾች ይቀርባሉ። ሁለቱም የቁሳቁስ ግትርነት ቃል (የመጀመሪያ-መፈናቀል ቃል) እና ጂኦሜትሪያዊ ግትርነት ቃል (የመጀመሪያ-ስትሬስ ቃል) ድምር ሆነው ይከፈላሉ።

Total Lagrange ዘዴ

በTotal Lagrange ዘዴ፣ በ2ኛ Piola-Kirchhoff የስትሬስ ፍጥነት \(\dot{\boldsymbol{S}}\) እና Green-Lagrange የስትሬይን ፍጥነት \(\dot{\boldsymbol{E}}\) መካከል ያለው መስመራዊ ግንኙነት \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\) ይገመታል። ይህ ለመስመራዊ ኤላስቲክ ቁሳቁስ (St.Venant-Kirchhoff ቁሳቁስ) እና ሃይፐርኤላስቲክ ቁሳቁስ የቁስ ግንኙነት ሕግ ይዛመዳል፣ እና FrontISTR Total Lagrange ዘዴን ለእነዚህ ቁሳቁሶች ይጠቀማል። በዚህ ጊዜ የኤለመንት ታንጀንት ግትርነት ኢንተግራንድ በቴንሰር ቅርጽ

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

ተብሎ ይጻፋል። በቀኝ በኩል የመጀመሪያው ቃል የቁሳቁስ ግትርነት ቃል (የመጀመሪያ-መፈናቀል ቃል)፣ ሁለተኛው ቃል ጂኦሜትሪያዊ ግትርነት ቃል (የመጀመሪያ-ስትሬስ ቃል) ነው።

በFrontISTR አተገባበር ይህ ኢንተግራንድ በVoigt ኖቴሽን የሚከተለውን ማትሪክስ ቅርጽ በመጠቀም

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

ይሰላል። እያንዳንዱ ማትሪክስ ከዚህ በታች እንደሚታየው ነው። \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) በየውስጥ ኃይል ምናባዊ ሥራ ዲስክሪታይዜሽን የተዋወቁ B ማትሪክሶች ናቸው። \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) የቁስ ግንኙነት ሕግ \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) በVoigt ኖቴሽን የተጻፈ \(6\times 6\) ቁሳቁስ-ግትርነት ማትሪክስ ነው (የቴንሰር ኖቴሽንና የሂሳብ መሠረቶች)። \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) ጂኦሜትሪያዊ ግትርነት ቃሉን እንደ የማትሪክስ ብዜት ለመግለጽ የሚጠቀሙ የማስተካከያ ማትሪክሶች ናቸው። በመጀመሪያ \(3\times 3\) 2ኛ-ደረጃ ቴንሰር \(\boldsymbol{A}\)ን ወደ ባለ9-ክፍል ቬክተር የሚያደራጅ ኖቴሽን \([\,\cdot\,]\)

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

ብለን ከገለጽን፣ \(\boldsymbol{F}_9\) የዲፎርሜሽን ግራዲየንት ልዩነትን \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) በሚለው ቅርጽ የሚገልጽ \(9\times d n_e\) ማትሪክስ ነው። ለኤለመንት ኖድ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) የሚዛመደው \(9\times d\) ብሎክ

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ የ } 3\times 3 \text{ መለያ ማትሪክስ ነው}) \]

በኤለመንት ኖድ ቅደም ተከተል በአግድም ተደርድሮ \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\) ተብሎ ይሰጣል። \(\boldsymbol{S}_9\) ከዚህ ጋር ተጣምሮ ጂኦሜትሪያዊ ግትርነት ቃሉ \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\) ተብሎ እንዲገለጽ የተመረጠ \(9\times 9\) ማትሪክስ

