التكرار اللاخطي والتكامل الزمني¶

يُقدَّم حلّ FrontISTR بالجمع بين التكرار اللاخطي والتكامل الزمني عند كل خطوة فرعية، ضمن التحكم التزايدي لكل خطوة. تتناول هذه الصفحة البنية التكرارية الواقعة بين التحكم الخارجي في الخطوات والحالّ الخطي الداخلي، أي: إطار تكرار Newton-Raphson، وتكرار التلامس، والتكامل الزمني في التحليل الديناميكي، وتقدُّم الزمن والتكرار اللاخطي في التوصيل الحراري العابر.

نظرة عامة¶

الحلّ اللاخطي والتكامل الزمني المنجَزان داخل الخطوة لهما بنيةٌ من حلقاتٍ متداخلة تمتد من الخارج إلى الداخل. ولكل طبقةٍ الدور التالي.

تختلف الطبقات الظاهرة باختلاف نوع التحليل.

لمعرفة اختيار نوع التلامس والخوارزمية أنفسها، راجع التلامس والتضمين. تتناول هذه الصفحة كيف تُؤلَّف الخوارزمية المختارة بوصفها حلقة تكرار.

اختيار طريقة الحل¶

تُحدَّد البنية التكرارية تلقائياً من اختيار نوع التحليل (أنواع التحليل)، ووجود اللاخطية أو غيابها (هندسية أو مادية أو تلامس)، وخوارزمية التلامس (SLAGRANGE أو ALAGRANGE). ما يضبطه المستخدم مباشرة هو الحد الأعلى لعدد التكرارات وقيم معيار التقارب.

تتضمن إرشادات الضبط ما يلي.

• الحد الأعلى لعدد التكرارات كافٍ في التحليلات القياسية بقيمته الافتراضية. إذا انتهت مسألة يصعب تقاربها إلى «بلوغ الحد الأقصى للتكرارات دون تقارب»، فاستخدم أولاً تقليص الخطوة الزمنية (التحكم في الخطوات)، وازد الحد الأعلى فقط إذا لم يتحسن الوضع.
• اضبط قيم معيار التقارب بموازنة استقرار التحليل وزمن الحساب. كلما اشتد المعيار ارتفعت دقة الاتزان، لكن زاد عدد التكرارات. يصعب تحقيق معيار المتبقي عندما يتردَّى التكرار في منطقة سكون، وفي مثل هذه المسائل يسهّل التقارب تخفيف معيار حجم تصحيح الإزاحة بالتوازي.
• ابدأ معلمات التكامل الزمني في التحليل الديناميكي (معاملات Newmark-β) بتركيبة قياسية من القيم، واضبطها فقط عند الرغبة في تغيير خاصية التخميد العددي لاستجابة الاهتزاز.
• اختر مخطط التكامل الزمني في التوصيل الحراري العابر: Crank-Nicolson للمسائل ذات التغير السلس في درجة الحرارة، وBackward Euler عندما تُركِّز على التغيرات الحادة أو على الاستقرار على فترات زمنية طويلة.

تكرار Newton-Raphson في التحليل الساكن¶

في التحليل الساكن اللاخطي، تُحلّ معادلات الاتزان التي تشمل لاخطية هندسية أو مادية تكرارياً بطريقة Newton-Raphson. ويتقدم كل تكرار وفق الخطوات التالية.

1. قيِّم متجه المتبقي \(\boldsymbol{R}\) عند الحل الحالي.
2. اجمع مصفوفة الصلابة المماسية \(\boldsymbol{K}_T\).
3. حلّ النظام الخطي \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) لتحصل على تصحيح الإزاحة \(\Delta \boldsymbol{u}\).
4. حدِّث الحل حسب \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. قارن بقيم معيار التقارب؛ فإذا تحقق التقارب أتمم التكرار، وإلا عد إلى الخطوة 1.

ينفَّذ حلّ النظام الخطي (الخطوة 3) بواسطة الحالّ الخطي. لاختيار الحالّ والتهيئة المسبقة، راجع الحالّ والتهيئة المسبقة.

يُتحكم في التكرار بمعلمات التحكم في الخطوات في !STEP. قيم التحكم الرئيسية هي التالية.

