ሞዳል ትንተና¶

አጠቃላይ የኢገንቫልዩ ችግር¶

የቀጣይ አካል ነፃ ንዝረት ለመተንተን መዋቅሩ በቦታ ይከፋፈላል፣ እና በስዕል 2.3.1 እንደሚታየው ተከማቹ ጅምላዎች ያሉት ባለብዙ የነፃነት ደረጃ ስርዓት ሆኖ ይሞዴላል። ዳምፒንግ ለሌለው ነፃ ንዝረት ችግር ገዢው ቀመር (የእንቅስቃሴ ቀመር) እንደሚከተለው ነው።

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

እዚህ $u$ አጠቃላይ የመፈናቀል ቬክተር፣ $M$ የጅምላ ማትሪክስ፣ እና $K$ የግትርነት ማትሪክስ ናቸው። የተፈጥሮ አንግላር ድግግሞሽን $\omega$፣ $a$ እና $b$ን ሁለቱም በአንድ ጊዜ ዜሮ ያልሆኑ ማናቸውም ቋሚዎች፣ እና $x$ን ቬክተር አድርገን ፋንክሽኑን

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

እንገልጻለን። ሁለተኛ ዲሪቫቲቩ ደግሞ

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

ቀመር $\eqref{eq:2.3.2}$ን እና ቀመር $\eqref{eq:2.3.3}$ን በቀመር $\eqref{eq:2.3.1}$ ውስጥ ስንተካ

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

ከላይ ያለው ቀመር ይገኛል።

ዜሮ ላልሆነ ንዝረት $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ ሁልጊዜ ዜሮ ስላልሆነ፣

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

ከላይ ያለው ግንኙነት ይገኛል። ከዚያ $\lambda=\omega^2$ ብለን ካስቀመጥን

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

ከላይ ያለው ቀመር ይገኛል።

ቅንጅት $\lambda$ ኢገንቫልዩ፣ ቬክተር $x$ ኢገንቬክተር ይባላሉ፣ እና በቀመር $\eqref{eq:2.3.5}$ የሚገለጸው ችግር አጠቃላይ የኢገንቫልዩ ችግር ይባላል።

የተፈጥሮ አንግላር ድግግሞሽ $\omega$ ከኢገንቫልዩ $\lambda=\omega^2$ ይገኛል፣ ተዛማጁ ኢገንቬክተር $x$ ደግሞ የንዝረት ሞድን ይወክላል።

ዳምፒንግ የሌለው የነፃ ንዝረት ባለብዙ የነፃነት ደረጃ ስርዓት ምሳሌ

ስዕል 2.3.1 ዳምፒንግ የሌለው የነፃ ንዝረት ባለብዙ የነፃነት ደረጃ ስርዓት ምሳሌ

የማትሪክስ ባህሪያትና ግምቶች¶

በቀደመው ክፍል ለተገኘው አጠቃላይ የኢገንቫልዩ ችግር $Kx=\lambda Mx$፣ ይህ መመሪያ ተዛማጅ ማትሪክሶቹ ሲሜትሪክ እንደሆኑ ይገምታል። ለኮምፕሌክስ ማትሪክሶች ይህ ከሄርሚሺያን ማትሪክስ፣ ለሪያል ማትሪክሶች ደግሞ ከሲሜትሪክ ማትሪክስ ጋር ይዛመዳል።

የማትሪክስ $K$ የ $ij$ ክፍል $k_{ij}$ ከሆነ፣ የሄርሚሺያን ባህሪው

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

በላይ ባለው ቀመር ይገለጻል። እዚህ $\bar{k}_{ji}$ የ $k_{ji}$ ኮምፕሌክስ ኮንጁጌት ነው። ለሪያል ማትሪክሶች ይህ ግንኙነት $k_{ij}=k_{ji}$ ይሆናል።

ሪያል ሲሜትሪክ ማትሪክስ $H$ ለማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ቬክተር $x$

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

ከላይ ያለውን ኢ-እኩልነት ካሟላ ፖዚቲቭ-ዴፊኒት ይባላል። በዚህ ጊዜ ሁሉም የ $H$ ኢገንቫልዩዎች አዎንታዊ ናቸው።

በመዋቅራዊ የኢገንቫልዩ ችግር ውስጥ የጅምላ ማትሪክስ $M$ በተለምዶ ፖዚቲቭ-ዴፊኒት ተደርጎ ይወሰዳል። በሌላ በኩል የግትርነት ማትሪክስ $K$ እንደ ገደብ ሁኔታዎቹ ፖዚቲቭ-ሴሚዴፊኒት ሊሆን ይችላል፣ እና ከግትር-አካል ሞዶች ጋር የሚዛመዱ ዜሮ ኢገንቫልዩዎች ሊኖሩት ይችላሉ።

