انتقل إلى المحتوى

مبدأ الشغل الافتراضي

استناداً إلى معادلة الاتزان وشروط الحدود المشتقة في الإجهاد وقوانين الحفظ، نشتق مبدأ الشغل الافتراضي، وهو الصيغة الضعيفة لمسألة القيم الحدية في ميكانيكا الأوساط المتصلة. يبدأ التفريد بطريقة العناصر المحدودة من هذه الصيغة الضعيفة. يعرض هذا الفصل كلاً من صيغة التهيئة الحالية (باستخدام إجهاد Cauchy والجزء الخطي من انفعال Almansi) وصيغة التهيئة المرجعية (باستخدام إجهاد Piola-Kirchhoff الثاني وانفعال Green-Lagrange)، ويوضح تكافؤهما، ثم يؤكد الاختزال إلى حالة التشوه الصغير.

معادلة الاتزان وشروط الحدود

لتكن \(\boldsymbol{g}\) قوة الجسم المؤثرة في الوسط المتصل لكل وحدة كتلة، ولنعتبر جسماً يشغل المجال \(\Omega\) في التهيئة الحالية. تُقسم الحدود \(\Gamma\) إلى الحد الهندسي الذي تُفرض عليه الإزاحة \(\bar{\boldsymbol{u}}\)، وهو \(\Gamma_B\)، والحد الميكانيكي الذي تُفرض عليه قوة السطح \(\bar{\boldsymbol{t}}\)، وهو \(\Gamma_t\)، بحيث \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) و\(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). في المسألة الساكنة، تُستخرج معادلة الاتزان بحذف حد العطالة من قانون حفظ كمية الحركة الموضح في الإجهاد وقوانين الحفظ:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{في} \ \Omega \]

شروط الحدود هي

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{على} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{على} \ \Gamma_B \]

فيما يلي، يُشتق مبدأ الشغل الافتراضي بوصفه الصيغة الضعيفة لمعادلة الاتزان وشرط الحد الميكانيكي \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). ويُدمج شرط الحد الهندسي \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) من خلال اختيار دالة الاختبار.

الصيغة الضعيفة في التهيئة الحالية

في الصيغة الضعيفة، نعرّف فضاء الحل المقبول للإزاحة المجهولة وفضاء دوال الاختبار، على الترتيب، كما يلي

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{على} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{على} \ \Gamma_B \} \]

هنا، \(d\) هو البعد المكاني، و\(H^1(\Omega)\) هو فضاء Sobolev للدوال القابلة للتكامل تربيعياً مع مشتقاتها الضعيفة الأولى، و\(\delta\) يرمز إلى التغاير. في تمثيل التهيئة الحالية، تمثل \(\Omega\) التهيئة المشوهة؛ وفي الحل العددي الفعلي، تُسحب إلى التهيئة المرجعية أو إلى تهيئة وسيطة معلومة.

بضرب معادلة الاتزان في الوزن \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) وتطبيق مبرهنة التباعد لـ Gauss وشرط الحد الميكانيكي، نحصل على مبدأ الشغل الافتراضي التالي في التهيئة الحالية.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

هنا، \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) هو الجزء الخطي من موتر انفعال Almansi، ويُعرّف كما يلي

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

وتغايره هو \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). ومن ثم نبحث عن \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) بحيث تتحقق معادلة الشغل الافتراضي لكل \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). يمثل الطرف الأيسر الشغل الافتراضي للقوى الداخلية، بينما يمثل الطرف الأيمن الشغل الافتراضي للقوى الخارجية الناتجة عن قوة السطح المفروضة وقوة الجسم.

ولأن هذه المعادلة مكتوبة على المجال المشوه (التهيئة الحالية)، فإن إجراء الحل الفعلي يعيد اختيار التهيئة الابتدائية \(\Omega_0\) (التهيئة المرجعية) أو تهيئة وسيطة معلومة باعتبارها التهيئة المرجعية، ويعيد كتابة المعادلة بصيغة تزايدية ثم يحلها. راجع إطار التحليل التزايدي بشأن الاختيار المحدد للتهيئة المرجعية (Total Lagrange / Updated Lagrange) والتفكيك التزايدي.

الصيغة الضعيفة في التهيئة الابتدائية

لنعتبر جسماً يشغل المجال \(\Omega_0\) في التهيئة المرجعية، وحدوده \(\Gamma_0\) مقسمة إلى \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). يؤدي سحب تمثيل التهيئة الحالية إلى التهيئة المرجعية إلى زوج الإجهاد-الانفعال المترافق المكوّن من إجهاد Piola-Kirchhoff الثاني \(\boldsymbol{S}\) وانفعال Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\). ومن ثم يكون مبدأ الشغل الافتراضي في التهيئة الابتدائية

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

هنا، \(\rho_0\) هي كثافة الكتلة في التهيئة المرجعية، وبحسب علاقة حفظ الكتلة \(\rho_0 = J\rho\)، فإن هذا مكافئ لتمثيل قوة الجسم في التهيئة الحالية.

تكافؤ تمثيلي التهيئتين الحالية والابتدائية

يتطابق الشغل الافتراضي للقوى الداخلية في التمثيلين عبر التحويل بتدرج التشوه \(\boldsymbol{F}\) ونسبة الحجم \(J = \det \boldsymbol{F}\)؛ أي

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

كما تتكافأ حدود القوى الخارجية بفعل حفظ الكتلة وتحويل قوة السطح. لذلك، تعبر معادلة الشغل الافتراضي في التهيئة الحالية وتلك في التهيئة الابتدائية عن المبدأ نفسه في تهيئتين مختلفتين. طريقة الحل التي تشير إلى التهيئة المرجعية تقابل طريقة Total Lagrange، بينما طريقة الحل التي تشير إلى التهيئة الحالية (التهيئة المتقاربة السابقة مباشرة) تقابل طريقة Updated Lagrange.

الاختزال إلى التشوه الصغير

تحت فرضيتي التشوه الصغير \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) و\(J \approx 1\)، يختفي الفرق بين التهيئتين الحالية والمرجعية، ويتطابق إجهاد PK الثاني مع إجهاد Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\))، ويُختزل كل من انفعال Green-Lagrange والجزء الخطي من انفعال Almansi إلى الانفعال المتناهي الصغر \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

وعندئذ يُختزل مبدأ الشغل الافتراضي إلى الصيغة الضعيفة المعبر عنها بإجهاد Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) والانفعال المتناهي الصغر \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{على} \ \Gamma_B \]

هذه هي الصيغة الضعيفة المستخدمة مباشرة في التفريد للتحليل الساكن الخطي المرن (التحليل الساكن الخطي المرن (مقدمة وملحق) يبدأ من هذه الصيغة ويعرض إنشاء صلابة العنصر \(\boldsymbol{K}^e\) من خلال تجميع المعادلة العامة \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

وبالتعويض عن القانون التكويني المرن الخطي \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) وكتابة \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) باستخدام ترميز Voigt، تصبح الصيغة الضعيفة

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

وهي بهذه الصورة.

موضوعات ذات صلة