Към съдържанието

Методи за динамичен анализ

В този раздел са описани методите за анализ на динамични задачи чрез директно интегриране по времето. По-долу са представени формулировките на неявния и явния метод.

Дискретизация на уравнението на движение (обща рамка)

TBD (ще бъде допълнено в следващата фаза).

Неявен метод (метод на Нюмарк-β)

За динамични задачи се прилага метод за директно интегриране по времето, за да се реши уравнението на движение, показано по-долу.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Тук \(M\) е матрицата на масите, \(C\) е матрицата на затихване, \(Q\) е векторът на вътрешните сили, а \(F\) е векторът на външните сили. Приема се, че матрицата на масите остава постоянна независимо от деформацията, включително при нелинеен анализ.

Измененията на преместването, скоростта и ускорението за времевата стъпка \(\Delta t\) се апроксимират по метода на Нюмарк-\(\beta\), както е показано в ур. \(\eqref{eq:2.5.2}\) и ур. \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Тук \(\gamma\) и \(\beta\) са параметри на метода на Нюмарк-\(\beta\).

Както е известно, следните стойности на \(\gamma\) и \(\beta\) съответстват съответно на метода на линейното ускорение и трапецовидното правило.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (метод на линейното ускорение)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (трапецовидно правило)

Замествайки ур. \(\eqref{eq:2.5.2}\) и ур. \(\eqref{eq:2.5.3}\) в ур. \(\eqref{eq:2.5.1}\), се получава следното уравнение.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

По-специално, за линейна задача \(K_L\) е линейната матрица на коравина и \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Замествайки тази зависимост в горното уравнение, се получава следното уравнение.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

На местата, където ускорението е зададено като геометрично гранично условие, преместването се получава от ур. \(\eqref{eq:2.5.2}\) по следния начин.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

По аналогичен начин, на местата, където е зададена скорост, преместването се получава от ур. \(\eqref{eq:2.5.6}\) по следния начин.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Тук \(u_{is}(t+\Delta{t})\) е възловото преместване в момент \(t+\Delta{t}\), а \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) е възловата скорост в момент \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) е възловото ускорение в момент \(t+\Delta{t}\), \(i\) е номерът на степента на свобода на възела, а \(s\) е номерът на възела. Членовете за маса и затихване се обработват по следния начин.

Обработка на члена за маса

По принцип матрицата на масите се разглежда като диагонализирана матрица на концентрираните маси.

Обработка на члена за затихване

Членът за затихване се разглежда като затихване на Рейли, изразено с ур. \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Тук \(R_m\) и \(R_k\) са параметрите на затихването на Рейли.

!DYNAMIC картата задава \(R_m\) и \(R_k\), които се прилагат еднакво към целия модел. За да зададете различни \(R_m\) и \(R_k\) за отделните материали, в блока !MATERIAL на съответния материал задайте картата !DAMPING. За елементи, принадлежащи към материал с !DAMPING, елементната матрица на затихване се изчислява от елементната матрица на масите \(M_i\) и тангентната матрица на коравина \(K_i\) като \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\), след което се асемблира в глобалната матрица на затихване. Тази функция е активна само при неявния метод.

Явен метод (метод на централните разлики)

Явният метод се основава на уравнението на движение в момент t, показано по-долу.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Представяйки преместванията в моменти \(t + \Delta t\) и \(t - \Delta t\) чрез редове на Тейлър около момента \(t\) и запазвайки членовете до втори ред по \(\Delta t\), се получават следните уравнения.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Като вземем разликата и сумата на ур. \(\eqref{eq:2.5.3}\) и ур. \(\eqref{eq:2.5.4}\), получаваме следните уравнения.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Замествайки ур. \(\eqref{eq:2.5.12}\) и ур. \(\eqref{eq:2.5.13}\) в ур. \(\eqref{eq:2.5.9}\), се получава следното уравнение.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

По-специално, за линейна задача \(Q(t) = K_L U(t)\) и горното уравнение става

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Ако матрицата на масите \(M\) се приеме за диагонализирана матрица на концентрираните маси, а матрицата на затихване — за пропорционална матрица \(C = R_m M\), ур. \(\eqref{eq:2.5.15}\) не изисква решаване на система едновременни уравнения.

Следователно от ур. \(\eqref{eq:2.5.15}\) \(U(t+\Delta t)\) може да се получи чрез следното уравнение.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Свързани теми