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

ነው።

Updated Lagrange ዘዴ

በUpdated Lagrange ዘዴ፣ በKirchhoff ስትሬስ ቴንሰር አንጻራዊ Jaumann ፍጥነት \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) እና የዲፎርሜሽን ፍጥነት ቴንሰር \(\boldsymbol{D}\) መካከል ያለው መስመራዊ ግንኙነት \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) ይገመታል። ይህ ለመስመራዊ ኤላስቲክ፣ ኤላስቶፕላስቲክ እና ክሪፕ ቁሳቁሶች የጋራ የሃይፖኤላስቲክ የቁስ ግንኙነት ሕግ ቅርጽ ሲሆን፣ FrontISTR Updated Lagrange ዘዴን ለእነዚህ ቁሳቁሶች ይጠቀማል። በዚህ ጊዜ በአሁኑ አቀማመጥ የተገለጸው የኤለመንት ታንጀንት ግትርነት ኢንተግራንድ በቴንሰር ቅርጽ

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

ተብሎ ይጻፋል (\(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) Truesdell ፍጥነት፣ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) የAlmansi ስትሬይን መስመራዊ ክፍል፣ \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) የአሁኑን አቀማመጥ ማጣቀሻ ያደረገ የመፈናቀል ግራዲየንት፣ \(\boldsymbol{L}\) ደግሞ የፍጥነት-ግራዲየንት ቴንሰር ነው)። በቀኝ በኩል የመጀመሪያው ቃል የቁሳቁስ ግትርነት ቃል፣ ሁለተኛው ጂኦሜትሪያዊ ግትርነት ቃል ነው።

በFrontISTR አተገባበር ይህ ኢንተግራንድ በVoigt ኖቴሽን የሚከተለውን ማትሪክስ ቅርጽ በመጠቀም

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

ይሰላል። \(\boldsymbol{b}\) በአሁኑ አቀማመጥ የተገነባ B ማትሪክስ ነው (የውስጥ ኃይል ምናባዊ ሥራ ዲስክሪታይዜሽን)። \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) በTL ዘዴ የተገለጹት \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) ውስጥ 2ኛ PK ስትሬስ \(\boldsymbol{S}\)ን በCauchy ስትሬስ \(\boldsymbol{\sigma}\)፣ እና የማጣቀሻ ኮንፊገሬሽን ግራዲየንት \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)ን የአሁኑ ኮንፊገሬሽን ግራዲየንት \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) በመተካት የሚገኙ ናቸው።

\(\boldsymbol{G}\)፣ የሃይፖኤላስቲክ የቁስ ግንኙነት ሕግ \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\)ን በTruesdell ፍጥነት ላይ የተመሰረተ የቁስ ግንኙነት ሕግ መልክ ከታንጀንት ግትርነት ማዕቀፉ ጋር ለማስማማት የሚያስፈልግ በCauchy ስትሬስ ላይ የተመሰረተ የማስተካከያ ማትሪክስ ነው። የ4ኛ-ደረጃ ቴንሰር ክፍል \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\)ን በ\(6\times 6\) Voigt ኖቴሽን በማደራጀት

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

ይገኛል።

የጠቅላላ ግትርነት ማትሪክስ አሰባሰብ

ጠቅላላ ታንጀንት ግትርነት \(\boldsymbol{K}\)፣ የኤለመንት ግትርነት \(\boldsymbol{K}^e\)ን በእያንዳንዱ ኖድ \(d\times d\) ብሎኮች \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) በመከፋፈል፣ በየኤለመንት-ኖድ ፊዚካዊ መጠኖች አሰባሰብ የተዋወቀውን የ2ኛ-ደረጃ ቴንሰር አሰባሰብ ስብስብ \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) በመጠቀም

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

በ\(i_g\)-ኛ ረድፍ እና \(i_h\)-ኛ አምድ የተደረደረ ማትሪክስ ሆኖ ይገኛል። በአተገባበር ውስጥ ስብስብ \(\mathcal{E}^2\) በግልጽ አይገነባም፤ በኤለመንት ሉፕ ውስጥ በቀጥታ ወደ ተዛማጅ ብሎኮች ይደመራል። ማትሪክሱ የኖድ ነጻነት ዲግሪ \(\times\) ጠቅላላ የኖድ ቁጥር \(n_g\) ያህል ካሬ ማትሪክስ ነው፤ ነገር ግን በኤለመንት የማይገናኙ ኖዶች መካከል ያሉ ክፍሎች \(0\) ስለሆኑ ስፓርስ-ማትሪክስ ቅርጽ ይጠቀማል።

