Modal analiz¶

Ümumiləşdirilmiş məxsusi qiymət məsələsi¶

Kəsilməz mühitin sərbəst rəqsi təhlil edilərkən fəza diskretləşdirilməsi aparılır və sistem Şəkil 2.3.1-də göstərildiyi kimi cəmlənmiş kütlələrdən ibarət çox sərbəstlik dərəcəli sistem kimi modelləşdirilir. Sönümlənməsiz sərbəst rəqs məsələsi üçün idarəedici tənlik (hərəkət tənliyi) aşağıdakı kimidir.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Burada $u$ ümumiləşdirilmiş yerdəyişmə vektoru, $M$ kütlə matrisi, $K$ isə sərtlik matrisidir. $\omega$ məxsusi dairəvi tezlik, $a$ və $b$ eyni zamanda sıfır olmayan ixtiyari sabitlər, $x$ isə vektor olmaqla funksiyanı

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

təyin edək. Bu funksiyanın ikinci törəməsi

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Tənlik $\eqref{eq:2.3.2}$ və Tənlik $\eqref{eq:2.3.3}$-ü Tənlik $\eqref{eq:2.3.1}$-də yerinə qoyduqda,

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

aşağıdakı ifadə alınır.

Qeyri-trivial rəqs üçün $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ eyniliklə sıfır deyil; buna görə,

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

alınır. Beləliklə, $\lambda=\omega^2$ qəbul etdikdə,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

alınır.

$\lambda$ əmsalı məxsusi qiymət, $x$ vektoru isə məxsusi vektor adlanır; Tənlik $\eqref{eq:2.3.5}$ ilə ifadə olunan məsələ ümumiləşdirilmiş məxsusi qiymət məsələsi adlanır.

$\lambda=\omega^2$ məxsusi qiymətindən $\omega$ məxsusi dairəvi tezlik alınır, uyğun $x$ məxsusi vektoru isə rəqs modunu göstərir.

Sönümlənməsiz sərbəst rəqs üçün çox sərbəstlik dərəcəli sistem nümunəsi

Şəkil 2.3.1　Sönümlənməsiz sərbəst rəqs üçün çox sərbəstlik dərəcəli sistem nümunəsi

Matrislərin xassələri və fərziyyələr¶

Əvvəlki bölmədə alınmış $Kx=\lambda Mx$ ümumiləşdirilmiş məxsusi qiymət məsələsi üçün bu təlimatda müvafiq matrislərin simmetrik olduğu fərz edilir. Kompleks matrislər üçün bu, Ermit matrisinə, həqiqi matrislər üçün isə simmetrik matrisə uyğundur.

$K$ matrisinin $ij$ elementi $k_{ij}$ olarsa, Ermit xassəsi

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

şəklində ifadə olunur. Burada $\bar{k}_{ji}$, $k_{ji}$-nin kompleks qoşmasıdır. Həqiqi matrislər üçün bu münasibət $k_{ij}=k_{ji}$ olur.

Bundan əlavə, həqiqi simmetrik $H$ matrisi sıfırdan fərqli istənilən $x$ vektoru üçün

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

bərabərsizliyi ödənirsə, müsbət müəyyən adlanır. Bu halda $H$-ın bütün məxsusi qiymətləri müsbətdir.

Konstruksiyaların məxsusi qiymət məsələsində $M$ kütlə matrisi adətən müsbət müəyyən qəbul edilir. Digər tərəfdən, $K$ sərtlik matrisi məhdudiyyətlərdən asılı olaraq müsbət yarımmüəyyən ola və sərt cisim modlarına uyğun sıfır məxsusi qiymətlərə malik ola bilər.

Sürüşdürməli tərs iterasiya üsulu¶

Sonlu elementlər üsulu ilə konstruksiya analizində praktik olaraq bütün məxsusi qiymətlər tələb olunmur; çox vaxt bir neçə aşağı tərtibli məxsusi qiymət kifayət edir. HEC-MW böyükmiqyaslı məsələlər üçün nəzərdə tutulub və bu məsələlərdə matrislər böyük və çox seyrəkdir, yəni çoxlu sıfır elementə malikdir. Buna görə, bu xüsusiyyətləri nəzərə alaraq aşağı tərtibli modların məxsusi qiymətlərini səmərəli hesablamaq vacibdir.