يُعتبَر التقارب متحققاً عند تحقق أحد CONVERG وCONVERG_DDISP على حدة. في التحليلات التي تحتوي على عناصر بست درجات حرية، تُقيَّم درجات حرية الانتقال (القوى) ودرجات حرية الدوران (العزوم) بشكل منفصل، ويجب أن تكون كلتاهما دون قيم المعيار. لتعريف صيغة المعيار، راجع معايير التقارب (النظرية).

باستخدام !CONVERG_PARAM، يمكن اختيار ما يُستخدَم في المعيار لكل كمية قياس على حدة، كما يمكن إضافة معيار قائم على أكبر قيمة مطلقة لمكونات درجات الحرية إلى معيار L2. يضعف معيار L2 أثر المتبقي الذي يبقى عند بعض العقد فقط في الصورة الكلية، لكن إضافة المعيار القائم على القيمة العظمى يجعل التقارب بواسطة المتبقي يستلزم أن تكون كل مكوّنات المتبقي عند كل العقد دون عتبة بالنسبة إلى القوة المرجعية. ويُطبع في سجل كل تكرار رقم العقدة ورقم درجة الحرية اللذان نشأت عندهما القيمة العظمى، فيمكن استخدام ذلك أيضاً لتحديد المواقع التي يصعب تقاربها.

الحد الأعلى لعدد تكرارات Newton الذي يُستخدَم في قرارات الزيادة التلقائية وتقليص الخطوة الزمنية في التحكم في الخطوات هو عدد تكرارات Newton الموصوف في هذه الصفحة. تزيد الزيادة التلقائية الزيادة الزمنية بعد خطوة فرعية احتاجت إلى عدد قليل من التكرارات، وتقلل الزيادة الزمنية بعد خطوة فرعية استهلكت عدداً كبيراً من التكرارات.

تكرار التلامس في التحليل الساكن¶

في تحليل التلامس، تتغير حالة التلامس أثناء التكرار بفعل الالتصاق والانفصال والانزلاق على أسطح التلامس، لذلك تُؤلَّف تكرارات Newton مع تحديث حالة التلامس. وتختلف التركيبة حسب خوارزمية حل التلامس.

في الخوارزميتين معاً، تُوضع حلقة استكشاف حالة التلامس في الخارج. في كل دورة لهذه الحلقة، يُعاد تقييم حالة التلامس (الالتصاق/الانفصال) بعد تقارب تكرار Newton الداخلي، فإذا تغيَّرت الحالة حُدِّثت بنية مصفوفة الصلابة وأُعيد تشغيل التكرار الداخلي. وتنتهي الحلقة عند بقاء حالة التلامس دون تغيير عن المرة السابقة وتحقيق معيار تقارب التلامس (معيارا قوة التلامس ومضاعفات Lagrange). ويُحدد الحد الأعلى لعدد الدورات بواسطة MAXCONTITER في !STEP.

في تلامس SLAGRANGE، تُدمَج درجات حرية التلامس في النظام الخطي بطريقة مضاعف Lagrange القياسية، فينتج بناً من طبقتين يوضع فيهما تكرار Newton مباشرة داخل حلقة استكشاف حالة التلامس. ولا يرد تكرار Lagrange معزَّز بينهما.

في تلامس ALAGRANGE، يُوضع تكرار Lagrange معزَّز إضافي داخل حلقة استكشاف حالة التلامس، ويُنفَّذ تكرار Newton في الداخل، فينتج بناً من ثلاث طبقات. في كل دورة لتكرار Lagrange المعزَّز، يُعاد تقييم قيد التلامس بتركيب حد العقوبة ومضاعفات Lagrange، فيتحسَّن دقة القيد تدريجياً. ويُنفَّذ تكرار Lagrange المعزَّز في كل دورة لحلقة استكشاف حالة التلامس بالعدد الذي يحدده AUGITER في !CONTACT_ALGO.

قيم التحكم لتكرار التلامس هي التالية.

