انتقل إلى المحتوى

معايير التقارب

بوصفه شرط إنهاء تكرار Newton-Raphson (طريقة Newton-Raphson)، يستخدم FrontISTR نظامَين من الكميات البلا أبعاد: معيار المتبقي ومعيار الكمية التصحيحية. ويظلّ التعريف مشتركًا بصرف النظر عن نوع التحليل (التحليل الساكن، أو التحليل الديناميكي بالطريقة الضمنية) وعن وجود التلامس أو عدم وجوده.

تقسيم كميات الحكم

تتشابك في درجات حرية العقد مكوّنات ذات أبعاد فيزيائية مختلفة. ففي العناصر ذات الست درجات حرية يكون المتبقي المرتبط بدرجات حرية الانزياح ذا بعد القوة، بينما يكون المتبقي المرتبط بدرجات حرية الدوران ذا بعد العزم. كما أنّ في تحليل التلامس بطريقة مضاعفات Lagrange (تحليل التلامس) تُضاف إلى متجه المتبقي صفوف تقابل فجوة التلامس (بعد الطول).

لو جُمعت هذه الكميات في مجموع مربعات واحد، لتغيّرت قيمة المعيار تغييرًا اعتباطيًا تبعًا لاختيار نظام الوحدات، لما لم يتّضح معنى العتبة. ولذلك يفرّق FrontISTR كميات الحكم بحسب البعد، ثم يجعل كلَّ منها بلا أبعاد بقسمتها على الكمية المرجعية المقابلة، ويبني الحكم على ذلك.

الرمز المكوّن البعد
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) متبقيات درجات حرية الانزياح (درجات حرية العقد 1–3) القوة
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\) متبقيات درجات حرية الدوران (درجات حرية العقد 4–6، في عناصر الست درجات حرية فقط) العزم
\(d\boldsymbol{\lambda}\) الكمية التصحيحية لمضاعفات Lagrange القوة

لا تدخل درجة حرية الضغط في عناصر اقتران الموائع (درجات حرية عقدية أربعة، \(u,v,w,p\)) في الحكم.

في عناصر العوارض والأغلفة ذات ثلاث درجات حرية عقدية (641/761/781)، تُعبَّر عن الدورانات بدرجات الحرية 1–3 في عقدة وهمية تكون مقابلة لعقدة الانزياح. وبما أن الحكم لا يميّز العقد الوهمية، فإن متبقيات العقد الوهمية (العزوم) تدخل أيضًا ضمن مكوّن الانزياح \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\). ويستوي في ذلك معيار الكمية التصحيحية والحكم بالقيمة العظمى.

المتبقي \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) مستثنى منه مكوّنات درجات الحرية المفروضة عليها قيود الإزاحة، لأن المتبقيات الظاهرة في هذه الدرجات تقابل قوى رد فعل القيود وليست أخطاء في الاتزان (طريقة Newton-Raphson).

معيار المتبقي

يُصبح متبقي التكرار رقم \(i\)، أي \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\)، بلا أبعاد بمرجعته إلى مقدار القوى الحاضرة في النظام عندئذ. وتُعرَّف القوة المرجعية \(F_\mathrm{ref}\) لمكوّن الانزياح والعزم المرجعي \(M_\mathrm{ref}\) لمكوّن الدوران بـ:

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

حيث \(\boldsymbol{Q}\) متجه القوة الداخلية، و\(\boldsymbol{D}\) مجموع القوتين القصورية واللزجة:

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

(انظر التحليل الديناميكي). وفي التحليل الساكن يكون \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\). وتدل الأسفلان \(t, r\) على مكوّني الانزياح والدوران في القسم السابق، وكميات الحكم على النحو الآتي:

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

والتأسيس على القيمة العظمى للمعايير للقوة الداخلية وللقويّتين القصورية واللزجة، لا على مجموعهما المتجهي \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\)، سببه أن الاهتزاز الحرَّ الخالي من القوى الخارجية يكون في حالة الاتزان \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\)، فتُهبط الكمية المرجعية المستندة إلى المجموع المتجهي إلى \(0\). أما مع القيمة العظمى للمعايير فلا يحدث هذا الإلغاء المتبادل.

