Към съдържанието

Верификация с модел с проста геометрия

Еластичен статичен анализ

За тази верификация се използва конзолна греда с мрежа, показана на Фигура 9.1.1. Извършени са анализи за седем случая, от exA до exG, при различни условия на натоварване, както е показано на Фигура 9.1.2. Случаят exG има същите условия на натоварване като exA, но използва директен решател.

Резултатите от верификацията за всяко условие на натоварване са представени в Таблици 9.1.1–9.1.7.

Примерна мрежа на конзолна греда (хексаедрични елементи) Фиг. 9.1.1 Примерна мрежа на конзолна греда (хексаедрични елементи)
(a) exA,G: Концентриран товар
(b) exD: Гравитация
(c) exB: Повърхностно разпределен товар
(d) exE: Центробежна сила
(e) exC: Обемен товар
(f) exF: Топлинен товар
Величина Стойност
Модул на Юнг \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Дължина \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
Коефициент на Поасон \(\nu = 0.3\)
Площ на напречното сечение \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
Масова плътност \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Втори момент на площта \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
Земно ускорение \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Коефициент на линейно топлинно разширение \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Фиг. 9.1.2 Условия за верификация на модела на конзолна греда

Таблица 9.1.1: exA: Резултати от верификацията на задачата с концентриран товар

Име на случая Брой елементи Теоретична стойност : \(\delta_{max}= -1.000\) Забележки
NASTRAN Търговски софтуер FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 възела / задача с плоско напрегнато състояние
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 възела / задача с плоско напрегнато състояние
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 възела
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 възела
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 възела
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 възела
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 възела
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 възела
A731 40 - - -0.991 33 възела / директен метод
A741 20 - - -0.996 33 възела / директен метод

Таблица 9.1.2: exB: Резултати от верификацията на задачата с повърхностно разпределен товар

Име на случая Брой елементи Теоретична стойност : \(\delta_{max}= -3.750\) Забележки
NASTRAN Търговски софтуер FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105 възела / задача с плоско напрегнато състояние
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85 възела / задача с плоско напрегнато състояние
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99 възела
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525 възела
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99 възела
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381 възела
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99 възела
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220 възела
B731 40 - - -3.722 33 възела / директен метод
B741 20 - - -3.743 33 възела / директен метод

Таблица 9.1.3: exC: Резултати от верификацията на задачата с обемен товар

Име на случая Брой елементи Теоретична стойност : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Забележки
NASTRAN Търговски софтуер FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105 възела / задача с плоско напрегнато състояние
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85 възела / задача с плоско напрегнато състояние
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99 възела
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525 възела
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99 възела
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381 възела
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99 възела
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220 възела
C731 40 - - -2.922e-5 33 възела / директен метод
C741 20 - - -2.938e-5 33 възела / директен метод

Таблица 9.1.4: exD: Резултати от верификацията на задачата с гравитационно натоварване

Име на случая Брой елементи Теоретична стойност : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Забележки
NASTRAN Търговски софтуер FrontISTR
D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105 възела / задача с плоско напрегнато състояние
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85 възела / задача с плоско напрегнато състояние
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99 възела
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525 възела
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99 възела
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381 възела
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99 възела
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220 възела
D731 40 - - -2.922e-5 33 възела / директен метод
D741 20 - - -2.938e-5 33 възела / директен метод

Таблица 9.1.5: exE: Резултати от верификацията на задачата с центробежна сила

Име на случая Брой елементи Теоретична стойност : \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) Забележки
NASTRAN Търговски софтуер FrontISTR
E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105 възела / задача с плоско напрегнато състояние
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85 възела / задача с плоско напрегнато състояние
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99 възела
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525 възела
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99 възела
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381 възела
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99 възела
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220 възела
E731 40 - - 2.619e-3 33 възела / директен метод
E741 20 - - 2.622e-3 33 възела / директен метод

Таблица 9.1.6: exF: Резултати от верификацията на задачата с натоварване от термични напрежения

