Skip to content

የጂኦሜትሪያዊ ድንበር ሁኔታዎች አያያዝ

በ Newton-Raphson ዘዴ በእያንዳንዱ ድግግሞሽ የሚፈታው \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) መስመራዊ ቀመር ጂኦሜትሪያዊ የድንበር ሁኔታዎችን (የመፈናቀል ገደቦችን) ገና አላካተተም። ይህ ምዕራፍ ለ \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) የመፈናቀል ገደብ የተሰጠውን የነፃነት ደረጃ፣ ድግግሞሹ ከተፈጸመ በኋላ መፈናቀሉ የተገደበውን እሴት እንዲያገኝ \(\boldsymbol{K}\) እና \(\boldsymbol{R}\) እንዴት እንደሚሻሻሉ ያሳያል። ባለብዙ-ነጥብ ገደብ (MPC) እና ከንክኪ ጋር የተያያዙ መስመራዊ ያልሆኑ ገደቦች በተለየ ሂደት ይያዛሉ፤ ባለብዙ-ነጥብ ገደብ እና ንክኪን ይመልከቱ።

የመፈናቀል ገደቡን እንደ ያልታወቀ ተለዋዋጭ የማቆየት አቀራረብ

ጂኦሜትሪያዊ የድንበር ሁኔታ የተሰጠው ኖድ መፈናቀል ከእንግዲህ ያልታወቀ ተለዋዋጭ ሳይሆን በተወሰነው \(\bar{u}_i\) እሴት ላይ ይቆማል። እነዚህን እንደ ቋሚ በመቁጠር ከ \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) ማስወገድ ይቻላል፤ ነገር ግን FrontISTR የተገደቡትን የነፃነት ደረጃዎች በ \(d\boldsymbol{u}\) ውስጥ እንደሌሎቹ ይቆያል፣ ገደቡንም \(\boldsymbol{K}\) እና \(\boldsymbol{R}\)ን በማሻሻል ያስፈጽማል።

በዚህ አቀራረብ የቅንጅት ማትሪክስ መጠንና የነፃነት ደረጃዎች ቅደም ተከተል ገደብ ቢኖርም ባይኖርም አይለወጥም። ስለዚህ ተለዋዋጮችን በማስወገድ ባዶ ረድፎችና አምዶችን እንደገና ማጠቃለል አያስፈልግም። ለስፓርስ ማትሪክስ ትግበራ ይህ ቀላል ስለሆነ FrontISTR የቅንጅት ማትሪክስንና ቀኝ ወገንን ብቻ የሚያዘምን ዘዴን ይጠቀማል።

የ Newton-Raphson ማስተካከያ መጠን የመተካት ግብ

ለተገደበው የመፈናቀል ነፃነት ደረጃ \(i\)፣ በ Newton-Raphson ድግግሞሽ የሚፈለገው \(du_i\) ማስተካከያ

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1ኛ ድግግሞሽ}) \\ 0 & (\text{ከ2ኛ ድግግሞሽ ጀምሮ}) \end{cases} \]

እንዲሆን \(\boldsymbol{K}\) እና \(\boldsymbol{R}\) ይሻሻላሉ። በዚህ መንገድ በመጀመሪያው ድግግሞሽ የመፈናቀል ጭማሪው \(\bar{u}_i\) የገደብ እሴትን ይደርሳል፣ ከሁለተኛው ድግግሞሽ ጀምሮ ማስተካከያው \(0\) ሆኖ የገደብ እሴቱ ይጠበቃል።

የማትሪክስና የቀሪ ቬክተር ማሻሻያ ሂደት

የቀደመው ክፍል የመተካት ግብ \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) የመስመራዊ ቀመር ቅርጽን ሳይቀይር በሚከተሉት ሁለት ማሻሻያዎች ይፈጸማል።

  1. የ \(i\) ረድፍ ዲያጎናላይዜሽን፦ የ \(du_i\) ቅንጅት የሆነው \(K_{ii}\) በ \(1\)፣ ሌሎች \(K_{ij}\ (j \not= i)\) በሙሉ በ \(0\) ይተካሉ፣ ቀኝ ወገኑም \(R_i \to d\bar{u}_i\) ይሆናል። ስለዚህ የ \(i\) ረድፍ ቀመር \(du_i = d\bar{u}_i\) ይሆናል።
  2. ከ \(j(\not= i)\) ረድፍ ማዛወር፦ በ \(j(\not= i)\) ረድፍ \(K_{ji} \not= 0\) ከሆነ፣ \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) ተርም ወደ ቀኝ ወገን ይዛወራል። ማለትም ከቀኝ ወገን \(K_{ji} d\bar{u}_i\) ይቀነሳል እና የ \(du_i\) ቅንጅት \(K_{ji}\) ወደ \(0\) ይቀየራል።

በክፍለ-አካል አቀራረብ ሲጻፍ ከማሻሻያው በፊትና በኋላ ያሉ ቀመሮች እንደሚከተለው ይዛመዳሉ።

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

ከማሻሻያው በኋላ ያሉትን የቅንጅት ማትሪክስና ቀኝ ወገን በቅደም ተከተል \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) ብለን ከጻፍን፣ በመጨረሻ የሚፈታው መስመራዊ ቀመር

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

ይሆናል። ብዙ የተገደቡ የነፃነት ደረጃዎች ካሉ፣ ከላይ ያሉት 1 እና 2 ማሻሻያዎች ለእያንዳንዱ \(i\) በቅደም ተከተል ይተገበራሉ።

በስፓርስ ማትሪክስ ትግበራ ውስጥ የሂደቱ ወሰን

በትግበራው \(\boldsymbol{K}\) በስፓርስ ማትሪክስ ቅርጽ ይቀመጣል። ስለዚህ በቀደመው ክፍል ሂደት 2 ውስጥ የ \(j(\not= i)\) ረድፍ ስራ በ \(i\) አምድ ዜሮ ያልሆነ አካል ላላቸው ረድፎች ብቻ፣ ማለትም ከተገደበው \(i\) የነፃነት ደረጃ ጋር በኤለመንት ለተገናኙ ኖዶች ብቻ ይፈጸማል። ያልተገናኘ የነፃነት ደረጃ \(K_{ji} = 0\) ስለሆነ ቀኝ ወገኑን አይቀይርም። ይህ ወሰን በአጠቃላይ ኖዶች ላይ ሳይሆን በአካባቢያዊ ስራ ብቻ ገደቡን እንዲተገበር ያደርጋል።

ተዛማጅ ርዕሶች