Модален анализ¶

Обобщена задача за собствени стойности¶

При анализ на свободните трептения на континуум конструкцията се дискретизира пространствено и се моделира като система с много степени на свобода със съсредоточени маси, както е показано на фигура 2.3.1. За задача за свободни трептения без затихване управляващото уравнение (уравнението на движението) е следното.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Тук $u$ е векторът на обобщените премествания, $M$ е матрицата на масите, а $K$ е матрицата на коравината. Нека $\omega$ е собствената кръгова честота, нека $a$ и $b$ са произволни константи, които не са едновременно нула, и нека $x$ е вектор. Дефинираме функцията

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Нейната втора производна е

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Замествайки уравнение $\eqref{eq:2.3.2}$ и уравнение $\eqref{eq:2.3.3}$ в уравнение $\eqref{eq:2.3.1}$, получаваме

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Така се получава горното уравнение.

За нетривиално трептене $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ не е тъждествено равно на нула.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

Следователно се получава горната зависимост. Ако положим $\lambda=\omega^2$, получаваме

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Така се получава горното уравнение.

Скаларът $\lambda$ се нарича собствена стойност, векторът $x$ се нарича собствен вектор, а задачата, изразена с уравнение $\eqref{eq:2.3.5}$, се нарича обобщена задача за собствени стойности.

Собствената кръгова честота $\omega$ се получава от собствената стойност $\lambda=\omega^2$, а съответният собствен вектор $x$ представя форма на трептене.

Пример за система с много степени на свобода при свободни трептения без затихване

Фигура 2.3.1 Пример за система с много степени на свобода при свободни трептения без затихване

Свойства и предположения за матриците¶

За обобщената задача за собствени стойности $Kx=\lambda Mx$, получена в предходния раздел, в това ръководство се приема, че матриците са симетрични. За комплексни матрици това съответства на ермитови матрици, а за реални матрици — на симетрични матрици.

Нека $k_{ij}$ е елементът $ij$ на матрицата $K$. Ермитовото свойство е

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

изразено с горното уравнение, където $\bar{k}_{ji}$ е комплексно спрегнатата стойност на $k_{ji}$. За реални матрици тази зависимост става $k_{ij}=k_{ji}$.

Реална симетрична матрица $H$ е положително определена, ако за всеки ненулев вектор $x$

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

е изпълнено горното неравенство. В този случай всички собствени стойности на $H$ са положителни.

При структурна задача за собствени стойности матрицата на масите $M$ обикновено се приема за положително определена. Матрицата на коравината $K$ обаче може да бъде положително полуопределена в зависимост от ограниченията и да има нулеви собствени стойности, съответстващи на режими на твърдо тяло.

Обратна итерация с отместване¶

В практическите структурни анализи по метода на крайните елементи обикновено не са необходими всички собствени стойности; често са достатъчни най-много няколко собствени стойности от нисък ред. HEC-MW е предназначен за задачи с голям мащаб, при които матриците са големи и изключително разредени, с много нулеви елементи. Поради това е важно собствените стойности на режимите от нисък ред да се изчисляват ефективно с оглед на тези характеристики.

За отместване $\sigma$, ако $-\sigma$ не е собствена стойност и $K+\sigma M$ е неособена матрица, уравнение $\eqref{eq:2.3.5}$ може да се преобразува по следния начин.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Това преобразуване оставя собствения вектор $x$ непроменен и преобразува собствената стойност $\lambda$ в $1/(\lambda+\sigma)$.

Следователно колкото по-близо е $\lambda$ до $-\sigma$, толкова по-голяма е абсолютната стойност на преобразуваната собствена стойност. При структурна задача за собствени стойности $\lambda \geq 0$ и $\sigma \geq 0$, така че най-ниската собствена стойност се преобразува в собствената стойност с най-голяма абсолютна стойност. Като се използва това свойство и към уравнение $\eqref{eq:2.3.8}$ се приложи итерационен метод, който има склонност първо да сходи към собствени стойности с голяма абсолютна стойност, собствените стойности от нисък ред могат да се получат ефективно във възходящ ред.

Този метод се нарича обратна итерация с отместване.

За анализи с ограничения FrontISTR задава $\sigma = 0$, а уравнение $\eqref{eq:2.3.8}$ става $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, тоест обратна итерация без отместване. При анализ „свободно–свободно“ без ограничения $K$ е особена, тъй като има нулеви собствени стойности, съответстващи на режими на твърдо тяло; задаването на положителна стойност на $\sigma$ регуляризира $K+\sigma M$. Стойността на $\sigma$ се задава чрез SIGMA в !EIGEN.

Метод на Ланцош¶

Основание за използването му (сравнение с метода на Якоби)¶

Методът на Якоби е добре познат класически метод.

Той е ефективен, когато матрицата е малка и плътна. Тъй като матриците, обработвани от HEC-MW, са големи и разредени, методът на Якоби не се използва; вместо него се използва итерационният метод на Ланцош.

