Skip to content

የዳይናሚክ ትንተና ዘዴዎች

ይህ ክፍል ቀጥተኛ የጊዜ ኢንተግሬሽን የሚጠቀሙ የዳይናሚክ ችግር መፍትሔ ዘዴዎችን ያሳያል። የ ኢምፕሊሲት እና ኤክስፕሊሲት ዘዴዎች ፎርሙሌሽን ከዚህ በታች ቀርቧል።

የእንቅስቃሴ ቀመር መከፋፈል (የጋራ መዋቅር)

TBD (በቀጣዩ ደረጃ ሙሉ ጽሑፍ ይዘጋጃል)።

ኢምፕሊሲት ዘዴ (Newmark-β ዘዴ)

ለዳይናሚክ ችግሮች ከዚህ በታች ያለውን የእንቅስቃሴ ቀመር ለመፍታት ቀጥተኛ የጊዜ ኢንተግሬሽን ዘዴ ይተገበራል።

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

እዚህ \(M\) የጅምላ ማትሪክስ፣ \(C\) የዳምፒንግ ማትሪክስ፣ \(Q\) የውስጥ ኃይል ቬክተር፣ \(F\) የውጭ ኃይል ቬክተር ናቸው። የጅምላ ማትሪክስ በመስመራዊ-ያልሆነ ትንተናም ከዲፎርሜሽን ነፃ ሆኖ ቋሚ እንደሆነ ይወሰዳል።

በጊዜ ጭማሪ \(\Delta t\) ውስጥ የመፈናቀል፣ ፍጥነትና አክሰለሬሽን ለውጦች በ Newmark-\(\beta\) ዘዴ በቀመር \(\eqref{eq:2.5.2}\) እና \(\eqref{eq:2.5.3}\) እንደተገለጸው በግምት ይወከላሉ።

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

እዚህ \(\gamma\) እና \(\beta\) የ Newmark-\(\beta\) ዘዴ ፓራሜትሮች ናቸው።

እንደሚታወቀው \(\gamma\) እና \(\beta\) የሚከተሉትን እሴቶች ሲወስዱ ዘዴው ከመስመራዊ አክሰለሬሽን ዘዴ ወይም ከትራፔዞይዳል ደንብ ጋር ይመሳሰላል።

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (መስመራዊ አክሰለሬሽን ዘዴ)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (ትራፔዞይዳል ደንብ)

ቀመር \(\eqref{eq:2.5.2}\) እና \(\eqref{eq:2.5.3}\)ን በ \(\eqref{eq:2.5.1}\) በመተካት የሚከተለው ይገኛል።

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

በተለይ ለመስመራዊ ችግር \(K_L\) መስመራዊ የግትርነት ማትሪክስ ሲሆን \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) ነው። ይህን በላይኛው ቀመር ሲተካ የሚከተለው ይገኛል።

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

አክሰለሬሽን እንደ ጂኦሜትሪያዊ የድንበር ሁኔታ በተሰጠበት ቦታ፣ መፈናቀሉ ከቀመር \(\eqref{eq:2.5.2}\) በሚከተለው ቅርጽ ይገኛል።

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

በተመሳሳይ ፍጥነት በተሰጠበት ቦታ መፈናቀሉ ከቀመር \(\eqref{eq:2.5.6}\) ይገኛል።

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

እዚህ፣ \(u_{is}(t+\Delta{t})\) በ \(t+\Delta{t}\) ያለ የኖድ መፈናቀል፣ \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) በ \(t+\Delta{t}\) ያለ የኖድ ፍጥነት ነው፣ \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) በ \(t+\Delta{t}\) ያለ የኖድ አክሰለሬሽን፣ \(i\) የኖድ የነፃነት ደረጃ ቁጥር፣ \(s\) የኖድ ቁጥር ነው። የጅምላና የዳምፒንግ ተርሞች እንደሚከተለው ይያዛሉ።

የጅምላ ተርም አያያዝ

የጅምላ ማትሪክስ በመሠረቱ እንደ የተማከለ ጅምላ ማትሪክስ ይያዛል።

የዳምፒንግ ተርም አያያዝ

የዳምፒንግ ተርም በቀመር \(\eqref{eq:2.5.8}\) የተገለጸው Rayleigh ዳምፒንግ ሆኖ ይያዛል።

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

እዚህ \(R_m\) እና \(R_k\) የ Rayleigh ዳምፒንግ ፓራሜትሮች ናቸው።

በ !DYNAMIC ካርድ የሚሰጡ \(R_m\) እና \(R_k\) በሙሉ ሞዴሉ ላይ ተመሳሳይ ይተገበራሉ። ለእያንዳንዱ ቁሳዊ የተለያዩ \(R_m\), \(R_k\) ለመስጠት በዚያ ቁሳዊ !MATERIAL ብሎክ ውስጥ !DAMPING ካርድ ይጠቀሙ። !DAMPING ያለው ኤለመንት ከጅምላ ማትሪክሱ \(M_i\) እና ከታንጀንት ግትርነት ማትሪክሱ \(K_i\) የኤለመንት ዳምፒንግ ማትሪክስ \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\)ን ያስላል እና ወደ ግሎባል ዳምፒንግ ማትሪክስ ያስገባል። ይህ ባህሪ በ ኢምፕሊሲት ዘዴ ብቻ ይሠራል።

ኤክስፕሊሲት ዘዴ (ማዕከላዊ ልዩነት ዘዴ)

ኤክስፕሊሲት ዘዴው በጊዜ t ላይ በሚከተለው የእንቅስቃሴ ቀመር ይመሰረታል።

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

በጊዜ \(t + \Delta t\) እና \(t - \Delta t\) ያሉ መፈናቀሎችን በጊዜ \(t\) ላይ Taylor መስፋፋት በማድረግ እስከ \(\Delta t\) ሁለተኛ ደረጃ ተርም ሲወሰድ የሚከተለው ይገኛል።

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

ከቀመሮች \(\eqref{eq:2.5.3}\) እና \(\eqref{eq:2.5.4}\) ልዩነትና ድምር የሚከተለው ይገኛል።

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

ቀመሮች \(\eqref{eq:2.5.12}\) እና \(\eqref{eq:2.5.13}\)ን በ \(\eqref{eq:2.5.9}\) ሲተኩ የሚከተለው ይገኛል።

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

ለመስመራዊ ችግር \(Q(t) = K_L U(t)\) ስለሆነ ከላይ ያለው ቀመር እንደሚከተለው ይሆናል።

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

እዚህ የጅምላ ማትሪክስ \(M\)ን የተማከለ ጅምላ ማትሪክስ፣ ዳምፒንግ ማትሪክስን \(C = R_m M\) የሚለውን ተመጣጣኝ ዳምፒንግ በመውሰድ፣ ቀመር \(\eqref{eq:2.5.15}\) የተጣመሩ ቀመሮችን በአንድ ጊዜ መፍታትን አያስፈልገውም።

ስለዚህ ከቀመር \(\eqref{eq:2.5.15}\)፣ \(U(t+\Delta t)\) በሚከተለው መንገድ ይገኛል።

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

ተዛማጅ ርዕሶች