التحليل النمطي¶

مسألة القيم الذاتية المعممة¶

لتحليل الاهتزاز الحر لوسط متصل، يُجرى تقطيع مكاني للبنية وتُمثَّل كنظام متعدد درجات الحرية ذي كتل مركزة، كما هو موضح في الشكل 2.3.1. بالنسبة لمسألة اهتزاز حر غير مخمد، تكون المعادلة الحاكمة (معادلة الحركة) كما يلي.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

هنا، يمثّل $u$ متجه الإزاحة المعمم، وتمثّل $M$ مصفوفة الكتلة، وتمثّل $K$ مصفوفة الصلابة. لتكن $\omega$ التردد الزاوي الطبيعي، ولتكن $a$ و$b$ ثابتين اعتباطيين لا يساويان الصفر معًا، وليكن $x$ متجهًا. نعرّف الدالة

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

مشتقتها الثانية هي

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

بالتعويض بالمعادلتين $\eqref{eq:2.3.2}$ و$\eqref{eq:2.3.3}$ في المعادلة $\eqref{eq:2.3.1}$، نحصل على

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

فنحصل على المعادلة أعلاه.

بالنسبة إلى اهتزاز غير تافه، لا تكون العبارة $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ مساوية للصفر على نحو مطابق.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

ومن ثم تتحقق العلاقة أعلاه. وبوضع $\lambda=\omega^2$، نحصل على

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

فنحصل على المعادلة أعلاه.

يُسمّى العدد $\lambda$ قيمة ذاتية، ويُسمّى المتجه $x$ متجهًا ذاتيًا، وتُسمّى المسألة الممثلة بالمعادلة $\eqref{eq:2.3.5}$ مسألة قيم ذاتية معممة.

يُستخرج التردد الزاوي الطبيعي $\omega$ من القيمة الذاتية $\lambda=\omega^2$، ويمثّل المتجه الذاتي الموافق $x$ شكلاً نمطيًا للاهتزاز.

مثال لنظام متعدد درجات الحرية للاهتزاز الحر غير المخمد

الشكل 2.3.1 مثال لنظام متعدد درجات الحرية للاهتزاز الحر غير المخمد

خصائص المصفوفات والافتراضات¶

بالنسبة إلى مسألة القيم الذاتية المعممة $Kx=\lambda Mx$ المستنتجة في القسم السابق، يفترض هذا الدليل أن المصفوفات متناظرة. في حالة المصفوفات المركبة، يقابل ذلك المصفوفات الهرميتية؛ وفي حالة المصفوفات الحقيقية، يقابل المصفوفات المتناظرة.

ليكن $k_{ij}$ العنصر $ij$ من المصفوفة $K$. تُعبَّر الخاصية الهرميتية بالصيغة

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

الموضحة في المعادلة أعلاه، حيث إن $\bar{k}_{ji}$ هو المرافق المركب لـ$k_{ji}$. في حالة المصفوفات الحقيقية، تصبح هذه العلاقة $k_{ij}=k_{ji}$.

تكون المصفوفة الحقيقية المتناظرة $H$ موجبة التعريف إذا تحقق، لكل متجه غير صفري $x$،

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

المتباينة أعلاه. وفي هذه الحالة تكون جميع القيم الذاتية لـ$H$ موجبة.

في مسألة القيم الذاتية الإنشائية، تُعامل مصفوفة الكتلة $M$ عادةً على أنها موجبة التعريف. أما مصفوفة الصلابة $K$ فقد تكون موجبة شبه التعريف تبعًا لشروط التقييد، وقد تمتلك قيمًا ذاتية صفرية تقابل أنماط الجسم الصلب.

التكرار العكسي مع الإزاحة¶

في التحليل الإنشائي العملي بطريقة العناصر المحدودة، لا يلزم عمومًا حساب جميع القيم الذاتية؛ فكثيرًا ما تكفي بضع قيم ذاتية من الرتب الدنيا. صُمم HEC-MW لمعالجة مسائل كبيرة الحجم، تكون مصفوفاتها كبيرة وشديدة التناثر، أي تحتوي على عدد كبير من العناصر الصفرية. لذلك من المهم، مع مراعاة هذه الخصائص، حساب القيم الذاتية للأنماط الدنيا بكفاءة.