የTL እና UL ኤለመንት ግትርነት ቅጾች፣ የማጣቀሻ ኮንፊገሬሽን ለውጥ (የኖድ መጋጠሚያዎች እና የB ማትሪክስ የግንባታ ምንጮች) እና የ\(\boldsymbol{G}\) ማትሪክስ መኖር/አለመኖር ካልሆነ በስተቀር ተመሳሳይ ናቸው። ስለዚህ FrontISTR ሁለቱንም በአንድ የጋራ ንዑስ ፕሮግራም ይተገብራል።

የድግግሞሽ አልጎርይዝም

ከላይ ያለውን ሁሉ ስናጠቃልል፣ በድግግሞሽ መጀመሪያ \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) ተብሎ ተወስዶ የመጀመሪያ ቀሪ ኃይል \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\) ይሰላል። ከዚያ በ\(i\)-ኛ ድግግሞሽ የሚከተሉት እርምጃዎች ይከናወናሉ።

  1. በአሁኑ መፈናቀል \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) ላይ ታንጀንት ግትርነት \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\)፣ በየታንጀንት ግትርነት ማትሪክስ ግንባታ ሂደት ይሰላል።
  2. ጂኦሜትሪያዊ የድንበር ሁኔታዎችን ለማካተት፣ የመፈናቀል ገደቦች በተጫኑባቸው የነፃነት ደረጃዎች ላይ ታንጀንት ግትርነት ማትሪክስ እና የቀሪ ኃይል ቬክተር ይቀየራሉ፣ እና \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) ይገኛሉ (የጂኦሜትሪያዊ ወሰን ሁኔታ አያያዝ)።
  3. መስመራዊ ስሌት \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) ተፈትቶ ማስተካከያ \(d\boldsymbol{u}_i\) ይገኛል። ይህ ሂደት ብዙውን ጊዜ በድግግሞሽ ውስጥ አብዛኛውን የስሌት ወጪ ይይዛል።
  4. የመፈናቀል ጭማሪ \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\) ተብሎ ይዘምናል፤ በዚህ መሠረት የውስጥ ኃይል ቬክተር \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) እና ቀሪ ኃይል \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) ይሰላሉ።
  5. የመሰብሰብ ፍርድ ይደረጋል፤ መስፈርቱ ከተሟላ ድግግሞሽ ይቆማል። በቀሪ ኃይል \(\boldsymbol{R}_i\) ውስጥ ጂኦሜትሪያዊ የድንበር ሁኔታ በተጫነባቸው የነፃነት ደረጃዎች ላይ እንደ የገደብ ምላሽ ኃይል የሚሠሩ ክፍሎች ይታያሉ። ስለዚህ የፍርድ መለኪያው እነዚህን ካስወገደው \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) ይገነባል። ዝርዝር መለኪያዎችና ገደብ እሴቶች በየመሰብሰብ ፍርድ ይታያሉ። መሰብሰብ ሳይደረስ የድግግሞሽ ገደብ ከተደረሰ እንደ ድግግሞሽ ውድቀት ይቆጠራል።

ድግግሞሽ በሚሰበሰብበት ጊዜ ያለው \(\Delta\boldsymbol{u}\) ወደ \(\boldsymbol{u}_n\) ተጨምሮ፣ በጊዜ \(t_{n+1}\) ያለው የተጠራቀመ መፈናቀል \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) ይገኛል፣ ከዚያም ወደ ቀጣዩ የጊዜ ስቴፕ ይሄዳል።

ተዛማጅ ርዕሶች