የተዛወረ ተገላቢጦሽ ድግግሞሽ ዘዴ¶

በውሱን ኤለመንት ዘዴ የመዋቅር ትንተና በተግባር ሁሉንም ኢገንቫልዩዎች ማግኘት አያስፈልግም፤ ብዙ ጊዜ ጥቂት ዝቅተኛ ደረጃ ኢገንቫልዩዎች ብቻ ይበቃሉ። HEC-MW ለትላልቅ ችግሮች የተነደፈ ስለሆነ ማትሪክሶቹ ትልቅና ብዙ ዜሮ ክፍሎች ያሏቸው እጅግ ስፓርስ ናቸው። ስለዚህ እነዚህን ባህሪያት ከግምት በማስገባት የዝቅተኛ ደረጃ ሞዶችን ኢገንቫልዩዎች በብቃት ማስላት አስፈላጊ ነው።

ለሺፍት $\sigma$፣ $-\sigma$ ኢገንቫልዩ ካልሆነ እና $K+\sigma M$ ሲንጉላር ያልሆነ ከሆነ፣ ቀመር $\eqref{eq:2.3.5}$ እንደሚከተለው ሊቀየር ይችላል።

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

ይህ ለውጥ ኢገንቬክተር $x$ን አይቀይርም፣ ኢገንቫልዩ $\lambda$ን ደግሞ ወደ $1/(\lambda+\sigma)$ ይለውጣል።

ስለዚህ $\lambda$ ወደ $-\sigma$ በቀረበ መጠን፣ ከለውጡ በኋላ ያለው የኢገንቫልዩ ፍጹም ዋጋ ይበልጣል። በመዋቅራዊ የኢገንቫልዩ ችግር $\lambda \geq 0$ እና $\sigma \geq 0$ ስለሆኑ፣ ዝቅተኛው ኢገንቫልዩ ትልቁ ፍጹም ዋጋ ወዳለው ኢገንቫልዩ ይለወጣል። ይህን ባህሪ በመጠቀም፣ ትልቅ ፍጹም ዋጋ ወዳላቸው ኢገንቫልዩዎች መጀመሪያ የሚሰበሰብ የድግግሞሽ ዘዴን በቀመር $\eqref{eq:2.3.8}$ ላይ በመተግበር፣ ዝቅተኛ ደረጃ ኢገንቫልዩዎችን በሚጨምር ቅደም ተከተል በብቃት ማግኘት ይቻላል።

ይህ ዘዴ የተዛወረ ተገላቢጦሽ ድግግሞሽ ዘዴ ይባላል።

ገደቦች ላሏቸው ትንተናዎች FrontISTR $\sigma = 0$ ያደርጋል፣ እና ቀመር $\eqref{eq:2.3.8}$ $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$ ይሆናል፤ ይህም ሺፍት የሌለው ተገላቢጦሽ ድግግሞሽ ነው። ገደቦች በሌሉበት ነፃ–ነፃ ትንተና $K$ ከግትር-አካል ሞዶች ጋር የሚዛመዱ ዜሮ ኢገንቫልዩዎች ስላሉት ሲንጉላር ነው፤ ለ $\sigma$ አዎንታዊ ዋጋ መስጠት $K+\sigma M$ን ሲንጉላር እንዳይሆን ያደርገዋል። የ $\sigma$ ዋጋ በ !EIGEN ውስጥ ባለው SIGMA ይወሰናል።

Lanczos ዘዴ¶

የመምረጥ ምክንያት (ከ Jacobi ዘዴ ጋር ንጽጽር)¶

Jacobi ዘዴ በሰፊው የሚታወቅ ክላሲካል ዘዴ ነው።

ይህ ዘዴ ማትሪክሱ ትንሽና ዴንስ ሲሆን ውጤታማ ነው። ነገር ግን HEC-MW የሚያስተናግዳቸው ማትሪክሶች ትልቅና ስፓርስ ስለሆኑ Jacobi ዘዴ አይጠቀምም፤ በምትኩ Lanczos የድግግሞሽ ዘዴ ይጠቀማል።