عدد تكرارات التلامس المشار إليه في قرار الزيادة التلقائية في التحكم في الخطوات هو عدد التكرارات الموصوف في هذه الصفحة بما فيها تحديثات حالة التلامس. وتميل التحليلات التي يتكرر فيها التصاق/انفصال التلامس إلى زيادة عدد تكرارات التلامس، ما يؤثر أيضاً في قرارات الزيادة التلقائية وتقليص الخطوة الزمنية. راجع التلامس والتضمين لمعرفة أنواع التلامس وتعريف الأزواج واختيار الخوارزمية نفسها. وراجع الحالّ والتهيئة المسبقة لمعرفة كيفية حل النظام الخطي الذي يتضمن درجات حرية التلامس.

التكامل الزمني في التحليل الديناميكي (الطريقة الضمنية)¶

تعتمد الطريقة الضمنية للتحليل الديناميكي على طريقة Newmark-β للربط بين الإزاحة والسرعة والتسارع عند الزمن التالي في كل خطوة زمنية، والجمع بين ذلك ومعادلة الحركة للحصول على الحالة عند الزمن \(t + \Delta t\). ويكون قيد الاستقرار على الخطوة الزمنية \(\Delta t\) أرفع، ما يتيح حل الاستجابات الإنشائية التي تسود فيها المكونات منخفضة التردد بكفاءة.

معلمات التكامل الزمني هي المعلمان التاليان.

تُسمَّى التركيبة \(\beta = 1/4\) و\(\gamma = 1/2\) طريقة التسارع المتوسط، وهي اختيار قياسي مستقر بشروط ودون تخميد عددي. ولإدخال تخميد عددي، اختر \(\gamma\) أكبر من \(1/2\). للتفاصيل الرياضية عن تركيبات قيم المعلمات والاستقرار وخصائص الخطأ، راجع دليل النظرية.

عند تضمين اللاخطية (هندسية أو مادية أو تلامس)، يُدار تكرار Newton داخل كل خطوة زمنية، ويُحل النظام الخطي داخل التكرار وتُحدَّث الحالة. تستخدم معايير التقارب قيم CONVERG وغيرها المشتركة مع التحليل الساكن، وتكون صيغ المعيار مشتركة أيضاً مع التحليل الساكن. غير أن القوة المرجعية التي تكون مقام CONVERG تأخذ في الحسبان قوى القصور الذاتي وقوى اللزوجة إضافةً إلى القوة الداخلية. وفي التحليل الديناميكي المصاحب بتلامس، تُدمج البنية التكرارية نفسها الموصوفة في تكرار التلامس في التحليل الساكن داخل خطوة الزمن.

يُتحكم في الخطوة الزمنية في التحليل الديناميكي أساساً وفق شروط الزمن في !STEP. مع الزيادة الثابتة، يحدد !STEP القيمة DTIME بوصفها الخطوة الزمنية وETIME بوصفها مدة الخطوة. وتُعامَل القيمتان n_step وt_delta في !DYNAMIC بوصفهما قيمتين افتراضيتين عند إغفال !STEP أو من أجل التوافق مع الإصدارات السابقة. في الطريقة الضمنية اللاخطية، يُمكِّن !STEP بقيمة INC_TYPE=AUTO من تفعيل الزيادة التلقائية وتقليص الخطوة الزمنية، فتزداد خطوة الزمن أو تقل حسب حالة تكرارات Newton وتكرارات التلامس. وسواء استُخدمت الزيادة الثابتة أم التلقائية، اضبط خطوة الزمن من وجهي التقارب والدقة المطلوبة.

التكامل الزمني في التحليل الديناميكي (الطريقة الصريحة)¶

تعتمد الطريقة الصريحة للتحليل الديناميكي على طريقة الفروق المركزية لحساب حالة الزمن التالي مباشرةً من معلومات الإزاحة والسرعة والتسارع عند الزمن السابق وحدها. وبما أنها لا تحل معادلات مترابطة، فإن كلفة الحساب لكل خطوة صغيرة. وحتى عند تضمين اللاخطية، يبقى كل خطوة زمنية تحديثاً أحادي المراحل دون تكرار Newton.

