Към съдържанието

Виртуална работа на външните сили и асемблиране на глобалните уравнения

В Дискретизация на виртуалната работа на вътрешните сили лявата страна на слабата форма беше сведена до елементния вектор на вътрешните сили \(\boldsymbol{q}^e\) (метод UL) или \(\boldsymbol{Q}^e\) (метод TL). В тази глава от виртуалната работа на външните сили се въвежда елементният възлов вектор на външните сили \(\boldsymbol{F}^e\), след което чрез операцията асемблиране, която пренарежда и сумира елементните възлови величини по глобален номер на възел, се достига до нелинейната система уравнения по отношение на възловите премествания, която се решава при нелинеен структурен анализ с FrontISTR.

Разлагане по елементи на виртуалната работа на външните сили

Дясната страна на Принципа на виртуалната работа може да се разложи по елементи като виртуална работа на външните сили, съставена от обемни сили (масови сили) и зададени повърхностни сили по механичната граница. За да се запише в матрична форма интерполацията на преместването, въведена в Функции на формата и апроксимация по метода на крайните елементи, за възел \(\alpha\) функцията на формата \(N_\alpha^e\) се поставя по диагонала на блок с размер \(d \times d\) \(\boldsymbol{N}_\alpha\), а матрицата \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) се получава чрез хоризонталното им подреждане, така че \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). След заместване във виртуалната работа на външните сили, записана спрямо референтната конфигурация, се получава

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

където елементният възлов вектор на външните сили е подреден като \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). По този начин виртуалната работа на външните сили се свежда до същия вид „елементен възлов вектор × тестова функция“ като страната на вътрешните сили (ако се запише спрямо текущата конфигурация, се получава същият вид чрез замените \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) и \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Асемблиране на елементните възлови физични величини

Получените за всеки елемент възлови физични величини \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) се сумират в глобални вектори, подредени по глобален номер на възел. Нека глобалният номер на възела, който в елемента \(\Omega^e\) съответства на локалния номер на възел \(\alpha\), е

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Тогава елементната възлова величина съвпада със съответната компонента на глобалната възлова величина (например \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Тъй като един възел \(i_g\) обикновено се споделя от няколко елемента, за глобалния номер на възела \(i_g\) дефинираме множеството от двойки \((e, \alpha)\) като

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Ако с това множество сумата се пренапише като \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), се получават възловата вътрешна сила и глобалният вектор на вътрешните сили за всички \(n_g\) възела:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Тук \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) съответства на резултантата от елементните възлови вътрешни сили, действащи във възел \(i_g\), и е \(\boldsymbol{0}\), когато няма действаща външна сила и е изпълнено равновесие. При метода UL по същата процедура се получават \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); тъй като числените им стойности удовлетворяват \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), по-нататък се използва означението \(\boldsymbol{Q}\), освен когато е необходимо разграничение. Глобалният вектор на външните сили \(\boldsymbol{F}\) се получава чрез същото сумиране.

В реализацията множеството \(\mathcal{E}(i_g)\) не се конструира явно; вместо това приносите се добавят към съответните компоненти вътре в цикъла по елементи.

Инициализиране на глобалния вектор на вътрешните сили Q с 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (брой елементи)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Глобалният вектор на външните сили \(\boldsymbol{F}\) се конструира по същата процедура. Тази операция на добавяне и записване на елементни възлови физични величини във вектори и матрици, индексирани по глобалния номер на възела, се нарича асемблиране (assemble). За тензори, свързани с 2 номера на възли и от ред 2 (например матрици на коравина), аналогично асемблиране се получава с множеството \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (за конкретната конструкция вижте Тангенциална матрица на коравина).

Нелинейни уравнения за решаване

Като заместим асемблираните вътрешни и външни сили в Принципа на виртуалната работа и използваме факта, че той е валиден за произволна тестова функция \(\delta\boldsymbol{u}^n\), удовлетворяваща геометричните гранични условия, получаваме

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

В контекста на инкременталния анализ (Рамка на инкременталния анализ) възстановяваме времевия индекс \(_{n+1}\) и пропускаме горния индекс \(^n\), означаващ глобалния възлов вектор. Тогава уравнението за решаване е

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Следователно дискретизираната гранична задача за намиране в момента \(t_{n+1}\) на възловото преместване \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) се свежда до решаване на това нелинейно уравнение по отношение на преместването съвместно с геометричните гранични условия. Линеаризацията на уравнението и конструирането на тангенциалната матрица на коравина са описани в Тангенциална матрица на коравина, а итерационният метод за решаване — в Метод на Нютон-Рафсън.

Свързани теми