Име на случая Брой елементи Теоретична стойност : \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) Забележки
NASTRAN Търговски софтуер FrontISTR
F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105 възела / задача с плоско напрегнато състояние
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85 възела / задача с плоско напрегнато състояние
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99 възела
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525 възела
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99 възела
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381 възела
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99 възела
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220 възела

Таблица 9.1.7: exG: Резултати от верификацията с директния метод (задача с концентриран товар)

Име на случая Брой елементи Теоретична стойност: δmax= -1.000 Забележки
NASTRAN Търговски софтуер FrontISTR
G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 възела / задача с плоско напрегнато състояние
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 възела / задача с плоско напрегнато състояние
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 възела
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 възела
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 възела
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 възела
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 възела
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 възела
G731 40 - - -0.991 33 възела / директен метод
G741 20 - - -0.996 33 възела / директен метод

Нелинеен статичен анализ

(2-1) exnl1: Геометрично нелинеен анализ

Моделът за верификация за случая exI е идентичен с моделите за случаите от exA до exG. Фигура 9.1.3 показва схема на модела за верификация. За този модел се извършва геометрично нелинеен анализ. Резултатите от верификацията са показани в Таблица 9.1.8.

Нелинейното изчисление се извършва за референтно натоварване \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), с прираст на натоварването \(0.1P\) в 10 стъпки.

Модел за верификация Фиг. 9.1.3 Модел за верификация

Таблица 9.1.8 exI: Резултати от верификацията (история на максималното отклонение)

Име на случая 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Линейно решение
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2) exnl2: Анализ на еластопластични деформации

Тази задача за верификация се основава на тест NL1 на National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) от NAFEMS, и се извършва анализ на еластопластични деформации, включващ геометрична нелинейност и няколко закона за уякчаване. Фигура 9.1.4 показва модела за анализ.

Модел за анализ на еластопластични деформации

Фиг. 9.1.4 Модел за анализ на еластопластични деформации

(1) Условия за верификация

Величина Стойност
Материал Еластопластичен материал по Мизес
Модул на Юнг \(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
Коефициент на Поасон \(\nu=0.25\)
Начално напрежение на провлачване \(5\ \mathrm{MPa}\)
Начална деформация при провлачване \(0.25\times10^{-4}\)
Коефициент на изотропно уякчаване \(H_i = 0\) или \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(2) Гранични условия

Величина Гранично условие Стойност
Стъпка 1 Зададено преместване във възли 2 и 3 \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Стъпка 2 Зададено преместване във възли 2 и 3 \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Стъпка 3 Зададено преместване във възли 3 и 4 \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Стъпка 4 Зададено преместване във възли 3 и 4 \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Стъпка 5 Зададено преместване във възли 2 и 3 \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Стъпка 6 Зададено преместване във възли 2 и 3 \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Стъпка 7 Зададено преместване във възли 3 и 4 \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Стъпка 8 Зададено преместване във възли 3 и 4 \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Всички възли, които не са изброени тук, са напълно закрепени. Теоретичното решение за тази задача е следното.

Деформация (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Еквивалентно напрежение (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

За сравнение резултатите от изчислението са следните.

Деформация (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Еквивалентно напрежение (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\) \(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Контактен анализ (1)

Тази задача за верификация се основава на контактния тест CGS-4 на National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), и проверява възможността за контакт с крайно приплъзване и триене. Фигура 9.1.5 показва модела за анализ.

Модел за контактен анализ

Фиг. 9.1.5 Модел за контактен анализ

Условието за равновесие за тази задача е следното.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

В етапа на сцепление без приплъзване силата на триене е

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

а в етапа на приплъзване тя е

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

Така се получава горната зависимост.

Сравнението между резултатите от изчислението и аналитичното решение е следното.

\(\mu\) \(F/G\) Аналитично решение \(F/G\) Резултати от изчислението
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

Контактен анализ (2): контактна задача на Херц

При тази верификация се анализира контактната задача на Херц между безкрайно дълъг цилиндър и безкрайна равнина. Радиусът на цилиндъра е \(R = 8\ \mathrm{mm}\), а модулът на Юнг \(E\) и коефициентът на Поасон \(\mu\) на деформируемото тяло са съответно \(1100\ \mathrm{MPa}\) и \(0.0\). Приема се, че контактната област е достатъчно малка спрямо радиуса на цилиндъра, и с оглед на симетрията на задачата се анализира модел на една четвърт от цилиндъра.

