অরৈখিক পুনরাবৃত্তি ও সময়-সমাকলন¶

FrontISTR-এর বিশ্লেষণে প্রতিটি স্টেপের ইনক্রিমেন্ট নিয়ন্ত্রণের মধ্যে প্রতিটি সাবস্টেপে অরৈখিক পুনরাবৃত্তি ও সময়-সমাকলন মিলিয়ে সমাধান এগোনো হয়। এই পৃষ্ঠায় বাইরের স্টেপ নিয়ন্ত্রণ ও ভেতরের রৈখিক সলভারের মাঝের পুনরাবৃত্ত কাঠামো—Newton-Raphson পুনরাবৃত্তি, সংস্পর্শ পুনরাবৃত্তি, গতিশীল বিশ্লেষণের সময় সমাকলন, ট্রান্সিয়েন্ট তাপ পরিবহনের সময় অগ্রগমন এবং অরৈখিক পুনরাবৃত্তি—আলোচিত হয়েছে।

কার্যাবলির সারসংক্ষেপ¶

স্টেপের ভেতরের অরৈখিক সমাধান ও সময়-সমাকলন বাইর থেকে ভেতরে একাধিক নেস্টেড লুপ নিয়ে গঠিত। প্রতিটি স্তরের ভূমিকা:

বিশ্লেষণ ধরনভেদে এই স্তরগুলোর কোনগুলো ব্যবহৃত হবে তা আলাদা।

সংস্পর্শের ধরন ও অ্যালগরিদম বেছে নেওয়ার জন্য সংস্পর্শ ও এমবেডিং দেখুন। এখানে নির্বাচিত অ্যালগরিদম কীভাবে পুনরাবৃত্তি লুপ হিসেবে গঠিত হয় তা ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

সমাধান পদ্ধতি বেছে নেওয়া¶

পুনরাবৃত্তি কাঠামো বিশ্লেষণের ধরন (বিশ্লেষণের ধরন), অরৈখিকতার উপস্থিতি (জ্যামিতিক অরৈখিকতা, পদার্থ অরৈখিকতা, সংস্পর্শ) এবং সংস্পর্শ অ্যালগরিদম (SLAGRANGE বা ALAGRANGE) থেকে স্বয়ংক্রিয়ভাবে নির্ধারিত হয়। ব্যবহারকারী সরাসরি প্রধানত পুনরাবৃত্তি সীমা ও অভিসৃতি মানদণ্ড সামঞ্জস্য করেন।

সামঞ্জস্যের নির্দেশনা:

• সাধারণ বিশ্লেষণে পুনরাবৃত্তি ঊর্ধ্বসীমার ডিফল্ট মান সাধারণত যথেষ্ট। সহজে অভিসৃত না হওয়া সমস্যায় সর্বোচ্চ পুনরাবৃত্তি সংখ্যায় পৌঁছেও অভিসৃতি না ঘটলে প্রথমে cutback (স্টেপ নিয়ন্ত্রণ) ব্যবহার করুন; তাতেও উন্নতি না হলে সীমা বাড়ান।
• অভিসৃতি মানদণ্ড বিশ্লেষণের স্থিতিশীলতা ও গণনা-সময়ের ভারসাম্য দেখে নির্ধারণ করুন। কঠোর করলে সাম্যাবস্থা নির্ভুলতা বাড়ে কিন্তু পুনরাবৃত্তি সংখ্যা বাড়ে। সংস্পর্শ বিশ্লেষণ বা Lagrange গুণক-সহ ক্ষেত্রে অবশিষ্ট মানদণ্ডের সঙ্গে স্থানচ্যুতি-বৃদ্ধি মানদণ্ড ও Lagrange মানদণ্ড ব্যবহার করলে স্থিতিশীলতা উন্নত হতে পারে।
• গতিশীল বিশ্লেষণের সময়-সমাকলন প্যারামিটার (Newmark-β সহগ) মানক সমন্বয় থেকে শুরু করুন; কম্পন প্রতিক্রিয়ার সাংখ্যিক ড্যাম্পিং বৈশিষ্ট্য পরিবর্তন দরকার হলে সামঞ্জস্য করুন।
• ট্রান্সিয়েন্ট তাপ পরিবহনে তাপমাত্রা পরিবর্তন মসৃণ হলে Crank-Nicolson, আর তীক্ষ্ণ পরিবর্তন বা দীর্ঘ সময়ের স্থিতিশীলতা অগ্রাধিকার হলে Backward Euler নির্বাচন করুন।

