Към съдържанието

Критерии за сходимост

Като условие за прекратяване на итерациите по Нютон-Рафсън (Метод на Нютон-Рафсън) FrontISTR използва две системи безразмерни величини: критерий по нормата на остатъка и критерий по нормата на корекцията. И двете имат общо определение независимо от вида на анализа (статичен анализ, динамичен анализ с неявен метод) и от наличието на контакт.

Разделяне на оценките

Степените на свобода на възлите съдържат съставни части с различни физически размерности. При елементите с 6 степени на свобода остатъкът за транслационните степени на свобода има размерност на сила, докато остатъкът за ротационните степени на свобода има размерност на момент. Освен това при контактния анализ (Контактен анализ) по метода на множителя на Лагранж към вектора на остатъка се добавят редове, съответстващи на контактния зазор (размерност на дължина).

Ако те се съберат в една сума от квадрати, стойността на нормата се променя произволно според избраната система единици и смисълът на прага не се фиксира. Затова FrontISTR разделя оценъчните величини по размерности, привежда всяка от тях в безразмерен вид чрез съответната референтна величина и след това проверява сходимостта.

Символ Съставна част Размерност
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) Остатъци за транслационните степени на свобода (степени на свобода на възлите 1–3) Сила
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\) Остатъци за ротационните степени на свобода (степени на свобода на възлите 4–6, само за елементи с 6 степени на свобода) Момент
\(d\boldsymbol{\lambda}\) Корекция на множителя на Лагранж Сила

Степента на свобода на налягането при елементите за флуидна свързаност (4 степени на свобода на възлите, \(u,v,w,p\)) не се включва в оценката.

При гредите и черупковите елементи (641/761/781) с 3 степени на свобода на възела ротацията се изразява чрез степените на свобода 1–3 на фиктивен възел, който е в двойка с транслационния възел. Тъй като оценката не разграничава фиктивните възли, остатъците на фиктивните възли (моменти) също се включват в транслационната съставна част \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\). Същото важи и за критерия по нормата на корекцията и за оценката по максимална стойност.

Остатъкът \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) не съдържа съставните части на степените на свобода, на които са наложени ограничения за премествания. Това е така, защото остатъците, които се появяват в тези степени на свобода, съответстват на реакции от ограниченията и не са грешки на равновесието (Метод на Нютон-Рафсън).

Критерий по нормата на остатъка

Остатъкът \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) от \(i\)-та итерация се привежда в безразмерен вид чрез големината на силите, възникващи в системата в този момент. Референтната сила \(F_\mathrm{ref}\) за транслационната съставна част и референтният момент \(M_\mathrm{ref}\) за ротационната съставна част са

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

. Тук \(\boldsymbol{Q}\) е векторът на вътрешните сили, а \(\boldsymbol{D}\) е сумата от инерционната и вискозната сила

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

при Динамичен анализ. При статичен анализ \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\). Индексите \(t, r\) означават съответно транслационната и ротационната съставна част от предходния раздел. Оценъчните величини са

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

.

За референтни величини се приема максималната стойност на нормите на вътрешните сили и на инерционните и вискозните сили, а не векторната им сума \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\), защото при свободно трептене без действие на външни сили в равновесно състояние \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\) и референтната величина, базирана на векторната сума, би паднала до \(0\). Тази компенсация не възниква при максималната стойност на нормите.

Когато референтната величина е под предварително зададената долна граница (\(10^{-8}\)) (например при първата итерация, започнала от състояние без натоварване), не се дели на референтната величина, а самата норма на остатъка се използва като оценъчна величина. Тогава оценката е по абсолютната стойност на остатъка.

Критерий по нормата на корекцията

Корекцията \(d\boldsymbol{u}_i\), получена при \(i\)-та итерация, се привежда в безразмерен вид чрез прираста на преместванията \(\Delta\boldsymbol{u}\), натрупан до тогава в подстъпката.

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

Това, че корекцията е станала достатъчно малка в сравнение с натрупания прираст, означава, че итерациите са достигнали стационарно състояние. Използва се като вспомогателна оценка за задачи, при които остатъкът намалява бавно. Ако знаменателят е \(0\), критерият се третира като неиспълнен.

Критерий за множителя на Лагранж

При контактния анализ по метода на множителя на Лагранж към оценката се добавя корекцията на множителите, приведена в безразмерен вид чрез големината на самите множители:

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

Ограниченията за контактния зазор са вградени в системата уравнения като уравнения за множители на Лагранж, затова при сходимост на множителите ограниченията се считат за изпълнени. Самите остатъци на зазора, които имат размерност на дължина, не се включват в критерия по нормата на остатъка, тъй като не могат да се съберат с остатъците на силите.

