Към съдържанието

Линейна еластичност

Тази глава разглежда конститутивния закон (закона на Хук) за линейноеластични материали. За подробности относно избора на модел и входните спецификации вижте раздела за функции 03_material.

Явление (линейноеластичен отговор)

Линейноеластично тяло е материал, който в област, където деформацията под натоварване е достатъчно малка, има линейна зависимост между напрежение и деформация и обратим, независим от историята отговор, при който след разтоварване цялата деформация се връща в първоначалното състояние. За разлика от пластичността или пълзенето, той няма вътрешни променливи на състоянието (като пластична или вискозна деформация), а напрежението се определя еднозначно само от текущата деформация.

В областта на малките деформации се използват напрежението на Коши \(\boldsymbol{\sigma}\) и безкрайно малката деформация \(\boldsymbol{\varepsilon}\); в областта на крайните деформации (задачи с големи завъртания, но малка собствена деформация) се използват второто напрежение на Пиола-Кирхоф \(\boldsymbol{S}\) и деформацията на Грийн-Лагранж \(\boldsymbol{E}\) (материал Сен-Венан-Кирхоф).

Конститутивен закон

Изотропен линейноеластичен материал

В областта на малките деформации изотропният закон на Хук се изразява чрез константите на Ламе \(\lambda, \mu\) като

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

В компонентен вид,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

а двойната контракция с деформацията дава \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Константите на Ламе са свързани с модула на Юнг \(E\) и коефициента на Поасон \(\nu\) по следния начин:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

В нотация на Фойгт връзката между вектора на деформациите \(\hat{\varepsilon}\) и вектора на напреженията \(\hat{\sigma}\) се записва като \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), а тримерната материална матрица \(D\) е

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Това матрично представяне се използва в реализацията.

Ортотропен линейноеластичен материал

За материали, чиито еластични константи се различават по направленията на главните оси, се използва ортотропен модел с девет независими константи: модулите на Юнг по направленията на главните оси \(E_1, E_2, E_3\), коефициентите на Поасон между главните оси \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) и модулите на срязване \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). За явния вид на матрицата \(D\) вижте стандартната литература.

Област на крайните деформации: материал Сен-Венан-Кирхоф

За задачи с големи завъртания, но малка собствена деформация, материалът Сен-Венан-Кирхоф се използва като линейноеластичен закон, свързващ второто напрежение на Пиола-Кирхоф \(\boldsymbol{S}\) и деформацията на Грийн-Лагранж \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Определенията на константите на Ламе \(\lambda, \mu\) са същите като при малки деформации. Тъй като обаче определенията на двойката напрежение-деформация са различни, това е различен конститутивен закон от закона на Хук за малки деформации.

Хипоеластичен материал

При формулировката на актуализирания Лагранжиан се използва хипоеластичен материал, който приема линейноеластичен закон между производната на Яуман на относителния тензор на напреженията на Кирхоф \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) и тензора на скоростта на деформация \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

И тук определението на \(\boldsymbol{C}\) чрез константите на Ламе е същото като по-горе, но поради различната двойка напрежение-деформация това е различен конститутивен закон. За подробности как \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) се актуализира чрез процедурата за интегриране по времето (интегриране напред по Ойлер и апроксимация с централни разлики), вижте tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Редукция за двумерен анализ и черупкови елементи

Равнинно напрегнато състояние (\(\sigma_{33} = 0\))

За равнинно напрегнато състояние, представящо натоварването на тънки плочи и обвивки, се приема \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\), а извънравнинната компонента на деформацията \(\varepsilon_{33}\) се елиминира алгебрично, за да се получи редуцираната материална матрица \(D\):

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Равнинно деформирано състояние (\(\varepsilon_{33} = 0\))

За равнинно деформирано състояние, представящо напречното сечение на дълга конструкция, ограничена по посока на дебелината, се приема \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Осесиметричен случай

В цилиндрични координати \((r, \theta, z)\) осесиметричният анализ разглежда задачи, еднородни по посока \(\theta\), и запазва четирите компонента \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) и \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), откъдето се получава

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

Получаваме.

Черупкови елементи (равнинно напрегнато състояние + напречно срязване)

При черупковите елементи напреженията в равнината се третират като равнинно напрегнато състояние, а към компонентите на напречната срязваща деформация \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) се прилага коефициентът на корекция при срязване \(\kappa\) (обикновено \(\kappa = 5/6\)) и се използва \(\kappa\, G\). За подробната формулировка на всеки елемент вижте Разширени формулировки на елементи. Указанието в раздела за функции 03_material, че „черупковите елементи поддържат само линейна еластичност“, се основава на това опростяване, при което състоянието в равнината се третира като равнинно напрегнато.

Температурна зависимост

Модулът на Юнг \(E\), коефициентът на Поасон \(\nu\) и коефициентът на линейно топлинно разширение \(\alpha\) обикновено се задават като функции на температурата \(T\). В FrontISTR се въвеждат стойности за краен ред от температурни точки \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), а стойността при температура \(T\) по време на изчислението се определя чрез линейна интерполация между съседните точки. За температури извън диапазона (\(T < T_1\) или \(T > T_n\)) за екстраполация се използва стойността в най-близкия краен пункт, \(T_1\) или \(T_n\) (постоянна екстраполация).

За температурната зависимост на топлинните свойства (плътност, специфична топлина и топлопроводност) вижте Топлинни свойства. Правилата за интерполация са общи за тези свойства.

Свързани теми