Към съдържанието

Translation update pending

The Bulgarian translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Разширени формулировки на елементи

Стандартната формулировка, базирана на премествания, представена в Формулировка на триизмерни обемни елементи, проявява изкуствено завишена коравина, известна като блокиране (обемно или срязващо блокиране), когато се прилага към почти несвиваеми материали или тънкостенни конструкции с преобладаващо огъване. За избягването му FrontISTR разполага с методите B-bar и F-bar, които заменят само обемната част на матрицата B или на градиента на деформацията; несъвместими елементи с вътрешни степени на свобода; смесени u-p (U-P) елементи, при които налягането е независимо неизвестно поле; както и MITC черупкови и гредови елементи, специализирани за плочи и греди.

В тази глава формулировките на тези разширени и конструктивни елементи са систематизирани по вид елемент.

Метод B-bar

При използване на 8-възлов линеен хексаедричен елемент за почти несвиваем материал полето на деформациите в един елемент може да противоречи на условието за постоянен обем, което води до прекомерна коравина, известна като обемно блокиране. Методът B-bar намалява това свръхограничаване, като заменя компонентите на матрицата B, допринасящи за обемното разширение, със стойностите им, изчислени в центъра на елемента [Hughes1980].

Нека в центъра на елемента \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) матрицата B, изчислена от пространствените производни на функциите на формата, бъде \(\bar{\boldsymbol{B}}\), а в интеграционна точка \(\boldsymbol{r}\) обичайната матрица B бъде \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). В зависимостта преместване–деформация за възел \(\alpha\) и степен на свобода \(i\) към компонентите на обемната деформация \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) се добавя

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

а за срязващите компоненти \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) се използва обичайната \(\boldsymbol{B}\). Елементната матрица на коравината и векторът на вътрешните сили се асемблират с получената B-bar матрица.

FrontISTR предоставя тази формулировка специално за 8-възловия линеен хексаедричен елемент (елемент ID 361; система за номериране на елементите) и тя може да се прилага при малки деформации, както и във формулировката на пълния Лагранжиан и във формулировката на актуализирания Лагранжиан.

Метод F-bar

При крайни деформации изменението на обема влияе нелинейно чрез градиента на деформацията \(\boldsymbol{F}\). Методът F-bar [deSouzaNeto1996] прилага на нивото на градиента на деформацията мярка срещу обемното блокиране, аналогична на метода B-bar.

Нека обемното отношение на градиента на деформацията, изчислено в центъра на елемента \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), бъде \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), а обемното отношение в интеграционна точка бъде \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Градиентът на деформацията в интеграционната точка се заменя с

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Така се получава \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), тоест обемното отношение в целия елемент се уеднаквява със стойността в центъра на елемента. За оценяване на напреженията и построяване на матрицата деформация–преместване се използва замененият \(\bar{\boldsymbol{F}}\), а тангенциалната коравина на елемента включва допълнителните членове, произтичащи от тази замяна.

В FrontISTR методът F-bar е реализиран специално за 8-възловия линеен хексаедричен елемент и може да се прилага при малки деформации, както и при нелинейна геометрия по формулировката на пълния Лагранжиан или по формулировката на актуализирания Лагранжиан.

Несъвместими елементи

8-възловият линеен хексаедричен елемент няма необходимите деформационни моди за огъване и при задачи с преобладаващо огъване проявява огъващо блокиране. Несъвместимите елементи [Taylor1976] въвеждат допълнителни моди на преместване вътре в елемента, за да компенсират този недостатък.

Освен възловите премествания на елемента \(\boldsymbol{u}^e\) се въвеждат степени на свобода на несъвместимите моди \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), съществуващи само вътре в елемента — 3 направления × 3 моди на елемент — и полето на преместванията се апроксимира като

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

За естествени координати \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) несъвместимите функции на формата се задават като \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) и \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Те не гарантират непрекъснатост по границите между елементите, но добавят вътрешно пространство, способно да възпроизвежда деформациите, свързани с огъващите моди.

Елементната коравина първо се асемблира в блокова форма за външните и вътрешните степени на свобода

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

След асемблирането в тази форма вътрешните степени на свобода се елиминират чрез статична кондензация, като \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), и се получава елементна коравина само за външните степени на свобода

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

която се предава към глобалното асемблиране.

В FrontISTR несъвместимият елемент е реализиран специално за 8-възловия линеен хексаедричен елемент (C3D8IC) и може да се прилага както при малки деформации, така и във формулировката на пълния Лагранжиан и във формулировката на актуализирания Лагранжиан.

Смесени U-P елементи

Докато методите B-bar и F-bar коригират обемния компонент в рамките на формулировка, базирана на премествания, смесеният u-p (U-P) елемент използва смесена формулировка [Bathe1996], която въвежда налягането \(\lambda\) като неизвестно поле, независимо от преместването. При почти несвиваеми материали, например гумоподобни материали с коефициент на Поасон много близък до 0.5 или метали след пластична деформация, налагането на условието за постоянен обем само чрез полето на преместванията води до обемно блокиране; разглеждането на налягането като независима променлива отслабва това ограничение.