Модел за анализ на контактната задача на Херц Фиг. 9.1.6 Модел за анализ на контактната задача на Херц

(1) Резултати от верификацията на контактния радиус

Теоретичната формула за изчисляване на контактния радиус е следната:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

където

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

Така се получава горният израз. При настоящите условия на изчисление, когато натискът е \(F=100\), контактният радиус е \(a=1.36\).

Фигура 9.1.7 показва еквивалентните възлови сили в контактните точки. Контактният радиус се получава чрез екстраполация на това разпределение на възловите сили.

Разпределение на еквивалентните възлови сили в контактните точки

Фиг. 9.1.7 Разпределение на еквивалентните възлови сили в контактните точки

(2) Резултати от верификацията за максималното срязващо напрежение

В теоретичното решение, в контактното положение

\[ z = 0.78a \]

максималното срязващо напрежение е

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

Това е теоретичното максимално срязващо напрежение. При настоящите условия на изчисление,

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

Това е теоретичната стойност при настоящите условия. За сравнение изчислението дава

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

Това е полученият изчислителен резултат.

Разпределение на срязващото напрежение (максимална стойност = 15.6 Фиг. 9.1.8 Разпределение на срязващото напрежение (максимална стойност = 15.6)

(3) Модален анализ

Моделите за верификация за случаите exJ и exK са идентични с моделите за случаите от exA до exG. Фигура 9.1.9 показва схема на модела за верификация. За този модел се извършва модален анализ. Изчисляват се първите три собствени честоти. Случаят exJ използва итерационен решател, докато случаят exK използва директен решател. Резултатите от верификацията са показани в Таблици 9.1.9 до 9.1.12.

Модел за верификация Фиг. 9.1.9 Модел за верификация

Собствените честоти на конзолната греда се получават от следните уравнения.

Първи мод

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Втори мод

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Трети мод

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Стойностите на характеристиките на модела за верификация са

Величина Стойност
\(I\) \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\) \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

Следователно първите три собствени честоти са следните:

Номер на мода Стойност
\(n_1\) 3.609e3
\(n_2\) 2.262e4
\(n_3\) 6.335e4

Таблица 9.1.9: exJ: Резултати от верификацията с итерационен метод за първата собствена честота

Име на случая Брой елементи Теоретична стойност : n1=3.609e3 Забележки
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 възела / задача с плоско напрегнато състояние
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 възела / задача с плоско напрегнато състояние
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 възела
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 възела
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 възела
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 възела
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 възела
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 възела

Таблица 9.1.10: Резултати от верификацията с итерационен метод за exJ за втората собствена честота

Име на случая Брой елементи Теоретична стойност : n2=2.262e4 Забележки
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 възела / задача с плоско напрегнато състояние
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 възела / задача с плоско напрегнато състояние
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 възела
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 възела
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 възела
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 възела
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 възела
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 възела

Забележка) При тримерните (3D) модели първата и втората мода са дегенерирани. Поради това третата изчислена собствена честота е посочена в таблицата като втора собствена честота.

Таблица 9.1.11: Резултати от верификацията с директен метод за exK за първата собствена честота

Име на случая Брой елементи Теоретична стойност : n1=3.609e3 Забележки
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 възела / задача с плоско напрегнато състояние
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 възела / задача с плоско напрегнато състояние
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 възела
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 възела
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 възела
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 възела
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 възела
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 възела
J731 40 - 3.606e3 220 възела
J741 20 - 3.594e3 220 възела

Таблица 9.1.12: Резултати от верификацията с директен метод за exK за втората собствена честота

Име на случая Брой елементи Теоретична стойност : n2=2.262e4 Забележки
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 възела / задача с плоско напрегнато състояние
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 възела / задача с плоско напрегнато състояние
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 възела / задача с плоско напрегнато състояние
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 възела
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 възела
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 възела
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 възела
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 възела
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 възела
J731 40 - 2.156e4 220 възела
J741 20 - 2.153e4 220 възела

Забележка) При тримерните (3D) модели първата и втората мода са дегенерирани. Поради това третата изчислена собствена честота е посочена в таблицата като втора собствена честота.