Sürüşdürmə $\sigma$ olduqda, $-\sigma$ məxsusi qiymət deyilsə və $K+\sigma M$ qeyri-singulardırsa, Tənlik $\eqref{eq:2.3.5}$ aşağıdakı kimi çevrilə bilər.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Bu çevrilmə $x$ məxsusi vektorunu dəyişməz saxlayır və $\lambda$ məxsusi qiymətini $1/(\lambda+\sigma)$-ya xəritələyir.

Beləliklə, $\lambda$ $-\sigma$-ya nə qədər yaxın olarsa, çevrilmiş məxsusi qiymətin mütləq qiyməti bir o qədər böyük olar. Konstruksiyaların məxsusi qiymət məsələsində $\lambda \geq 0$ və $\sigma \geq 0$ olduğuna görə, ən aşağı məxsusi qiymət mütləq qiyməti ən böyük olan məxsusi qiymətə çevrilir. Bu xassədən istifadə edərək, mütləq qiyməti böyük olan məxsusi qiymətlərə əvvəl yaxınlaşan iterasiya üsulunu Tənlik $\eqref{eq:2.3.8}$-ə tətbiq etməklə aşağı tərtibli məxsusi qiymətləri artan sıra ilə səmərəli hesablamaq mümkündür.

Bu üsul sürüşdürməli tərs iterasiya adlanır.

Məhdudiyyətli analizlərdə FrontISTR $\sigma = 0$ qəbul edir və Tənlik $\eqref{eq:2.3.8}$ $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, yəni sürüşdürməsiz tərs iterasiya şəklini alır. Məhdudiyyətsiz free-free analizdə $K$ sərt cisim modlarına uyğun sıfır məxsusi qiymətlərə malik olduğu üçün singulardır; $\sigma$-ya müsbət qiymət verməklə $K+\sigma M$ qeyri-singular hala gətirilir. $\sigma$-nın qiyməti !EIGEN daxilində SIGMA ilə təyin edilir.

Lanczos üsulu¶

Seçilmə səbəbi (Jacobi üsulu ilə müqayisə)¶

Jacobi üsulu tanınmış klassik üsuldur.

Bu üsul matris kiçik və sıx olduqda səmərəlidir. Lakin HEC-MW-də istifadə olunan matrislər böyük və seyrək olduğundan Jacobi üsulu tətbiq edilmir; onun əvəzinə Lanczos iterasiya üsulu istifadə olunur.

Alqoritm və xüsusiyyətlər¶

C. Lanczos tərəfindən 1950-ci illərdə təklif edilmiş bu üsul matrisi üçdiaqonal şəklə gətirən alqoritmdir və aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir.

Bu, iterasiya üsuludur və hesablama matrisi seyrək saxlayaraq aparıla bilər.
Əməliyyatlar əsasən matris-vektor hasilindən ibarətdir və buna görə paralelləşdirmə üçün əlverişlidir.
Sonlu element torları ilə əlaqəli həndəsi oblast dekompozisiyası üçün əlverişlidir.
Hesablanacaq məxsusi qiymətlərin sayını və ya mod diapazonunu məhdudlaşdırmaqla səmərəli hesablama aparmaq mümkündür.

Lanczos üsulu ilkin vektordan başlayır, ardıcıl ortoqonal vektorlar qurur və Krylov altfəzası üçün bazis əldə edir.

Sonlu dəqiqlikli hesablamalarda yuvarlaqlaşdırma xətaları vektorların ortoqonallığının itməsinə səbəb ola bilər. Bu təsiri azaltmaq üçün FrontISTR tətbiqi hər vektoru əvvəl alınmış Lanczos bazisinə görə yenidən ortoqonallaşdırır.

Həndəsi məna (Krylov altfəzası)¶

Tənlik $\eqref{eq:2.3.8}$-ə aşağıdakı dəyişən çevrilmələrini tətbiq etməklə,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

məsələ aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

yuxarıdakı tənlik alınır.

Sıfırdan fərqli ixtiyari $q_0$ vektoru üçün,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

bu vektorların gərdiyi fəza

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

Krylov altfəzası adlanır.

Lanczos üsulu bu Krylov altfəzasının bazisini ardıcıl qurur.