Напрежението се разделя на девиаторен компонент и налягане:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Тук \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) е девиаторната еластична матрица, получена чрез отстраняване от еластичната матрица на обемната част, пропорционална на обемния модул \(K\). Налягането \(\lambda\) и обемната деформация \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) са свързани чрез условието с компресибилност \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Дискретизацията с преместване \(\boldsymbol{u}\) и налягане \(\lambda\) като неизвестни води до свързаната елементна система

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

където \(\mathbf{K}_{uu}\) съдържа девиаторния еластичен принос и, при крайни деформации, геометричната коравина; \(\mathbf{K}_{up}\) свързва обемната деформация и налягането; а \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) е стабилизиращият член за налягането (\(\boldsymbol{N}_p\) е функцията на формата на налягането). Тъй като степените на свобода на налягането са вътрешни за елемента,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

се извършва статична кондензация в тази форма и към глобалното асемблиране се предава ефективната коравина само за външните (преместващи) степени на свобода.

В FrontISTR U-P елементът е реализиран специално за 8-възловия линеен хексаедричен елемент, с една степен на свобода за налягането на елемент (постоянна в елемента). Той може да се прилага както при малки деформации, така и във формулировката на пълния Лагранжиан и във формулировката на актуализирания Лагранжиан. При формулировката на актуализирания Лагранжиан девиаторното напрежение се актуализира чрез обективна скорост на напрежението (тип Яуман/Хюз-Уингет), след което налягането \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) се налага от стойността, получена чрез статична кондензация.

Черупкови елементи

За тънкостенни плочести и черупкови конструкции се използват черупкови елементи, базирани на теорията на Райснер-Миндлин. При намаляване на дебелината нискоразредните плочести/черупкови елементи, базирани на премествания, надценяват напречната срязваща деформация чрез механизъм, аналогичен на обемното блокиране (срязващо блокиране), което води до прекомерно увеличаване на коравината при огъващи моди. Методът MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] избягва този проблем, като преизчислява само компонентите на срязващата деформация в предварително зададени свързващи точки в елемента и интерполира получените стойности обратно в елемента.

Възлите на MITC черупковия елемент лежат върху срединната повърхнина и всеки възел има шест степени на свобода: три транслационни компонента и три ротационни компонента спрямо координатната система на нормалата към срединната повърхнина. Елементната коравина се оценява чрез тримерно гаусово интегриране по естествените координати на срединната повърхнина и по дебелината, а дебелината \(h\) се задава като свойство на елемента при изчисляване на конститутивната зависимост.

FrontISTR предоставя MITC3 (елемент ID 731), MITC4 (741) и MITC9 (743), представени с един слой на срединната повърхнина, както и слоести черупкови елементи MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 възела, 3 степени на свобода на възел) и MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 възела, 3 степени на свобода на възел), чиито възли са разположени в два слоя по дебелината. При слоестите черупкови елементи възловите степени на свобода са само трите транслационни компонента, а огъващите моди, съответстващи на ротационните степени на свобода, се представят чрез двуслойното разположение.

Гредови елементи

Прътоподобни конструктивни части като греди и рамкови конструкции се дискретизират с гредови елементи. Гредовите елементи представят осовото удължаване, огъването и усукването само чрез транслациите и ротациите на възлите по оста на гредата, а деформацията вътре в напречното сечение се представя чрез константи на сечението.

Всеки възел на гредата има шест степени на свобода: три транслационни и три ротационни компонента. Елементната коравина се получава чрез формиране на матрици на коравина в затворена форма за осово удължаване, огъване в две направления и усукване в локална координатна система, определена от оста на елемента и референтната ос, зададена в данните за сечението, след което матриците се преобразуват към глобалната координатна система. Площта на напречното сечение \(A\), вторите моменти на площта \(I_y\) и \(I_z\) около локалните оси \(y\) и \(z\) и торзионната константа се задават като данни за сечението; заедно с модула на Юнг \(E\) на материала и модула на срязване \(G\), получен от модула на Юнг и коефициента на Поасон, те определят съответните коефициенти на коравина.

За огъване са налични две формулировки: гредата на Бернули-Ойлер, която приема, че напречното сечение остава перпендикулярно на оста на гредата след деформация и пренебрегва срязващата деформация, и гредата на Тимошенко, която отчита срязващата деформация. И двете могат да се изберат за 2-възловия гредов елемент 611, като по подразбиране се използва греда на Бернули-Ойлер. За гредата на Тимошенко, при дължина на елемента \(L\), коефициентите, които изразяват приноса на срязващата деформация,

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

се включват в коефициентите на коравина за съответните равнини на огъване. Например коефициентът на коравина за провисване в локалното направление \(y\) е \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\). Тук \(A_s\) е площта на срязване. Тъй като данните за сечението на FrontISTR не съдържат отделно \(A_s\), се използва \(A_s = A\). Това е еквивалентно на коефициент за корекция на срязването, равен на 1. При \(\Phi_y = \Phi_z = 0\) се получава коравината на гредата на Бернули-Ойлер.

Елемент 641 е елемент със смесени степени на свобода, който представя греда чрез два възела с транслационни степени на свобода и два възела с ротационни степени на свобода, и е формулиран като греда на Бернули-Ойлер.

Свързани теми