Списък на означенията на физичните величини
Тази страница изброява означенията на физичните величини, използвани в теоретичното ръководство на FrontISTR. За правилата за означенията (удебелен шрифт за вектори и тензори, конвенцията за сумиране на Айнщайн и нотацията на Фойгт) вижте Тензорна нотация и математически основи.
Конфигурации и координатни системи
| Символ | Описание |
| \(\boldsymbol{X}\) | Радиус-вектор на материална точка в референтната (началната) конфигурация (материални координати) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Радиус-вектор на материална точка в текущата конфигурация (пространствени координати) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Изображение на движението: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Област, заета от тялото в референтната конфигурация |
| \(\Omega\) | Област, заета от тялото в текущата конфигурация |
| \(\Gamma_0\) | Граница на \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Граница на \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Геометрична (по преместване) граница: граница в текущата/референтната конфигурация, на която е зададено \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Механична граница: граница в текущата/референтната конфигурация, на която е зададено \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (или \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) |
| \(\boldsymbol{n}\) | Външен единичен нормален вектор към повърхнина в текущата конфигурация |
| \(\boldsymbol{N}\) | Външен единичен нормален вектор към повърхнина в референтната конфигурация |
| \(t\) | Време |
Конвенция: Физичните величини в референтната конфигурация се означават с главни букви или с долен индекс \(0\), а величините в текущата конфигурация — с малки букви.
Време и инкременти (инкрементален анализ)
| Символ | Описание |
| \(\Delta t\) | Времеви инкремент: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Физична величина в момент \(t\) (ляв горен индекс). Пример: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) е напрежението на Коши в момент \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Област на текущата конфигурация в момент \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Граница на текущата конфигурация в момент \(t\) |
Конвенция: При инкрементален анализ състоянието до момент \(t\) се приема за известно, а състоянието в момент \(t + \Delta t\) се решава като неизвестно. Левият горен индекс се пропуска, когато моментът не е необходимо да се указва явно. Формулировка, която използва референтната конфигурация \(\Omega_0\) като отправна, се нарича формулировка на пълния Лагранжиан, а формулировка, която използва текущата конфигурация \(^{t}\Omega\) в началото на инкремента като отправна, се нарича формулировка на актуализирания Лагранжиан.
Преместване, скорост, ускорение и обемна сила
| Символ | Описание |
| \(\boldsymbol{u}\) | Вектор на преместването: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Преместване, зададено по геометричната граница \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Виртуално преместване (тестова функция): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) върху \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Вектор на скоростта: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Вектор на ускорението: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Обемна сила (на единица маса) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Вектор на повърхностното усилие (на единица площ): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Повърхностно усилие, зададено по механичната граница \(\Gamma_t\) (данни на Нойман) |
Диференциални оператори
| Символ | Описание |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Материална производна по времето (производна по времето, следваща една и съща материална точка): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Градиент в референтната конфигурация (градиент по материалните координати \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Градиент в текущата конфигурация (градиент по пространствените координати \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Симетричен градиентен оператор: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Забележка: \(\nabla_X\) и \(\nabla_x\) са свързани чрез \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Градиент без долен индекс, \(\nabla\), се използва, когато конфигурацията е ясна от контекста или когато разграничението изчезва, както при задачи с малки деформации.
Тензори на деформацията
| Символ | Описание |
| \(\boldsymbol{F}\) | Тензор на градиента на деформацията: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Отношение на обемите: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Десен тензор на деформацията на Коши-Грийн: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Ляв тензор на деформацията на Коши-Грийн: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Тензор на градиента на скоростта: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Тензор на скоростта на деформация (симетричната част на \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Тензор на спина (кососиметричната част на \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Тензори на деформацията
| Символ | Описание |
| \(\boldsymbol{E}\) | Тензор на деформациите на Грийн-Лагранж (референтна конфигурация): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Тензор на деформациите на Алманзи (текуща конфигурация): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Линейна част на тензора на деформациите на Алманзи (симетричен градиент на преместването в текущата конфигурация): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Тензор на безкрайно малките деформации (линейна апроксимация): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Забележка: \(\boldsymbol{E}\) се използва главно във формулировката на пълния Лагранжиан, а \(\boldsymbol{D}\) — главно във формулировката на актуализирания Лагранжиан.
Тензори на напреженията
| Символ | Описание |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Тензор на напреженията на Коши (истинско напрежение, текуща конфигурация): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Първи тензор на напреженията на Пиола-Кирхоф (номинално напрежение): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Втори тензор на напреженията на Пиола-Кирхоф (референтна конфигурация, симетричен): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Преобразувателни зависимости между тензорите на напреженията:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Конвенция: Формулировката на пълния Лагранжиан използва двойката \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), а формулировката на актуализирания Лагранжиан — двойката \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Плътност и маса
| Символ | Описание |
| \(\rho\) | Масова плътност в текущата конфигурация |
| \(\rho_0\) | Масова плътност в референтната конфигурация |
Закон за запазване на масата: \(\rho_0 = J\rho\).