إذا كانت قيمة الإزاحة $\sigma$، ولم تكن $-\sigma$ قيمة ذاتية، وكانت $K+\sigma M$ غير منفردة، فيمكن تحويل المعادلة $\eqref{eq:2.3.5}$ كما يلي.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

لا يغيّر هذا التحويل المتجه الذاتي $x$، ويحوّل القيمة الذاتية $\lambda$ إلى $1/(\lambda+\sigma)$.

وبالتالي، كلما اقتربت $\lambda$ من $-\sigma$، ازداد المقدار المطلق للقيمة الذاتية بعد التحويل. في مسألة القيم الذاتية الإنشائية، تكون $\lambda \geq 0$ و$\sigma \geq 0$، ولذلك تُحوَّل أدنى قيمة ذاتية إلى القيمة الذاتية ذات أكبر مقدار مطلق. وباستخدام هذه الخاصية، يمكن إيجاد القيم الذاتية الدنيا بكفاءة وبترتيب تصاعدي من خلال تطبيق طريقة تكرارية تميل إلى التقارب أولًا نحو القيم الذاتية ذات المقادير المطلقة الكبيرة على المعادلة $\eqref{eq:2.3.8}$.

تُسمّى هذه الطريقة التكرار العكسي مع الإزاحة.

في التحليلات ذات شروط التقييد، يضع FrontISTR القيمة $\sigma = 0$، فتتحول المعادلة $\eqref{eq:2.3.8}$ إلى $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$، أي إلى تكرار عكسي من دون إزاحة. أما في التحليل الحر-الحر غير المقيد، فتكون $K$ منفردة لامتلاكها قيمًا ذاتية صفرية تقابل أنماط الجسم الصلب؛ لذا تُعطى $\sigma$ قيمة موجبة لجعل $K+\sigma M$ غير منفردة. تُحدَّد قيمة $\sigma$ بواسطة SIGMA في !EIGEN.

طريقة Lanczos¶

دواعي الاستخدام (مقارنة بطريقة Jacobi)¶

تُعد طريقة Jacobi من الطرق الكلاسيكية المعروفة.

تكون هذه الطريقة فعالة عندما تكون المصفوفة صغيرة وكثيفة. ولكن لأن المصفوفات التي يعالجها HEC-MW كبيرة ومتناثرة، لا تُعتمد طريقة Jacobi؛ بل تُستخدم طريقة Lanczos التكرارية.

الخوارزمية والخصائص¶

اقترح C. Lanczos هذه الطريقة في خمسينيات القرن العشرين، وهي خوارزمية لتحويل المصفوفة إلى صيغة ثلاثية الأقطار، ولها الخصائص الآتية.

هي طريقة تكرارية ويمكنها إجراء الحساب مع إبقاء المصفوفة متناثرة.
تتألف عملياتها أساسًا من ضرب المصفوفة في المتجه، مما يجعلها ملائمة للموازاة.
تلائم تقسيم المجال الهندسي المرتبط بشبكات العناصر المحدودة.
تتيح إجراء حسابات فعالة بتحديد عدد القيم الذاتية أو نطاق الأنماط المطلوب استخراجها.

تبدأ طريقة Lanczos من متجه ابتدائي، وتبني متجهات متعامدة تباعًا، وتحصل على أساس لفضاء Krylov جزئي.

في الحسابات محدودة الدقة، قد تؤدي أخطاء التقريب إلى فقدان تعامد المتجهات. وللحد من هذا الأثر، تعيد خوارزمية FrontISTR تعامد كل متجه بالنسبة إلى متجهات أساس Lanczos التي سبق الحصول عليها.

التفسير الهندسي (فضاء Krylov الجزئي)¶

بتطبيق تحويلي المتغيرات الآتيين على المعادلة $\eqref{eq:2.3.8}$،

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

يمكن إعادة كتابة المسألة على الصورة

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

فنحصل على المعادلة أعلاه.

بالنسبة إلى متجه اعتباطي غير صفري $q_0$،

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

يُسمّى الفضاء الذي تولّده هذه المتجهات

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

فضاء Krylov جزئيًا.

تُنشئ طريقة Lanczos أساس هذا الفضاء الجزئي Krylov على نحو متتابع.