هناك حد أعلى يفرضه شرط الاستقرار (شرط CFL) المستند إلى أدنى دورة طبيعية للنظام على خطوة الزمن. فخطوة الزمن التي تتجاوز هذا الحد تسبب تباعد الحل العددي، لذا لا يمكن، كالحال في الطريقة الضمنية، اتخاذ خطوات زمنية كبيرة. تكون الطريقة الصريحة مواتية لظواهر مثل الصدمات وانتشار الموجات والتلامس عالي السرعة، حيث تتطلب الظاهرة أصلاً خطوة زمنية صغيرة.

عند وجود تلامس، تُعالَج قيود التلامس بطريقة Forward Increment Lagrange. وتُقيَّم قوى التلامس بشكل يتوافق مع التحديث أحادي المراحل للطريقة الصريحة.

طريقة حل تحليل الاستجابة الترددية¶

يحصل تحليل الاستجابة الترددية على الاستجابة الدورية المستقرة مباشرة في مجال التردد بطريقة تراكب الأنماط. وهي طريقة تقيّم الاستجابة مع تغيير تردد الإثارة، فلا حاجة إلى تتبع التاريخ الزمني بالتكرار. ولا يُنفَّذ لا تكرار لاخطي ولا تكامل زمني.

لتنفيذ تحليل الاستجابة الترددية، يجب إجراء التحليل النمطي مسبقاً على النظام نفسه واستخراج العدد اللازم من الأنماط الطبيعية. لا يُستجاب إلا للنماذج الخطية، ولا يمكن التنفيذ عند تفعيل اللاخطية الهندسية أو المادية. لموضع نوع التحليل، راجع أنواع التحليل.

تقدُّم الزمن والتكرار اللاخطي في التوصيل الحراري العابر¶

يملك التوصيل الحراري العابر حلقة زمنية خاصة به تُستكمل داخل !HEAT. ويُتحكم في خطوة الزمن بمسار منفصل عن !STEP و!AUTOINC_PARAM في التحليل الإنشائي، وعند اعتماد خصائص المادة على درجة الحرارة يُنفَّذ تكرار لاخطي داخل كل خطوة زمنية.

يُختار مخطط التكامل الزمني بواسطة المعلمة \(\beta\) في !HEAT.

تُدار خطوة الزمن تكيُّفياً بالجمع بين الخطوة الزمنية الابتدائية وأدنى خطوة زمنية وأقصى تغير في درجة الحرارة لكل خطوة. إذا تجاوز تغير درجة الحرارة DELTMX بعد الحساب عند خطوة زمنية، تُصغَّر خطوة الزمن وتُعاد الحساب. ويُوقَف التحليل إذا هبطت خطوة الزمن دون أدنى خطوة زمنية DTMIN.

عند اعتماد خصائص المادة على درجة الحرارة، يُنفَّذ تكرار لاخطي داخل كل خطوة زمنية. ويتحكم في التكرار بالشكل التالي.

لا يستخدم التوصيل الحراري المستقر خطوة زمنية، وإنما يُنفَّذ التكرار اللاخطي فقط عند اعتماد المادة على درجة الحرارة. ولأن التحكم الزمني لتحليل التوصيل الحراري مستقل عن !STEP في التحليل الإنشائي، تحقق من تحديد !HEAT عند ضبط خطوة الزمن.

موضوعات ذات صلة¶

• أنواع التحليل — موضع كل نوع تحليل.
• التلامس والتضمين — أنواع التلامس، تعريف الأزواج، واختيار خوارزميات الحل.
• الحالّ والتهيئة المسبقة — حلّ المعادلات الخطية المترابطة المستدعاة داخل تكرار Newton.
• التحكم في الخطوات — التحكم الخارجي في الخطوات والخطوات الفرعية، والزيادة التلقائية وتقليص الخطوة الزمنية.
• طريقة Newton-Raphson (النظرية) — صياغة طريقة الحل التكرارية.
• معايير التقارب (النظرية) — التعريفات الرياضية لمؤشرات التقارب.
• طرق التحليل الديناميكي (النظرية) — صياغة طريقتي Newmark-β والفروق المركزية.
• تحليل التوصيل الحراري العابر (النظرية) — صياغة التكامل الزمني للتوصيل الحراري.
• تحليل التلامس (النظرية) — صياغة طريقة مضاعف Lagrange.
• مرجع الكلمات المفتاحية: !STEP، !CONTACT_ALGO، !DYNAMIC، !HEAT.