(4) Анализ на топлопроводност

Общите условия за стационарните анализи на топлопроводност са показани на Фигура 9.1.10. Индивидуалните условия за случаите за верификация от exM до exT са показани на Фигура 9.1.11. Разделянето на мрежата е еквивалентно на използваното за exA.

Резултатите от верификацията (таблица на температурното разпределение) за всеки случай са представени в Таблици 9.1.13–9.1.20.

Анализ на топлопроводност
Дължина между A и B \(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
Площ на напречното сечение \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

Температурна зависимост на топлопроводността

Топлопроводност \(\lambda\) (W/(m·K)) Температура (°C)
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0

Фиг. 9.1.10: Условия за верификация на стационарен анализ на топлопроводност
exM: Линеен материал
exN: Задача със зададена температура
exO: Задача с концентриран топлинен поток
exP: Задача с разпределен топлинен поток
exQ: Задача с конвективен топлообмен
exR: Задача с лъчист топлообмен
exS: Задача с обемно топлоотделяне
exT: Задача с вътрешна междина

Фиг. 9.1.11: Условия за анализ за всеки случай за верификация

Таблица 9.1.13: Резултати от верификацията за exM (стационарно изчисление на линеен материал)

Име на случая Тип елемент Елементи/възли Разстояние от край A (m)
Край A 2.0 4.0 6.0 8,0 Край B
M361A 361 40／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40／105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20／85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24／525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0

Таблица 9.1.14: Резултати от верификацията за exN (задача със зададена температура)

Име на случая Тип елемент Елементи/възли Разстояние от край A (m)
Край A 2.0 4.0 6.0 8,0 Край B
Търговски софтуер 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40／33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40／105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20／85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24／525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80／381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40／330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0

Таблица 9.1.15: Резултати от верификацията за exO (задача с концентриран топлинен поток)

Име на случая Тип елемент Елементи/възли Разстояние от край A (m)
Край A 2.0 4.0 6.0 8,0 Край B
Търговски софтуер 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240／99 - - - - - -
O342 342 24／525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80／99 - - - - - -
O352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Таблица 9.1.16: Резултати от верификацията за exP (задача с разпределен топлинен поток)

Име на случая Тип елемент Елементи/възли Разстояние от край A (m)
Край A 2.0 4.0 6.0 8,0 Край B
Търговски софтуер 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240／99 - - - - - -
P342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80／99 - - - - - -
P352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Таблица 9.1.17: Резултати от верификацията за exQ (задача с конвективен топлообмен)

Име на случая Тип елемент Елементи/възли Разстояние от край A (m)
Край A 2.0 4.0 6.0 8,0 Край B
Търговски софтуер 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40／105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20／85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240／99 - - - - - -
Q342 342 24／525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80／99 - - - - - -
Q352 352 80／381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40／330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2

Таблица 9.1.18: Резултати от верификацията за exR (задача с лъчист топлообмен)

Име на случая Тип елемент Елементи/възли Разстояние от край A (m)
Край A 2.0 4.0 6.0 8,0 Край B
Търговски софтуер 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40／105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20／85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240／99 - - - - - -
R342 342 24／525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80／99 - - - - - -
R352 352 80／381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40／330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2

Таблица 9.1.19: Резултати от верификацията за exS (задача с обемно топлоотделяне)

Име на случая Тип елемент Елементи/възли Разстояние от край A (m)
Край A 2.0 4.0 6.0 8,0 Край B
Търговски софтуер 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Таблица 9.1.20: Резултати от верификацията за exT (задача с вътрешна междина)

Име на случая Тип елемент Елементи/възли Разстояние от край A (m)
Край A 2.0 4.0 6.0 8,0 Край B
Търговски софтуер 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40／105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20／85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40／330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

Линеен динамичен анализ

В exW се извършва линеен динамичен анализ на същата конзолна греда като в точка (1). Фигура 9.1.12 показва условията за верификация. При едно и също разделяне на мрежата се верифицира влиянието на прираста на времето върху резултатите. Използват се както неявен, така и явен метод за интегриране по време с типове елементи 361 и 342. Резултатите от верификацията са показани в Таблица 9.1.22 и Фигури 9.1.13 до 9.1.15.