স্থির বিশ্লেষণের Newton-Raphson পুনরাবৃত্তি¶

অরৈখিক স্থির বিশ্লেষণে জ্যামিতিক বা পদার্থ অরৈখিকতা-সহ সাম্যাবস্থা সমীকরণ Newton-Raphson পদ্ধতিতে পুনরাবৃত্তভাবে সমাধান করা হয়। প্রতিটি পুনরাবৃত্তি:

1. বর্তমান সমাধানে অবশিষ্ট ভেক্টর \(\boldsymbol{R}\) মূল্যায়ন করা হয়।
2. স্পর্শক দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্স \(\boldsymbol{K}_T\) সংযোজন করা হয়।
3. রৈখিক সিস্টেম \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) সমাধান করে স্থানচ্যুতি সংশোধন \(\Delta \boldsymbol{u}\) পাওয়া হয়।
4. সমাধানকে \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\) দিয়ে হালনাগাদ করা হয়।
5. অভিসৃতি মানদণ্ডের সঙ্গে তুলনা করা হয়; অভিসৃত হলে পুনরাবৃত্তি শেষ, না হলে 1 নম্বর ধাপে ফেরা হয়।

রৈখিক সিস্টেম সমাধান (ধাপ 3) রৈখিক সলভার সম্পন্ন করে। সলভার/প্রিকন্ডিশনার নির্বাচনের জন্য সলভার ও প্রিকন্ডিশনিং দেখুন।

পুনরাবৃত্তি নিয়ন্ত্রণ !STEP-এর ধাপ-নিয়ন্ত্রণ প্যারামিটার দিয়ে করা হয়। প্রধান নিয়ন্ত্রণ মান:

স্টেপ নিয়ন্ত্রণ-এর স্বয়ংক্রিয় বৃদ্ধি/cutback বিচারকাজে ব্যবহৃত সর্বোচ্চ Newton পুনরাবৃত্তি সংখ্যা এখানকার Newton পুনরাবৃত্তি-ই বোঝায়। স্বয়ংক্রিয় বৃদ্ধি কম পুনরাবৃত্তি লাগা সাবস্টেপের পরে সময় বৃদ্ধি বাড়ায় এবং বেশি পুনরাবৃত্তি লাগা সাবস্টেপের পরে কমায়।

স্থির বিশ্লেষণের সংস্পর্শ পুনরাবৃত্তি¶

সংস্পর্শ বিশ্লেষণে সংস্পর্শ পৃষ্ঠের স্টিক, বিচ্ছেদ ও স্লিপের কারণে পুনরাবৃত্তি চলাকালে সংস্পর্শ অবস্থা বদলায়, তাই Newton পুনরাবৃত্তি সংস্পর্শ-অবস্থা হালনাগাদের সঙ্গে মিলিয়ে গঠিত হয়। কাঠামো সংস্পর্শ সমাধান অ্যালগরিদম অনুযায়ী ভিন্ন।

উভয় অ্যালগরিদমেই সবচেয়ে বাইরের স্তরে সংস্পর্শ-অবস্থা অনুসন্ধান লুপ থাকে। প্রতিবার ভেতরের Newton পুনরাবৃত্তি অভিসৃত হওয়ার পর সংস্পর্শ অবস্থা (স্টিক/বিচ্ছেদ) পুনর্মূল্যায়ন করা হয়। অবস্থা বদলালে দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্সের কাঠামো হালনাগাদ করে আবার অভ্যন্তরীণ পুনরাবৃত্তি চালানো হয়। সংস্পর্শ অবস্থা আগেরবারের মতো থাকে এবং সংস্পর্শ অভিসৃতি মানদণ্ড (সংস্পর্শ বল/Lagrange গুণক মানদণ্ড) পূরণ হলে লুপ শেষ হয়। ঊর্ধ্বসীমা !STEP-এর MAXCONTITER-এ নির্দিষ্ট।