Материални константи (линейна еластичност)
| Символ | Описание |
| \(E\) | Модул на Юнг |
| \(\nu\) | Коефициент на Поасон |
| \(\lambda\) | Първа константа на Ламе: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Втора константа на Ламе (модул на срязване): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Тензор на еластичност (четвърти ред): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), компоненти \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (или \(\hat{\tilde{C}}\)) | Материална матрица (нотация на Фойгт, \(6\times6\) в 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Компоненти на тензора на еластичност за изотропен линейно еластичен материал:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Хипереластични материали
| Символ | Описание |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Функция на еластичния потенциал (плътност на енергията на деформация) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Главни инварианти на десния тензор на Коши-Грийн \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Редуцирани инварианти на \(\boldsymbol{C}\) (отделена обемна промяна) |
| \(C_1, C_2\) | Материални константи на модела на Муни-Ривлин |
| \(D\) | Материална константа, свързана с обемната еластичност |
Еластопластични материали
| Символ | Описание |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Еластична компонента на тензора на скоростта на деформация |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Пластична компонента на тензора на скоростта на деформация |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Функция на провлачване |
| \(\kappa\) | Вътрешна променлива, представяща пластичното състояние (променлива на изотропното уякчаване) |
| \(\lambda^p\) | Пластичен множител (множител на скоростта на пластичната деформация): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Пластичен потенциал (\(\Theta = F\) за асоцииран закон на течение) |
| \(\bar{\sigma}\) | Еквивалентно напрежение (напр. напрежение на Мизес) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Еквивалентна пластична деформация |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Функция на изотропното уякчаване |
Условие за допълняемост: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Метод на крайните елементи
| Символ | Описание |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Области в текущата и референтната конфигурация, апроксимирани чрез дискретизация по метода на крайните елементи: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Област на елемента в текущата и референтната конфигурация |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Част от границата на елемента, принадлежаща към механичната граница |
| \(\boldsymbol{r}\) | Естествени координати (локални за елемента координати) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Точка в естествени координати, съответстваща на възел \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Функция на формата, съответстваща на възел \(\alpha\) на елемент \(e\) |
| \(n_e\) | Брой възли, съставящи един елемент |
| \(n_g\) | Общ брой глобални възли |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Координати и преместване на елементен възел \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Елементни възлови вектори на координатите и преместванията: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) и т.н. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Глобални възлови вектори на координатите и преместванията (подредени по номер на възел, след това по степен на свобода) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Матрица на зависимостта деформация–преместване (B-матрица) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Матрица на функциите на формата: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) е блок \(d \times d\) с функцията на формата \(N_\alpha^e\) за възел \(\alpha\) по диагонала, а \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Елементна матрица на коравина |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Подинтегрални изрази на елементната матрица на коравина (в референтната и текущата конфигурация): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (формулировка TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (формулировка UL) | Елементен вектор на вътрешните сили |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Възлова външна сила, действаща върху елементен възел \(\alpha\), и елементен възлов вектор на външните сили: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Глобален вектор на вътрешните сили и глобален вектор на външните сили: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); аналогично за \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Възлова вътрешна сила и възлова външна сила в глобален възел \(i_g\) (възлови блокове на \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Глобална тангенциална матрица на коравина: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Матрица, образувана чрез поставяне на блока \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) в ред \(i_g\), колона \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Вектор на остатъка при итерацията на Нютон-Рафсън: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Корекция при итерацията на Нютон-Рафсън (получена чрез решаване на линейното уравнение \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) при итерация \(i\)) |
| \(i_g\) | Глобален номер на възел (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Глобален номер на възел, съответстващ на локалния номер на възел \(\alpha\) на елемент \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Множество от двойки \((e, \alpha)\), съответстващи на глобален номер на възел \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Използва се при операции по асемблиране |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Множество от тройки \((e, \alpha, \beta)\), съответстващи на двойката глобални номера на възли \((i_g, i_h)\); използва се при асемблиране на матрицата на коравина |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Индекси на възлите, съставящи един елемент |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Индекси на степените на свобода (\(1, 2, 3\) в 3D) |
Усъвършенствани и конструктивни елементи
| Символ | Описание |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Матрица на зависимостта деформация–преместване, чиято обемна част е модифицирана по метода B-bar (обемната компонента се заменя с B-матрицата, изчислена в центъра на елемента) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Градиент на деформацията с обемна част, модифицирана по метода F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Отношение на обемите за градиента на деформацията, изчислен в центъра на елемента \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Вектор на вътрешните степени на свобода за елемент с несъвместими модове (коефициенти на допълнителни модове на преместване, които не налагат непрекъснатост по границата на елемента) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Функции на формата за несъвместими модове: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Дебелина на черупков елемент |
| \(A\) | Площ на напречното сечение на гредов елемент |
| \(I\) | Втори момент на площта на напречното сечение на гредов елемент |
| \(G\) | Модул на срязване: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Свързани теми