يستخدم FrontISTR الجداء الداخلي الآتي المرتبط بمصفوفة الكتلة $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

لجعل الأساس متعامدًا ومطبّعًا. يُفسَّر الجداء الداخلي $\langle x,y\rangle$ والمعيار $\|x\|$ المبينان في الأشكال الآتية في حسابات FrontISTR، على الترتيب، على أنهما هذا الجداء الداخلي الموزون بـ$M$ والمعيار الموافق الموزون بـ$M$

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

على الترتيب.

طبّق التحويل الخطي المعرّف بالمصفوفة $A$ على متجه اعتباطي $q_0$، كما هو موضح في الشكل 2.3.2.

$التحويل الخطي للمتجه $q_0$ بالمصفوفة $A$$

الشكل 2.3.2 التحويل الخطي للمتجه $q_0$ بالمصفوفة $A$

يُعامَد المتجه المحوّل داخل الفضاء الذي يولّده مع المتجه الأصلي. وعلى وجه التحديد، تُجرى عملية تعامد Gram-Schmidt كما هو موضح في الشكل 2.3.3. لنسمِّ المتجه الناتج $r_1$؛ وبتطبيعه نحصل على $q_1$.

$المتجه $q_1$ المتعامد مع $q_0$$

الشكل 2.3.3 المتجه $q_1$ المتعامد مع $q_0$

وبالإجراء نفسه نحصل على $q_2$ انطلاقًا من $q_1$. وعندئذ يكون $q_2$ متعامدًا مع كل من $q_1$ و$q_0$، كما هو موضح في الشكل 2.3.4.

$المتجه $q_2$ المتعامد مع $q_1$ و$q_0$$

الشكل 2.3.4 المتجه $q_2$ المتعامد مع $q_1$ و$q_0$

بهذه الطريقة، تنشئ طريقة Lanczos تباعًا أساسًا متعامدًا ومطبّعًا لفضاء Krylov الجزئي. ومن الناحية النظرية، يتيح تناظر مسألة القيم الذاتية التعبير عن هذا التكرار بعلاقة رجوع ثلاثية الحدود تستخدم أحدث متجهات الأساس.

غير أن خوارزمية FrontISTR تعيد تعامد كل متجه بالنسبة إلى متجهات أساس Lanczos التي سبق الحصول عليها، باستخدام الجداء الداخلي الموزون بـ$M$، للحد من فقدان التعامد الناتج عن الحسابات محدودة الدقة.

التحويل إلى صيغة ثلاثية الأقطار¶

في تكرار Lanczos في FrontISTR، تُجعل متجهات الأساس متعامدة ومطبّعة بالنسبة إلى الجداء الداخلي الموزون بـ$M$ الموضح في القسم السابق، ولذلك

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

تتحقق العلاقة أعلاه.

وباستخدام المصفوفة $A$ من المعادلة $\eqref{eq:2.3.10}$، يُكتب تكرار Lanczos النظري على الصورة

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

الممثلة بعلاقة الرجوع ثلاثية الحدود أعلاه.

أولًا، تُعرَّف $\alpha_i$ كما يلي.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

ثم نعرّف المتبقي المؤقت كما يلي.

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

كما هو مبين أعلاه.

وللحد من فقدان التعامد الناتج عن الحسابات محدودة الدقة، تقوم خوارزمية FrontISTR بإعادة تعامد $\tilde{r}_{i+1}$ بالنسبة إلى متجهات أساس Lanczos التي سبق الحصول عليها، باستخدام الجداء الداخلي الموزون بـ$M$. إذا كان $r_{i+1}$ هو المتبقي بعد إعادة التعامد، فإن

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

تتحقق العلاقتان أعلاه.

نجمع متجهات الأساس الـ$m$ الناتجة من تكرار Lanczos في

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

وعندئذ، بعد عدد محدود من تكرارات Lanczos،

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

تتحقق العلاقة أعلاه.

هنا، $e_m$ هو متجه الوحدة ذي البعد $m$ الذي يساوي مركّبه رقم $m$ واحدًا وتساوي بقية مركّباته صفرًا، و

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

هي مصفوفة متناظرة ثلاثية الأقطار.

وبذلك يمكن تقريب القيم الذاتية لمسألة القيم الذاتية الأصلية كبيرة الحجم بحساب القيم الذاتية للمصفوفة ثلاثية الأقطار $T_m$.

موضوعات ذات صلة¶

تحليل الاستجابة الترددية — الاستجابة الترددية باستخدام نتائج التحليل النمطي
أنواع التحليل — نظرة عامة وظيفية على التحليل النمطي