አልጎርይዝምና ባህሪያት¶

C. Lanczos በ1950ዎቹ ያቀረበው ይህ ዘዴ ማትሪክስን ወደ ሶስት-ዲያጎናል ቅርጽ የሚያወርድ አልጎርይዝም ሲሆን የሚከተሉት ባህሪያት አሉት።

የድግግሞሽ ዘዴ ነው፣ ማትሪክሱን ስፓርስ እንደሆነ በመጠበቅ ስሌቱን ማካሄድ ይችላል።
ክዋኔዎቹ በዋናነት የማትሪክስ–ቬክተር ምርቶች ስለሆኑ ለትይዩ ስሌት ተስማሚ ነው።
ከውሱን ኤለመንት ሜሽ ጋር ለተያያዘ ጂኦሜትሪያዊ የጎራ ክፍፍል ተስማሚ ነው።
የሚፈለጉ ኢገንቫልዩዎችን ብዛት ወይም የሞድ ክልል በመገደብ ቀልጣፋ ስሌት ያደርጋል።

Lanczos ዘዴ ከመነሻ ቬክተር ጀምሮ ኦርቶጎናል ቬክተሮችን በቅደም ተከተል ይፈጥራል፣ እና የ Krylov ንዑስ-ቦታ መሠረት ያገኛል።

በተወሰነ ትክክለኛነት ስሌት የማጠጋጋት ስህተት ቬክተሮቹ ኦርቶጎናልነታቸውን እንዲያጡ ሊያደርግ ይችላል። ይህን ተጽዕኖ ለመቀነስ የ FrontISTR አተገባበር እያንዳንዱን ቬክተር ቀድሞ ከተገኙት Lanczos የመሠረት ቬክተሮች አንጻር እንደገና ኦርቶጎናል ያደርጋል።

ጂኦሜትሪያዊ ትርጉም (Krylov ንዑስ-ቦታ)¶

በቀመር $\eqref{eq:2.3.8}$ ላይ የሚከተሉትን የተለዋዋጭ ለውጦች በመተግበር

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

ችግሩ እንደሚከተለው እንደገና ሊጻፍ ይችላል።

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

ከላይ ያለው ቀመር ይገኛል።

ለማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ቬክተር $q_0$፣

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

በእነዚህ ቬክተሮች የሚዘረጋው ቦታ

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

Krylov ንዑስ-ቦታ ይባላል።

Lanczos ዘዴ የዚህን Krylov ንዑስ-ቦታ መሠረት በቅደም ተከተል ይገነባል።

FrontISTR ከጅምላ ማትሪክስ $M$ ጋር የተያያዘውን የሚከተለውን ውስጣዊ ምርት ይጠቀማል

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

መሠረቱን ኦርቶኖርማል ለማድረግ። በሚከተሉት ስዕሎች የሚታዩት ውስጣዊ ምርት $\langle x,y\rangle$ እና ኖርም $\|x\|$ በ FrontISTR ስሌቶች ውስጥ በቅደም ተከተል እንደዚህ $M$-ውስጣዊ ምርት እና ተዛማጁ $M$-ኖርም

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

ይተረጎማሉ።

በማትሪክስ $A$ የተገለጸውን መስመራዊ ለውጥ በማንኛውም ቬክተር $q_0$ ላይ ይተግብሩ፣ በስዕል 2.3.2 እንደሚታየው።

$በማትሪክስ $A$ የ $q_0$ መስመራዊ ለውጥ$

ስዕል 2.3.2 በማትሪክስ $A$ የ $q_0$ መስመራዊ ለውጥ

የተቀየረው ቬክተር ከመጀመሪያው ቬክተር ጋር በሚዘረጋው ቦታ ውስጥ ኦርቶጎናል ይደረጋል። በተለይ Gram-Schmidt ኦርቶጎናላይዜሽን በስዕል 2.3.3 እንደሚታየው ይከናወናል። የተገኘውን ቬክተር $r_1$ ብለን እንሰይም፤ ኖርማላይዝ ማድረግ $q_1$ን ይሰጣል።