Множителите на Лагранж са контактни сили и имат същата размерност като референтната сила \(F_\mathrm{ref}\), затова знаменателят се ограничава отдолу със \(F_\mathrm{ref}\). Ако се привежда в безразмерен вид само чрез \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\), оценката става безкрайно строга в състояние, в което контактът поема почти натоварване, а за възли, които току-що са влезли в контакт, е \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\) при \(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\) и оценката не може да бъде изпълнена. Начинът за третиране, когато знаменателят е под долната граница, е същият като при критерия по нормата на остатъка.

Оценка по максимална стойност

Тъй като L2 нормата е сума от квадрати върху всички степени на свобода, остатъкът, който остава само в някои възли, се разредява над цялото и се оценява като по-малък, колкото по-голям е броят на възлите. За да се отразят локални състояния, при които равновесието не е изпълнено (като при контактните възли), може едновременно да се използва оценката, получена като се замени L2 нормата във всяка от предходните критерии с максималната стойност на абсолютните стойности на компонентите на степените на свобода.

Максимумът на транслационната съставна част на вектора \(\boldsymbol{v}\) се дефинира, за възел \(I\) и степен на свобода на възела \(k\), като

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

. Ротационната съставна част \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\) се дефинира по същия начин за \(k = 4,5,6\), а за множители на Лагранж се приема максималната стойност на абсолютните стойности на всички компоненти. Оценъчните величини се получават, като L2 нормата във всеки критерий се замени с този максимум, както в числителя, така и в знаменателя.

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]
\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

Ротационната съставна част се третира по същия начин. Начинът за третиране, когато референтната величина е под долната граница и когато знаменателят е \(0\), е същият като при критериите по L2 норма.

Референтните величини също са максимуми от същия вид, за да се запази големината на оценъчните величини от същия порядък като при критериите по L2 норма и да могат да се използват със същия порядък прагове. Не се дели с различна референтна величина за всеки компонент на степените на свобода, защото в посоки без натоварване референтната величина би се доближила до \(0\) и оценъчната величина би загубила смисъл.

При оценката по максимална стойност се определят възелът и степента на свобода, които дават максимума. FrontISTR извежда това в лог за всяка итерация за остатъка и корекцията.

Комбиниране на оценките

Всяка от досегашните оценъчни величини (за остатък, корекция и множители на Лагранж, за транслационна и ротационна съставна част, по L2 норма или по максимална стойност) може индивидуално да се посочи за участие в оценката (CHECK) или за изключване (SKIP). По подразбиране всички оценки по L2 норма са CHECK, а всички оценки по максимална стойност са SKIP.

Критерий по нормата на остатъка и критерий по нормата на корекцията: сходимост се счита за постигната, ако е изпълнен който и да е от двата. Критерий за множителя на Лагранж от своя страна проверява дали ограниченията при контакт са изпълнени, затова при анализи, в които има множители на Лагранж, се изисква винаги. В рамките на един критерий трябва да са изпълнени всички посочени с CHECK сред транслационната и ротационната съставна част и между L2 норма и максималната стойност.

За да се изрази това с формули, за група оценъчни величини \(G\) се дефинират следните две:

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{ е изпълнена} \ \vee\ m \text{ е SKIP} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{ е CHECK} \right) \]

\(\mathrm{all\_ok}(G)\) е вярно, ако в \(G\) няма нито една оценъчна величина с CHECK. Условието за сходимост е

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{критерий за множителя на Лагранж}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{критерий по нормата на корекцията}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{критерий по нормата на корекцията}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{критерий по нормата на остатъка}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{критерий по нормата на остатъка}) \right) \right\} \]

. \(\mathrm{any\_check}\) се поставя към двете групи, свързани с „или“, за да не преминава необезпечено през проверката група, в която няма нито една величина с CHECK. Ротационната съставна част при анализи без ротационни степени на свобода и критерий за множителя на Лагранж при анализи без множители на Лагранж не се използват в оценката, дори да е посочено CHECK. При настройките по подразбиране условието за сходимост е

\[ \left( \text{критерий за множителя на Лагранж} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{критерий по нормата на корекцията} \right) \ \vee\ \left( \text{критерий по нормата на остатъка} \right) \right\} \]

и при анализи с ротационни степени на свобода се оценяват както транслационната, така и ротационната съставна част, а при анализи без множители на Лагранж се оценява условието без критерия за множителя на Лагранж.

За начина за посочване и стойностите по подразбиране на праговете \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\) на оценките по L2 норма вижте !STEP, за праговете на CHECK／SKIP и оценката по максимална стойност — !CONVERG_PARAM, а за посоки по избора между тях — Нелинейни итерации и интегриране по време (функция).

Свързани теми