Skip to content

የድግግሞሽ ምላሽ ትንተና

የችግር አቀራረብ

የድግግሞሽ ምላሽ ትንተና ውጫዊ ኃይል በጊዜ ሃርሞኒክ መልክ ሲለዋወጥ፣ በየድግግሞሽ ዶሜይን ውስጥ በቋሚ ሁኔታ ያለውን የስርዓቱን የምላሽ አምፕሊቱድና ፌዝ የሚገመግም ትንተና ነው። የሚመረመረው የእንቅስቃሴ ስሌት ዳምፒንግ እንዳለው ወይም እንደሌለው የተለየ መዋቅር ስለሚይዝ፣ በዚህ ምዕራፍ በመጀመሪያ ዳምፒንግ ከሌለው ነፃ ንዝረት የአይገን ሞዶችን እናወጣለን፣ ከዚያም እነዚህን እንደ ሞዳል መሠረት በመጠቀም በዳምፒንግ ስር ያለውን ሃርሞኒክ ምላሽ እንዘረጋለን።

ዳምፒንግ የሌለው ነፃ ንዝረትና የአይገን ሞዶች

ዳምፒንግን ሳይቆጠር የእንቅስቃሴ ስሌት እንደሚከተለው ይሆናል።

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

ይህን በእያንዳንዱ የአይገን ሞድ ስንዘረጋ፣

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

ይሆናል። ይህን በስሌት \(\eqref{eq:2.6.1}\) ውስጥ ስንተካ፣

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

እናገኛለን። የዚህ አጠቃላይ የአይገን እሴት ችግር ቁጥራዊ የመፍትሄ ዘዴዎች (በሺፍት የተደገፈ ተገላቢጦሽ ኢተሬሽን እና Lanczos ዘዴ) በሞዳል ትንተና ይታያሉ። በዚህ ክፍል ከተገኙት የተፈጥሯዊ ድግግሞሾችና የአይገን ሞዶች ውስጥ በቀጣዩ የሃርሞኒክ ምላሽ ማስፋፊያ የሚጠቀሙባቸውን ባህሪያት እናጠቃልላለን።

የተፈጥሯዊ ድግግሞሽ እውነተኛ ቁጥር መሆን

ይህ የተፈጥሯዊ ድግግሞሽ እውነተኛ ቁጥር መሆኑ እንደሚከተለው ይረጋገጣል። \(\omega_j^2 = \lambda_j\) ብለን እናስቀምጥ፤ የስሌት \(\eqref{eq:2.6.3}\) ኮምፕሌክስ ኮንጁጌት ስንወስድ ስሌት \(\eqref{eq:2.6.4}\) ይገኛል።

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

ይህን በ\(\overline{U}_J^T\) ስናባዛ፣

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

እናገኛለን። ከስሌት \(\eqref{eq:2.6.5}\)፣

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

ይሆናል። እዚህ የጅምላ ማትሪክሱ ፖዚቲቭ-ዴፊኒት ሲሜትሪክ ስለሆነ፣ ዜሮ ያልሆነ አይገን ቬክተር ላይ

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

ይሟላል። ስለዚህ፣

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

እና \(\omega_j^2 = \lambda_j\) እውነተኛ ቁጥር ይሆናል።

የአይገን ሞዶች ኦርቶጎናሊቲና ኖርማላይዜሽን

አሁን ሁለት የተለያዩ ሞዶችን እንመልከት።

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

ከዚህ፣

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

ይገኛል፤ የአይገን እሴቶቹ ከተለያዩ፣

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

ይሆናል። ይህም የተለያዩ የአይገን ሞዶች ከጅምላ ማትሪክሱ አንጻር ኦርቶጎናል መሆናቸውን ያሳያል። ለተመሳሳይ ሞድ ከጅምላ ማትሪክሱ አንጻር ኖርማላይዝ ማድረግ (ስሌት \(\eqref{eq:2.6.12}\)) አያያዙን ቀላል ያደርገዋል።

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

በዳምፒንግ ስር ያለ ሃርሞኒክ ምላሽ

ቀጥሎ ዳምፒንግን ያካተተ የድግግሞሽ ምላሽ ትንተና ፎርሙሌሽን እናሳያለን። የሚመረመረው የእንቅስቃሴ ስሌት በስሌት \(\eqref{eq:2.6.13}\) ይታያል።

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

እዚህ የዳምፒንግ ቃል Rayleigh አይነት እንደሆነ በመገመት እንደ \(\eqref{eq:2.6.14}\) ሊገለጽ ይችላል።

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

በሞዳል ትንተና የተገኙትን አይገን ቬክተሮች በመጠቀም፣ የመፈናቀል ቬክተሩ በጊዜ t ላይ እንደ ስሌት \(\eqref{eq:2.6.15}\) ሊዘረጋ ይችላል።

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

በዚህ ጊዜ የውጫዊ ኃይሉ ቃል በሃርሞኒክ ኦስሲሌተር መልክ

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

ሲሆን \(b_{j}(t)\) ይወሰናል። የእንቅስቃሴ ስሌት \(\eqref{eq:2.6.13}\) የግዳጅ ንዝረት ቅርጽ ስለሚይዝ፣

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

ይሟላል። የ\(b_{j}(t)\) ማስፋፊያ ኮኤፊሺየንት እውነተኛና ምናባዊ ክፍሎችን ስናገኝ፣ በስሌት \(\eqref{eq:2.6.18}i\) እና ስሌት \(\eqref{eq:2.6.19}\) መልክ ይሆናሉ።

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

ይሆናሉ።

ተዛማጅ ርዕሶች