انتقل إلى المحتوى

الزحف

يصف هذا الفصل قانون الزحف التكويني المعتمد في FrontISTR. للحصول على تفاصيل حول الاختيار ومواصفات الإدخال، راجع قسم الوظائف 03_material.

ظاهرة الزحف والتفكيك الجمعي للانفعال

تُسمّى الإزاحة المعتمدة على الزمن تحت شرط إجهاد ثابت بظاهرة "الزحف".

يمكن أيضًا اعتبار السلوك اللزج المرن الموصوف أعلاه نوعًا من ظواهر الزحف الخطي. يُوصَف هنا عدد من سلوكيات الزحف غير الخطية. ومن الأساليب الشائعة صياغة العلاقة التكوينية بإضافة هذا السلوك إلى الانفعال الذي يحدث لحظيًا، وتعريف الانفعال المتراكم أثناء استمرار حمل ثابت معيّن بوصفه انفعال الزحف \(\varepsilon^c\). تُعبَّر العلاقة التكوينية التي تتضمن الزحف عادةً باستخدام معدل انفعال الزحف \(\dot{\varepsilon}^c\)، المعرَّف بوصفه دالة في الإجهاد وإجمالي انفعال الزحف.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

إذا كان الانفعال الذي يحدث لحظيًا هو الانفعال المرن \(\varepsilon^e\)، فإن الانفعال الكلي يُعبَّر عنه بالمجموع التالي الذي يتضمن انفعال الزحف.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

حيث

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) هو موتر المرونة).

قانون Norton

كقانون تكويني محدد للزحف، يعتمد FrontISTR نموذج Norton التالي. في هذا القانون التكويني، يُعبَّر عن معدل انفعال الزحف المكافئ \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) بوصفه دالة في إجهاد فون ميزس ‏\(q\) والزمن \(t\) كما يلي.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

حيث إن \(A\) و\(m\) و\(n\) ثوابت مادية.

التكامل الزمني وتحديث الإجهاد

كما في المواد اللدنة، يجب تحديد طريقة تكامل زمني عددية لقانون تكويني يُظهر الزحف. تكون العلاقة التكوينية عند أخذ الزحف في الاعتبار كما يلي:

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

حيث إن \(\beta_{n+\theta}\) هو

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

ثم تُعرَّف زيادة انفعال الزحف \(\Delta \varepsilon^c\) بالمعادلة غير الخطية المبسطة التالية:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

ويُشترط أن تساوي صفرًا.

في تكرار Newton-Raphson، مع اتخاذ \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) إجهادًا ابتدائيًا واستخدام زيادة الانفعال المحسوبة بطريقة العناصر المحدودة، يُعطى الحل التكراري والزيادة كما يلي:

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

حيث

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

ويُعرَّف بذلك. عند التكرار حتى يصبح المتبقي \(R\) مساويًا لـ \(\mathbf{0}\)، يُستخدم الإجهاد \(\sigma_{n+1}\) ومعامل المماس الآتي:

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

ويُستخدم كلاهما في عملية التكرار.

موضوعات ذات صلة