انتقل إلى المحتوى

طرق التحليل الديناميكي

يصف هذا القسم طرق تحليل المسائل الديناميكية باستخدام التكامل الزمني المباشر. وتُعرض أدناه صيغ الطريقتين الضمنية والصريحة.

تفريد معادلة الحركة (الإطار المشترك)

يُستكمل في المرحلة التالية.

الطريقة الضمنية (طريقة Newmark-β)

بالنسبة إلى المسائل الديناميكية، تُطبَّق طريقة التكامل الزمني المباشر لحل معادلة الحركة الموضحة أدناه.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

حيث إن \(M\) هي مصفوفة الكتلة، و\(C\) هي مصفوفة التخميد، و\(Q\) هو متجه القوى الداخلية، و\(F\) هو متجه القوى الخارجية. ويُفترض أن تظل مصفوفة الكتلة ثابتة بغض النظر عن التشوه، حتى في التحليل غير الخطي.

تُقرَّب تغيرات الإزاحة والسرعة والتسارع خلال الزيادة الزمنية \(\Delta t\) باستخدام طريقة Newmark-\(\beta\) كما هو موضح في المعادلة \(\eqref{eq:2.5.2}\) والمعادلة \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

حيث إن \(\gamma\) و\(\beta\) هما معاملا طريقة Newmark-\(\beta\).

كما هو معروف، عند اختيار قيم \(\gamma\) و\(\beta\) أدناه تتطابق الصيغة مع طريقة التسارع الخطي أو قاعدة شبه المنحرف.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)، \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (طريقة التسارع الخطي)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)، \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (قاعدة شبه المنحرف)

بالتعويض بالمعادلتين \(\eqref{eq:2.5.2}\) و\(\eqref{eq:2.5.3}\) في المعادلة \(\eqref{eq:2.5.1}\)، نحصل على المعادلة التالية.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

وبصفة خاصة، في المسألة الخطية، تكون \(K_L\) مصفوفة الصلابة الخطية و\(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). وبالتعويض بهذه العلاقة في المعادلة أعلاه نحصل على المعادلة التالية.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

وفي المواضع التي يُفرض فيها التسارع كشرط حدّي هندسي، تُستخرج الإزاحة التالية من المعادلة \(\eqref{eq:2.5.2}\).

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

وبالمثل، عند المواضع التي تُفرض فيها السرعة، تُستخرج الإزاحة التالية من المعادلة \(\eqref{eq:2.5.6}\).

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

حيث \(u_{is}(t+\Delta{t})\) هي إزاحة العقدة عند الزمن \(t+\Delta{t}\)، و\(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) هي سرعة العقدة عند الزمن \(t+\Delta{t}\)، و\(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) هو تسارع العقدة عند الزمن \(t+\Delta{t}\)، و\(i\) هو رقم درجة حرية العقدة، و\(s\) هو رقم العقدة. وتُعالَج حدّا الكتلة والتخميد كما يلي.

معالجة حد الكتلة

تُعامَل مصفوفة الكتلة افتراضيًا بوصفها مصفوفة كتلة مجمعة. وفي الطريقة الضمنية، يمكن اختيار مصفوفة كتلة متسقة عن طريق idx_mas في !DYNAMIC. وتفترض الطريقة الصريحة مصفوفة كتلة مجمعة.

معالجة حد التخميد

يُعامَل حد التخميد بوصفه تخميد Rayleigh المعبَّر عنه بالمعادلة \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

حيث إن \(R_m\) و\(R_k\) هما معاملا تخميد Rayleigh.

تُطبَّق القيم المحددة في بطاقة !DYNAMIC، وهي \(R_m\) و\(R_k\)، بصورة موحدة على النموذج بأكمله. ولإعطاء قيم مختلفة من \(R_m\) و\(R_k\) لكل مادة، يُحدَّد داخل كتلة !MATERIAL الخاصة بتلك المادة بطاقة !DAMPING. بالنسبة إلى العناصر المنتمية إلى مادة حُدد لها !DAMPING، تُحسب مصفوفة تخميد العنصر من مصفوفة كتلة العنصر \(M_i\) ومصفوفة الصلابة المماسية \(K_i\) على الصورة \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\)، ثم تُدمج في مصفوفة التخميد العامة. هذه الخاصية فعالة للطريقة الضمنية فقط.

الطريقة الصريحة (طريقة الفروق المركزية)

تعتمد الطريقة الصريحة على معادلة الحركة عند الزمن t الموضحة أدناه.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

حيث تُعبَّر الإزاحات عند الزمنين \(t + \Delta t\) و\(t - \Delta t\) بمتسلسلة Taylor عند الزمن \(t\)، مع الاحتفاظ بالحدود حتى الرتبة الثانية في \(\Delta t\)، فتكون النتيجة كما يلي.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

بأخذ الفرق والمجموع للمعادلتين \(\eqref{eq:2.5.3}\) و\(\eqref{eq:2.5.4}\)، نحصل على المعادلتين التاليتين.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

بالتعويض بالمعادلتين \(\eqref{eq:2.5.12}\) و\(\eqref{eq:2.5.13}\) في المعادلة \(\eqref{eq:2.5.9}\)، نحصل على المعادلة التالية.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

وبصفة خاصة، في المسألة الخطية، يكون \(Q(t) = K_L U(t)\)، وتصبح المعادلة أعلاه كما يلي:

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

إذا اعتُبرت مصفوفة الكتلة \(M\) مصفوفة كتلة مجمعة، ومصفوفة التخميد مصفوفة تخميد تناسبي \(C = R_m M\)، فإن المعادلة \(\eqref{eq:2.5.15}\) لا تتطلب إجراء حل نظام المعادلات المتزامنة.

وبالتالي، من المعادلة \(\eqref{eq:2.5.15}\) يمكن الحصول على \(U(t+\Delta t)\) باستخدام المعادلة التالية.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

موضوعات ذات صلة