$ከ $q_0$ ጋር ኦርቶጎናል የሆነ ቬክተር $q_1$$

ስዕል 2.3.3 ከ $q_0$ ጋር ኦርቶጎናል የሆነ ቬክተር $q_1$

በተመሳሳይ ሂደት $q_2$ ከ $q_1$ ይገኛል። እዚህ $q_2$ ከ $q_1$ እና $q_0$ ሁለቱም ጋር ኦርቶጎናል ነው፣ በስዕል 2.3.4 እንደሚታየው።

$ከ $q_1$ እና $q_0$ ጋር ኦርቶጎናል የሆነ ቬክተር $q_2$$

ስዕል 2.3.4 ከ $q_1$ እና $q_0$ ጋር ኦርቶጎናል የሆነ ቬክተር $q_2$

በዚህ መንገድ Lanczos ዘዴ የ Krylov ንዑስ-ቦታ ኦርቶኖርማል መሠረትን በቅደም ተከተል ይገነባል። በንድፈ ሐሳብ የኢገንቫልዩ ችግሩ ሲሜትሪ ይህን ድግግሞሽ የቅርብ ጊዜ የመሠረት ቬክተሮችን የሚጠቀም የሶስት-ቃላት ተደጋጋሚ ቀመር አድርጎ ለመግለጽ ያስችላል።

ነገር ግን የ FrontISTR አተገባበር፣ በተወሰነ ትክክለኛነት ስሌት የሚከሰተውን የኦርቶጎናልነት መጥፋት ለመቀነስ፣ እያንዳንዱን ቬክተር ቀድሞ ከተገኙት Lanczos የመሠረት ቬክተሮች አንጻር በ $M$-ውስጣዊ ምርት እንደገና ኦርቶጎናል ያደርጋል።

ወደ ሶስት-ዲያጎናል ቅርጽ ማውረድ¶

በ FrontISTR Lanczos ድግግሞሽ ውስጥ የመሠረት ቬክተሮቹ በቀደመው ክፍል ከተገለጸው $M$-ውስጣዊ ምርት አንጻር ኦርቶኖርማል ስለሚደረጉ፣

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

ከላይ ያለው ግንኙነት ይሟላል።

ከቀመር $\eqref{eq:2.3.10}$ የማትሪክስ $A$ን በመጠቀም፣ የንድፈ ሐሳብ Lanczos ድግግሞሽ

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

ከላይ ባለው የሶስት-ቃላት ተደጋጋሚ ቀመር ይገለጻል።

መጀመሪያ $\alpha_i$ን እንደሚከተለው ይግለጹ።

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

ቀጥሎ ጊዜያዊውን ቀሪ እንደ

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

ከላይ እንደታየው ይግለጹ።

በተወሰነ ትክክለኛነት ስሌት የሚከሰተውን የኦርቶጎናልነት መጥፋት ለመቀነስ፣ የ FrontISTR አተገባበር $\tilde{r}_{i+1}$ን ቀድሞ ከተገኙት Lanczos የመሠረት ቬክተሮች አንጻር በ $M$-ውስጣዊ ምርት እንደገና ኦርቶጎናል ያደርጋል። $r_{i+1}$ እንደገና ኦርቶጎናል ከተደረገ በኋላ ያለው ቀሪ ከሆነ፣

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

ከላይ ያሉት ግንኙነቶች ይሟላሉ።

በ Lanczos ድግግሞሽ የተገኙትን $m$ የመሠረት ቬክተሮች

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

ብለን ከሰበሰብን፣ ከተወሰነ ቁጥር Lanczos ድግግሞሾች በኋላ

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

ከላይ ያለው ግንኙነት ይሟላል።

እዚህ $e_m$ የ $m$-ኛው ክፍል ብቻ 1 የሆነ $m$-ልኬት አሃድ ቬክተር ነው፣ እና

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

ሲሜትሪክ ሶስት-ዲያጎናል ማትሪክስ ነው።

ስለዚህ የሶስት-ዲያጎናል ማትሪክስ $T_m$ ኢገንቫልዩዎችን በማስላት የመነሻውን ትልቅ የኢገንቫልዩ ችግር ኢገንቫልዩዎች መገመት ይቻላል።

ተዛማጅ ርዕሶች¶

የድግግሞሽ ምላሽ ትንተና — የሞዳል ትንተና ውጤቶችን የሚጠቀም የድግግሞሽ ምላሽ
የትንተና ዓይነቶች — የሞዳል ትንተና ተግባራዊ አጠቃላይ እይታ