إذا نزلت الكمية المرجعية عن حدٍّ أدنى معين سلفًا (\(10^{-8}\)) —كأول تكرار يبدأ من حالة غير محمّلة— فلا تُقسَم عليه، ويُؤخذ معيار المتبقي نفسه كميةً للحكم. وعندها يكون الحكم مبنيًا على القيمة المطلقة للمتبقي.

معيار الكمية التصحيحية

تُصبح الكمية التصحيحية \(d\boldsymbol{u}_i\) المستخرجة عند التكرار رقم \(i\) بلا أبعاد بمرجعها إلى زيادة الإزاحة \(\Delta\boldsymbol{u}\) المتراكمة حتى ذلك الحين في الخطوة الجزئية:

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

ودلالة صغر الكمية التصحيحية بما يكفي قياسًا بالزيادة المتراكمة أن التكرار قد استقر. ويُستعمل هذا المعيار حكمًا مساندًا في المسائل التي لا يتناقص فيها المتبقي إلا ببطء. أما إذا كان المقام \(0\) فيُعامل المعيار على أنه غير مستوفى.

معيار مضاعفات Lagrange

في تحليل التلامس بطريقة مضاعفات Lagrange، يُضاف إلى الحكم ما يأتي: الكمية التصحيحية للمضاعفات وقد صُنعت بلا أبعاد بمرجعها إلى مقدار المضاعفات ذاتها:

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

إذ إنّ قيود فجوة التلامس مدمجة في النظام المتلازم بوصفها معادلات لمضاعفات Lagrange، فمع تقارب المضاعفات يُعتدّ بتحقيق القيود. أما متبقيات الفجوة ذاتها، ذات بعد الطول، فلا تدخل في معيار المتبقي لأن جمعها مع متبقيات القوى غير ممكن.

والمضاعفات Lagrange قوى تلامس ذات بعد القوة المرجعية \(F_\mathrm{ref}\) نفسه، لذلك يُقيَّد المقام من الأسفل بـ \(F_\mathrm{ref}\). فلو قُسِم على \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\) وحده لصار الحكم صارمًا بلا حد في الأحوال التي يتحمّل فيها التلامس حمولة شبه معدومة، كما أن العقد التي دخلت للتو في التلامس يكون عندها \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\) بينما \(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\) فلا يمكن استيفاء الحكم. ومعالجة نزول المقام عن الحد الأدنى كما هي معالجة ذلك في معيار المتبقي.

الحكم بالقيمة العظمى

بما أن معيار L2 مجموع مربعات جميع درجات الحرية، فإن متبقيًا يبقَ في عدد من العقد فقط يتشتت عبر الكل، فكل ما زاد عدد العقد قُيِّم أصغر مما هو عليه. ولالتقاط الأحوال غير المتزنة موضعياً —كعقد التلامس مثلًا— يمكن استعمال الحكم الناتج عن استبدال معيار L2 في كل معيار مما سبق بأقصى قيم مطلقة لمكوّنات درجات الحرية.

تُعرَّف القيمة العظمى لمكوّن الانزياح في متجه \(\boldsymbol{v}\)، بالنسبة إلى العقدة \(I\) ودرجة الحرية العقدية \(k\)، بـ:

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

أما مكوّن الدوران \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\) فيُعرَّف بالطريقة ذاتها عند \(k = 4,5,6\)، وأما في مضاعفات Lagrange فتؤخذ القيمة العظمى لمطلق قيم جميع المكوّنات. وكميات الحكم هي ما ينتج عن استبدال معيار L2 في كل معيار —في البسط والمقام— بهذه القيمة العظمى:

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]
\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

وتُعتمد الطريقة ذاتها لمكوّنات الدوران. ومعالجة نزول الكمية المرجعية عن الحد الأدنى، وحالة كون المقام \(0\)، كما هو الحال في المعايير القائمة على معيار L2.