SLAGRANGE সংস্পর্শে মানক Lagrange গুণক পদ্ধতি দিয়ে সংস্পর্শ স্বাধীনতার মাত্রা রৈখিক সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত হয় এবং সংস্পর্শ-অবস্থা অনুসন্ধান লুপের ভেতর Newton পুনরাবৃত্তি সরাসরি থাকে—দুই-স্তর কাঠামো। বর্ধিত Lagrange পুনরাবৃত্তি নেই।

ALAGRANGE সংস্পর্শে সংস্পর্শ-অবস্থা অনুসন্ধান লুপের ভেতরে বর্ধিত Lagrange পুনরাবৃত্তি এবং তার ভেতরে Newton পুনরাবৃত্তি থাকে—তিন-স্তর কাঠামো। প্রতিটি বর্ধিত Lagrange পুনরাবৃত্তিতে পেনাল্টি পদ ও Lagrange গুণকের সমন্বয় দিয়ে সংস্পর্শ বাধা আবার মূল্যায়ন করে বাধা নির্ভুলতা ধাপে ধাপে উন্নত করা হয়। বর্ধিত Lagrange পুনরাবৃত্তি ঊর্ধ্বসীমা !CONTACT_ALGO-এর AUGITER-এ নির্দিষ্ট।

সংস্পর্শ পুনরাবৃত্তির নিয়ন্ত্রণ মান:

স্টেপ নিয়ন্ত্রণ-এর স্বয়ংক্রিয়-বৃদ্ধি মানদণ্ডে উল্লেখিত সংস্পর্শ পুনরাবৃত্তি সংখ্যা এখানকার সংস্পর্শ-অবস্থা হালনাগাদ-সহ পুনরাবৃত্তি সংখ্যা। স্টিক/বিচ্ছেদ বারবার হলে সংস্পর্শ পুনরাবৃত্তি সংখ্যা বাড়ে এবং স্বয়ংক্রিয় বৃদ্ধি/cutback মানদণ্ডও প্রভাবিত হয়। সংস্পর্শ ধরন, জোড়া সংজ্ঞা ও অ্যালগরিদম নির্বাচনের জন্য সংস্পর্শ ও এমবেডিং দেখুন। সংস্পর্শ স্বাধীনতার মাত্রা-সহ রৈখিক সিস্টেমের সমাধানের জন্য সলভার ও প্রিকন্ডিশনিং দেখুন।

গতিশীল বিশ্লেষণের সময়-সমাকলন (অন্তর্নিহিত পদ্ধতি)¶

গতিশীল বিশ্লেষণের অন্তর্নিহিত পদ্ধতি Newmark-β পদ্ধতি দিয়ে প্রতিটি সময় ধাপে পরের সময়ের স্থানচ্যুতি, বেগ ও ত্বরণকে সম্পর্কিত করে গতি সমীকরণের সঙ্গে মিলিয়ে সময় \(t + \Delta t\)-এর অবস্থা নির্ণয় করে। সময় বৃদ্ধি \(\Delta t\)-এর স্থিতিশীলতা সীমাবদ্ধতা তুলনামূলক শিথিল, তাই নিম্ন-কম্পাঙ্ক উপাংশ প্রধান কাঠামোগত প্রতিক্রিয়া দক্ষভাবে সমাধান করা যায়।

সময় সমাকলনের প্যারামিটার 2টি:

\(\beta = 1/4\), \(\gamma = 1/2\) সমন্বয়কে গড়-ত্বরণ পদ্ধতি বলা হয়; এটি শর্তহীনভাবে স্থিতিশীল এবং সাংখ্যিক ড্যাম্পিং-বিহীন মানক নির্বাচন। সাংখ্যিক ড্যাম্পিং যোগ করতে \(\gamma\)-কে \(1/2\)-এর বেশি নেওয়া হয়। প্যারামিটার সমন্বয় এবং স্থিতিশীলতা/ত্রুটি বৈশিষ্ট্যের গাণিতিক বিস্তারিত তত্ত্ব ম্যানুয়ালে দেখুন।

অরৈখিকতা (জ্যামিতিক, পদার্থ, সংস্পর্শ) থাকলে প্রতিটি সময় ধাপের ভিতরে Newton পুনরাবৃত্তি চালানো হয় এবং পুনরাবৃত্তির মধ্যে রৈখিক সিস্টেম সমাধান করে অবস্থা হালনাগাদ করা হয়। অভিসৃতি মানদণ্ড হিসেবে স্থির বিশ্লেষণের CONVERG ইত্যাদি ব্যবহৃত হয়। সংস্পর্শ-সহ গতিশীল বিশ্লেষণে স্থির বিশ্লেষণের সংস্পর্শ পুনরাবৃত্তি-এর একই পুনরাবৃত্তি কাঠামো সময় ধাপের মধ্যে বসে।