FrontISTR $M$ kütlə matrisi ilə əlaqəli aşağıdakı daxili hasildən

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

bazisi ortonormallaşdırmaq üçün istifadə edir. Aşağıdakı şəkillərdə göstərilən $\langle x,y\rangle$ daxili hasili və $\|x\|$ norması FrontISTR hesablamalarında müvafiq olaraq bu $M$-daxili hasili və ona uyğun $M$-norması

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

kimi şərh olunur.

Şəkil 2.3.2-də göstərildiyi kimi, ixtiyari $q_0$ vektoruna $A$ matrisi ilə təyin olunan xətti çevrilməni tətbiq edin.

$$A$ matrisi ilə $q_0$-ın xətti çevrilməsi$

Şəkil 2.3.2　$A$ matrisi ilə $q_0$-ın xətti çevrilməsi

Çevrilmiş vektor özü ilə ilkin vektorun gərdiyi fəzada ortoqonallaşdırılır. Konkret olaraq, Şəkil 2.3.3-də göstərildiyi kimi Gram-Schmidt ortoqonallaşdırması aparılır. Alınmış vektoru $r_1$ adlandırıb normallaşdırdıqda $q_1$ alınır.

$$q_0$-a ortoqonal olan $q_1$ vektoru$

Şəkil 2.3.3　$q_0$-a ortoqonal olan $q_1$ vektoru

Eyni prosedurla $q_1$-dən $q_2$ alınır. Bu halda $q_2$ həm $q_1$-ə, həm də $q_0$-a ortoqonaldır (Şəkil 2.3.4).

$$q_1$-ə və $q_0$-a ortoqonal olan $q_2$ vektoru$

Şəkil 2.3.4　$q_1$-ə və $q_0$-a ortoqonal olan $q_2$ vektoru

Beləliklə, Lanczos üsulu Krylov altfəzasının ortonormal bazisini ardıcıl qurur. Nəzəri olaraq, məxsusi qiymət məsələsinin simmetriyasından istifadə etməklə bu iterasiya son bazis vektorlarından istifadə edən üçhədli rekurrent münasibət kimi ifadə edilə bilər.

Lakin FrontISTR tətbiqi sonlu dəqiqlikli hesablamalarda ortoqonallıq itkisinin qarşısını almaq üçün hər vektoru əvvəl alınmış Lanczos bazisinə görə $M$-daxili hasilindən istifadə etməklə yenidən ortoqonallaşdırır.

Üçdiaqonallaşdırma¶

FrontISTR-in Lanczos iterasiyasında bazis vektorları əvvəlki bölmədə təsvir edilən $M$-daxili hasilinə görə ortonormallaşdırıldığı üçün,

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

bu münasibət ödənir.

Tənlik $\eqref{eq:2.3.10}$-dakı $A$ matrisindən istifadə etdikdə nəzəri Lanczos iterasiyası

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

yuxarıdakı kimi ifadə olunur.

Əvvəlcə $\alpha_i$ aşağıdakı kimi təyin edilir:

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

və ilkin qalıq aşağıdakı kimi götürülür:

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

beləliklə ilkin qalıq müəyyən edilir.

Sonlu dəqiqlikli hesablamalarda ortoqonallıq itkisinin qarşısını almaq üçün FrontISTR tətbiqi $\tilde{r}_{i+1}$-i əvvəl alınmış Lanczos bazisinə görə $M$-daxili hasilindən istifadə etməklə yenidən ortoqonallaşdırır. Yenidən ortoqonallaşdırmadan sonrakı qalıq $r_{i+1}$ olarsa,

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

aşağıdakı münasibətlər ödənir.

Lanczos iterasiyası ilə alınmış $m$ bazis vektorunu aşağıdakı kimi birləşdirək:

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Sonlu sayda Lanczos iterasiyasından sonra,

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

aşağıdakı münasibət ödənir.

Burada $e_m$, $m$-ci komponenti 1, digər komponentləri isə sıfır olan $m$-ölçülü vahid vektordur və

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

simmetrik üçdiaqonal matrisdir.

Beləliklə, ilkin böyükmiqyaslı məxsusi qiymət məsələsinin məxsusi qiymətləri $T_m$ üçdiaqonal matrisinin məxsusi qiymətlərini hesablamaqla yaxınlaşdırıla bilər.

Əlaqəli mövzular¶

Tezlik cavabı analizi — modal analiz nəticələrindən istifadə edən tezlik cavabı
Analiz tipləri — modal analizin funksional icmalı