Модел за анализ Модел за анализ

Времева история на външната сила F Времева история на външната сила F

Теоретичното решение за преместването на точката на възбуждане е следното:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

където

\[ \(F_0:\ \text{Постоянен вектор}\) \]
\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]
\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Фиг. 9.1.12: Условия за верификация на линеен динамичен анализ

Условия за верификация:
Дължина \(L\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
Ширина на напречното сечение \(a\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Височина на напречното сечение \(b\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Модул на Юнг \(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Коефициент на Поасон \(\nu\) \(0.3\)
Плътност \(\rho\) \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Земно ускорение \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Външна сила \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{kgf}\)
Елемент Линеен хексаедричен елемент
Тетраедричен елемент от втори ред
Решение Неявен метод
Параметър на метода на Нюмарк-\(\beta\), \(\gamma\) 1/2
Параметър \(\beta\) на метода на Нюмарк-\(\beta\) 1/4
Явен метод
Затихване Няма

Таблица 9.1.21: Условия за верификация на линейния динамичен анализ (продължение)

Име на случая Тип елемент Брой възли Брой елементи Решение Прираст на времето \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Неявен метод 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Неявен метод 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Неявен метод 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Неявен метод 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Неявен метод 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Неявен метод 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Явен метод 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Явен метод 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Явен метод 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Явен метод 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Явен метод 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Явен метод 1.0E-07

Таблица 9.1.22: Резултати от верификацията на линеен динамичен анализ на exW (конзола)

Име на случая Тип елемент Брой възли Брой елементи Метод Преместване по z в момента \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) (mm)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Неявен метод 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Неявен метод 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Неявен метод 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Неявен метод 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Неявен метод 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Неявен метод 1.9753 Разходимост
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Явен метод 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Явен метод 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Явен метод 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Явен метод 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Явен метод 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Явен метод 1.9753 Разходимост

Диаграма на деформациите и разпределение на еквивалентното напрежение в конзолата Фиг. 9.1.13: Диаграма на деформациите и разпределение на еквивалентното напрежение в конзолата

(a) Тип елемент 361 : Неявен метод (a) Тип елемент 361 : Неявен метод

(b) Тип елемент 361 : Явен метод (b) Тип елемент 361: Явен метод

Фиг. 9.1.14 Времева история на преместването на точката на възбуждане \(u_z\)

(a) Тип елемент 342: Неявен метод (a) Тип елемент 342: Неявен метод

(b) Тип елемент 342: Явен метод (b) Тип елемент 342: Явен метод

Фиг. 9.1.15: Времева история на преместването на точката на възбуждане \(u_z\)

Анализ на честотния отклик

При тази верификация се извършва анализ на честотния отклик на конзолна греда и се верифицира чрез сравнение с резултатите от универсален търговски софтуер. Моделът за анализ и условията за верификация са показани по-долу.

Условия за анализ:
Модул на Юнг \(E\) \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
Коефициент на Поасон \(\nu\) \(0.3\)
Плътност \(\rho\) \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
Земно ускорение \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Натоварване \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{N}\)
Параметър на затихването на Рейли \(R_m\) \(0.0\)
Параметър на затихването на Рейли \(R_k\) \(7.2E-07\)

Фиг. 9.1.16 : Модел за анализ (тетраедричен линеен елемент (126 елемента и 55 възела))

Първите пет собствени честоти, получени от модалния анализ, и честотният отклик в точката на възбуждане са показани по-долу:

мод FrontISTR Търговски софтуер
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

Честотна зависимост на амплитудата на преместването на точката на възбуждане Фиг. 9.1.17 : Честотна зависимост на амплитудата на преместването на точката на възбуждане