وقد خُذت الكميات المرجعية أيضًا على شكل القيمة العظمى ذاتها، ليُحافظ على مقدار كميات الحكم بمستوى يقارب مستوى المعايير القائمة على معيار L2 وتُستعمل عتبات من المستوى نفسه. ولا تُقسم هذه الكميات على مرجع مختلف لكل مكوّن من مكوّنات درجات الحرية؛ ذلك لأن الكمية المرجعية تتجه إلى \(0\) في الاتجاهات الخالية من الحمولات فتفقد كمية الحكم معناها.

في الحكم بالقيمة العظمى تتحدد العقدة ودرجة الحرية اللتان تعطيان القيمة العظمى. ويكتب FrontISTR هذه —للمتبقي وللقيمة التصحيحية— في سجل كل تكرار.

تركيب الأحكام

يمكن تحديد كل كمية حكم مما سبق (من حيث المتبقي والقيمة التصحيحية ومضاعفات Lagrange، ومن حيث مكوّنا الانزياح والدوران، وبمعيار L2 أو بالقيمة العظمى) فرديًا، ما إذا كانت تُستعمل في الحكم (CHECK) أو لا تُستعمل (SKIP). وفي الوضع الافتراضي تكون جميع أحكام معيار L2 من نوع CHECK، وجميع أحكام القيمة العظمى من نوع SKIP.

يُعتبر التقارب قد تحقق إذا استُوفي معيار المتبقي أو معيار الكمية التصحيحية، أي أحد المعيارين. أما معيار مضاعفات Lagrange فهو تأكيد على أن قيود التلامس قد تحققت، لذا يُطلب دائمًا في التحليلات التي توجد فيها مضاعفات Lagrange. وداخل المعيار الواحد يجب استيفاء كل ما وُسم بـ CHECK بين مكوّني الانزياح والدوران، وبين معيار L2 والقيمة العظمى.

وللعبارة عن هذا بصيغة رياضية، تُعرَّف الدالتان التاليتان لمجموعة \(G\) من كميات الحكم:

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{ مستوفى} \ \vee\ m \text{ SKIP} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{ CHECK} \right) \]

تصح \(\mathrm{all\_ok}(G)\) إذا لم تتضمن \(G\) أي كمية حكم من نوع CHECK. وشروط التقارب:

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{معيار مضاعفات Lagrange}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{معيار الكمية التصحيحية}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{معيار الكمية التصحيحية}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{معيار المتبقي}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{معيار المتبقي}) \right) \right\} \]

أما إرفاق \(\mathrm{any\_check}\) بالمجموعتين المرتبطتين بـ (أو) فهو لمنع مجموعة خالية تمامًا من أي CHECK من اجتياز الحكم دون فحص. ولا تُستعمل في الحكم —وإن وُسِّمت بـ CHECK— مكوّنات الدوران في التحليلات الخالية من درجات حرية الدوران، ولا يُستعمل معيار مضاعفات Lagrange في التحليلات الخالية من مضاعفات Lagrange. وفي الإعدادات الافتراضية يكون شرط التقارب:

\[ \left( \text{معيار مضاعفات Lagrange} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{معيار الكمية التصحيحية} \right) \ \vee\ \left( \text{معيار المتبقي} \right) \right\} \]

فيُقيَّم كل من مكوّني الانزياح والدوران في التحليلات ذات درجات حرية الدوران، ويُقيَّم الشرط دون معيار مضاعفات Lagrange في التحليلات الخالية منها.

ولمعرفة طريقة تحديد عتبات أحكام معيار L2، وهي \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\)، وقيمها الافتراضية، انظر !STEP؛ ولمعرفة خيارات CHECK/SKIP وعتبات أحكام القيمة العظمى، انظر !CONVERG_PARAM؛ ولإرشادات الاختيار بين هذه المعايير، انظر التكرار غير الخطي والتكامل الزمني (الوظيفة).

موضوعات ذات صلة