ያልተረጋጋ የሙቀት ማስተላለፊያ ትንተና
በውሱን ኤለመንት ዘዴ (Finite Element Method) የጠጣር ሙቀት ማስተላለፊያ ትንተናን በጊዜ የመከፋፈል እና የድግግሞሽ መፍትሔ ያብራራል። በተከታታይ አካል ደረጃ ያሉ ገዢ እኩልታዎችንና የድንበር ሁኔታዎችን ለማየት የሙቀት ማስተላለፊያ እኩልታን ይመልከቱ።
የተከፋፈለ እኩልታ (መነሻ)
የሙቀት ማስተላለፊያ እኩልታ (የሙቀት ማስተላለፊያ እኩልታ ቀመር (gov_he_main)) በ Galerkin ዘዴ ሲከፋፈል፣
\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]
እዚህ፣
\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]
እዚህ \(K\), \(M\), \(F\), \(N\) በቅደም ተከተል የሙቀት ማስተላለፊያ ማትሪክስ (የድንበር ኮንቬክሽንና ጨረር አስተዋፅኦን ጨምሮ)፣ የጅምላ ማትሪክስ፣ የሙቀት ጭነት ቬክተር እና የቅርጽ ፋንክሽን ማትሪክስ ናቸው። የቁሳዊ ባህሪ ምልክቶች (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) ወዘተ) ትርጉም የሙቀት ማስተላለፊያ እኩልታን ይከተላል።
የጊዜ መከፋፈል እና የድግግሞሽ መፍትሔ
እኩልታ \(\eqref{eq:2.4.8}\) መስመራዊ ያልሆነ እና ያልተረጋጋ እኩልታ ነው። በጊዜ አቅጣጫ የኋላ Euler ዘዴን በመጠቀም እንከፋፍለው። በ \(t=t_0\) ያለው ሙቀት ከታወቀ፣ በ \(t=t_0+\Delta t\) ያለው ሙቀት በሚከተለው ቀመር ይሰላል።
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]
እዚህ ቀመር \(\eqref{eq:2.4.13}\)ን በግምት የሚያሟላውን የሙቀት ቬክተር \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) በማሻሻል የበለጠ ትክክለኛውን መፍትሔ \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) እንፈልጋለን።
ለዚህም በመጀመሪያ የሙቀት ቬክተሩን እንደሚከተለው እንገልጻለን።
\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]
የሙቀት ማስተላለፊያ ማትሪክስና የሙቀት ቬክተር ውጤት፣ የጅምላ ማትሪክስ ወዘተ በሚከተለው ቀመር በግምት ይወከላሉ።
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]
ቀመሮች \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\), \(\eqref{eq:2.4.16}\)ን በ \(\eqref{eq:2.4.13}\) በመተካት ከሁለተኛ ደረጃ በላይ ያሉ ተርሞችን ስንተው የሚከተለው ይገኛል።
\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]
በተጨማሪም በግራ በኩል ያለው የቅንጅት ማትሪክስ በሚከተለው ቀመር በግምት ይገመገማል።
\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]
እዚህ \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) የታንጀንት ግትርነት ማትሪክስ ነው።
በመጨረሻ የሚከተለውን ቀመር በድግግሞሽ በመፍታት በ \(t=t_0+\Delta t\) ያለውን ሙቀት ማስላት ይቻላል።
\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]
በተለይ ለተረጋጋ ትንተና የሚከተለውን ቀመር በመጠቀም ድግግሞሽ ይከናወናል።
\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]
በያልተረጋጋ ትንተና የጊዜ ጭማሪ \(\Delta t\) ምርጫ፣ በጊዜ መከፋፈል ውስጥ ውስጣዊ ዘዴ ስለሚጠቀም በአጠቃላይ በመጠኑ ጥብቅ ገደብ የለበትም። ነገር ግን \(\Delta t\) በጣም ትልቅ ከሆነ ለመሰብሰብ የሚያስፈልጉ ድግግሞሾች ይጨምራሉ። በአጠቃላይ \(\Delta t\) ከመጠን በላይ ሲሆን የድግግሞሽ ብዛት ይጨምራል። በትግበራው የቀሪ ቬክተር መጠን ይከታተላል፤ መሰብሰቡ ዘገምተኛ ከሆነ \(\Delta t\) ይቀንሳል፣ ድግግሞሾቹ ጥቂት ከሆኑ ደግሞ \(\Delta t\) ይጨምራል (→ ለዝርዝር የስቴፕ ቁጥጥርን ይመልከቱ)።
ተዛማጅ ርዕሶች