গতিশীল বিশ্লেষণের সময় ধাপ মূলত !STEP-এর সময় শর্ত দিয়ে নিয়ন্ত্রিত হয়। স্থির বৃদ্ধিতে !STEP-এর DTIME সময় ধাপ এবং ETIME ধাপ সময় প্রস্থ। !DYNAMIC-এর n_step ও t_delta হলো !STEP বাদ দিলে বা পশ্চাৎ-সামঞ্জস্যের জন্য ডিফল্ট মান। অরৈখিক অন্তর্নিহিত পদ্ধতিতে !STEP-এর INC_TYPE=AUTO দিয়ে স্বয়ংক্রিয় বৃদ্ধি/cutback সক্রিয় করা যায় এবং Newton/সংস্পর্শ পুনরাবৃত্তির অবস্থার উপর সময় ধাপ বাড়ানো/কমানো হয়। স্থির বা স্বয়ংক্রিয়—দুই ক্ষেত্রেই সময় ধাপ অভিসৃতি এবং প্রয়োজনীয় নির্ভুলতা উভয় দিক থেকে নির্ধারণ করুন।

গতিশীল বিশ্লেষণের সময়-সমাকলন (সুস্পষ্ট পদ্ধতি)¶

গতিশীল বিশ্লেষণের সুস্পষ্ট পদ্ধতি কেন্দ্রীয়-পার্থক্য পদ্ধতি ব্যবহার করে আগের সময়ের স্থানচ্যুতি, বেগ ও ত্বরণ থেকেই পরের সময়ের অবস্থা সরাসরি গণনা করে। যুগপৎ সমীকরণ সিস্টেম সমাধান না করায় 1 ধাপের গণনামূলক ব্যয় ছোট। অরৈখিকতা থাকলেও প্রতিটি সময় ধাপে Newton পুনরাবৃত্তি ছাড়া এক-ধাপীয় হালনাগাদ হয়।

সময় ধাপের ঊর্ধ্বসীমা সিস্টেমের সর্বনিম্ন প্রাকৃতিক পর্যায়কাল-ভিত্তিক স্থিতিশীলতা শর্ত (CFL শর্ত) দ্বারা নির্ধারিত। এর বেশি সময় ধাপে সাংখ্যিক সমাধান বিচ্যুত হয়, তাই অন্তর্নিহিত পদ্ধতির মতো বড় সময় ধাপ নেওয়া যায় না। আঘাত, তরঙ্গ প্রসারণ ও উচ্চ-গতির সংস্পর্শের মতো স্বভাবতই ছোট সময় ধাপ দরকার এমন ঘটনায় সুস্পষ্ট পদ্ধতি সুবিধাজনক।

সংস্পর্শ থাকলে ফরোয়ার্ড বৃদ্ধি Lagrange পদ্ধতিতে সংস্পর্শ বাধা প্রয়োগ করা হয়। সুস্পষ্ট পদ্ধতির এক-ধাপীয় হালনাগাদের সঙ্গে সামঞ্জস্য রেখে সংস্পর্শ বল মূল্যায়ন করা হয়।

কম্পাঙ্ক প্রতিক্রিয়া বিশ্লেষণের সমাধান¶

কম্পাঙ্ক প্রতিক্রিয়া বিশ্লেষণ মোড-সুপারপজিশন পদ্ধতিতে পর্যায়ক্রমিক স্থির-অবস্থা প্রতিক্রিয়া কম্পাঙ্ক ডোমেইনে সরাসরি নির্ণয় করে। উত্তেজনা কম্পাঙ্ক বদলাতে বদলাতে প্রতিক্রিয়া মূল্যায়ন হয়; সময় ইতিহাস পুনরাবৃত্তি করে অনুসরণ করতে হয় না। অরৈখিক পুনরাবৃত্তি বা সময় সমাকলন কোনোটিই হয় না।