Алгоритъм и характеристики¶

Предложен от К. Ланцош през 50-те години на XX век, този метод е алгоритъм за тридиагонализация на матрица и има следните характеристики.

Това е итерационен метод, който може да извършва изчисленията, като запазва матрицата разредена.
Операциите му се състоят главно от произведения матрица–вектор, което го прави подходящ за паралелизация.
Той е подходящ за геометрична декомпозиция на областта, свързана с мрежи от крайни елементи.
Може да извършва ефективни изчисления чрез ограничаване на броя на собствените стойности или диапазона от режими, които трябва да се получат.

Методът на Ланцош започва от начален вектор, последователно построява ортогонални вектори и получава базис на подпространство на Крилов.

При аритметика с крайна точност грешките от закръгляне могат да доведат до загуба на ортогоналност на векторите. За да ограничи този ефект, реализацията във FrontISTR повторно ортогонализира всеки вектор спрямо вече получените базисни вектори на Ланцош.

Геометрична интерпретация (подпространство на Крилов)¶

Като приложим следните замени на променливите към уравнение $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

задачата може да се запише като

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Така се получава горното уравнение.

За произволен ненулев вектор $q_0$

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

пространството, породено от тези вектори,

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

се нарича подпространство на Крилов.

Методът на Ланцош последователно построява базис на това подпространство на Крилов.

FrontISTR използва следното скаларно произведение, свързано с матрицата на масите $M$,

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

за да ортонормира базиса. Скаларното произведение $\langle x,y\rangle$ и нормата $\|x\|$, показани на следващите фигури, се интерпретират в изчисленията на FrontISTR като това $M$-скаларно произведение и съответната $M$-норма

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

съответно.

Към произволен вектор $q_0$ се прилага линейното преобразуване, дефинирано от матрицата $A$, както е показано на фигура 2.3.2.

$Линейно преобразуване на $q_0$ чрез матрицата $A$$

Фигура 2.3.2 Линейно преобразуване на $q_0$ чрез матрицата $A$

Преобразуваният вектор се ортогонализира в пространството, породено от него и първоначалния вектор. По-конкретно се извършва ортогонализация по Грам-Шмидт, както е показано на фигура 2.3.3. Нека полученият вектор е $r_1$; след нормализирането му се получава $q_1$.

$Вектор $q_1$, ортогонален на $q_0$$

Фигура 2.3.3 Вектор $q_1$, ортогонален на $q_0$

По същата процедура от $q_1$ се получава $q_2$. Тук $q_2$ е ортогонален както на $q_1$, така и на $q_0$, както е показано на фигура 2.3.4.

$Вектор $q_2$, ортогонален на $q_1$ и $q_0$$

Фигура 2.3.4 Вектор $q_2$, ортогонален на $q_1$ и $q_0$

По този начин методът на Ланцош последователно построява ортонормиран базис на подпространството на Крилов. Теоретично симетрията на задачата за собствени стойности позволява тази итерация да се изрази като тричленна рекурентна зависимост, включваща най-скорошните базисни вектори.

Реализацията във FrontISTR обаче повторно ортогонализира всеки вектор спрямо вече получените базисни вектори на Ланцош чрез $M$-скаларното произведение, за да ограничи загубата на ортогоналност, причинена от аритметиката с крайна точност.

Тридиагонализация¶

При итерацията на Ланцош във FrontISTR базисните вектори се ортонормират спрямо $M$-скаларното произведение, описано в предходния раздел, така че

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

горната зависимост е изпълнена.

С използване на матрицата $A$ от уравнение $\eqref{eq:2.3.10}$ теоретичната итерация на Ланцош е

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

представена от горната тричленна рекурентна зависимост.

Първо $\alpha_i$ се дефинира по следния начин.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

След това предварителният остатък се дефинира като

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

показаното по-горе.

За да ограничи загубата на ортогоналност, причинена от аритметиката с крайна точност, реализацията във FrontISTR повторно ортогонализира $\tilde{r}_{i+1}$ спрямо вече получените базисни вектори на Ланцош чрез $M$-скаларното произведение. Ако $r_{i+1}$ е остатъкът след повторната ортогонализация, тогава

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

са изпълнени горните зависимости.

Нека съберем $m$-те базисни вектора, получени чрез итерацията на Ланцош, в

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Тогава след краен брой итерации на Ланцош

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

е изпълнена горната зависимост.

Тук $e_m$ е $m$-мерният единичен вектор, чиято $m$-та компонента е 1, а всички останали компоненти са нула, и

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

е симетрична тридиагонална матрица.

Следователно собствените стойности на първоначалната мащабна задача за собствени стойности могат да се апроксимират чрез изчисляване на собствените стойности на тридиагоналната матрица $T_m$.

Свързани теми¶

Анализ на честотния отклик — Честотен отклик с използване на резултатите от модалния анализ
Типове анализ — Функционален преглед на модалния анализ