এই বিশ্লেষণ চালানোর আগে একই সিস্টেমে মোডাল বিশ্লেষণ করে প্রয়োজনীয় সংখ্যক স্বাভাবিক মোড বের করতে হয়। শুধু রৈখিক মডেল সমর্থিত; জ্যামিতিক/পদার্থ অরৈখিকতা সক্রিয় করলে চালানো যায় না। বিশ্লেষণ ধরনের অবস্থান বিশ্লেষণের ধরন দেখুন।

ট্রান্সিয়েন্ট তাপ পরিবহনের সময় অগ্রগমন ও অরৈখিক পুনরাবৃত্তি¶

ট্রান্সিয়েন্ট তাপ পরিবহনের নিজস্ব সময় লুপ !HEAT-এর মধ্যে সম্পূর্ণ হয়। কাঠামোগত বিশ্লেষণের !STEP ও !AUTOINC_PARAM থেকে আলাদা পথে সময় ধাপ নিয়ন্ত্রণ করে এবং পদার্থ ধর্ম তাপমাত্রা-নির্ভর হলে প্রতিটি সময় ধাপের ভেতরে অরৈখিক পুনরাবৃত্তি চালায়।

সময়-সমাকলন স্কিম !HEAT-এর \(\beta\) প্যারামিটার দিয়ে নির্বাচন করা হয়।

সময় ধাপ প্রাথমিক সময় ধাপ, সর্বনিম্ন সময় ধাপ এবং প্রতি 1 ধাপের সর্বোচ্চ তাপমাত্রা পরিবর্তন মিলিয়ে অভিযোজিতভাবে নিয়ন্ত্রিত হয়। প্রতিটি সময় ধাপের গণনার পর তাপমাত্রা পরিবর্তন DELTMX ছাড়ালে সময় ধাপ কমিয়ে পুনরায় গণনা করা হয়। সময় ধাপ সর্বনিম্ন মান DTMIN-এর নিচে গেলে বিশ্লেষণ বন্ধ হয়।

পদার্থ ধর্ম তাপমাত্রা-নির্ভর হলে প্রতিটি সময় ধাপের ভেতরে অরৈখিক পুনরাবৃত্তি হয়। নিয়ন্ত্রণ:

স্থির তাপ পরিবহনে সময় ধাপ নেই; পদার্থ তাপমাত্রা-নির্ভর হলে শুধু অরৈখিক পুনরাবৃত্তি হয়। তাপ-পরিবহন সময় নিয়ন্ত্রণ কাঠামোগত বিশ্লেষণের !STEP থেকে স্বাধীন, তাই সময় ধাপ সামঞ্জস্যে !HEAT পরীক্ষা করুন।

সংশ্লিষ্ট বিষয়¶

• বিশ্লেষণের ধরন — বিশ্লেষণ ধরনের অবস্থান।
• সংস্পর্শ ও এমবেডিং — সংস্পর্শ ধরন, জোড়া সংজ্ঞা ও সমাধান অ্যালগরিদম নির্বাচন।
• সলভার ও প্রিকন্ডিশনিং — Newton পুনরাবৃত্তির মধ্যে রৈখিক যুগপৎ সমীকরণ সমাধান।
• স্টেপ নিয়ন্ত্রণ — বহিঃ ধাপ/সাবস্টেপ নিয়ন্ত্রণ এবং স্বয়ংক্রিয় বৃদ্ধি/cutback।
• Newton-Raphson পদ্ধতি (তত্ত্ব) — পুনরাবৃত্তিমূলক সমাধানের ফর্মুলেশন।
• অভিসৃতি বিচার (তত্ত্ব) — অভিসৃতি সূচকের গাণিতিক সংজ্ঞা।
• গতিশীল বিশ্লেষণ পদ্ধতি (তত্ত্ব) — Newmark-β এবং কেন্দ্রীয়-পার্থক্য পদ্ধতির ফর্মুলেশন।
• ট্রান্সিয়েন্ট তাপ পরিবহন বিশ্লেষণ (তত্ত্ব) — তাপ-পরিবহন সময় সমাকলনের ফর্মুলেশন।
• সংস্পর্শ বিশ্লেষণ (তত্ত্ব) — Lagrange গুণক পদ্ধতির ফর্মুলেশন।
• কীওয়ার্ড রেফারেন্স: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT।