কনটেন্টে যান

রৈখিক স্থিতিস্থাপক স্থির বিশ্লেষণ (ভূমিকা)

এখানে ক্ষুদ্র বিকৃতি তত্ত্বের ভিত্তিতে স্থিতিস্থাপক স্থির বিশ্লেষণের প্রণয়ন দেখানো হয়েছে। পীড়ন-স্ট্রেন সম্পর্ক হিসেবে রৈখিক স্থিতিস্থাপকতা ধরা হয়েছে। এই অধ্যায়টি সসীম উপাদান পদ্ধতিতে কাঠামোগত বিশ্লেষণের সামগ্রিক চিত্র বোঝার জন্য একটি ভূমিকা; এক অধ্যায়েই স্বয়ংসম্পূর্ণভাবে পড়া যায়।

ভার্চুয়াল কাজের নীতির সাধারণ আলোচনা (বর্তমান বিন্যাস, প্রাথমিক বিন্যাস ও ক্ষুদ্র বিকৃতিতে প্রত্যাবর্তন) ভার্চুয়াল কাজের নীতি-তে, রৈখিক স্থিতিস্থাপক গঠনমূলক সম্পর্কের বিস্তারিত রৈখিক স্থিতিস্থাপকতা-তে, টেনসর নোটেশন ও Voigt নোটেশনের নিয়ম টেনসর নোটেশন ও গাণিতিক ভিত্তি-তে, সসীম বিকৃতির সাধারণ প্রণয়ন গতি, বিকৃতি ও স্ট্রেন-এ এবং অরৈখিক সমস্যার সমাধানপদ্ধতি স্পর্শক দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্স-এ দেখুন।

মৌলিক সমীকরণ

ক্ষুদ্র বিকৃতি ও রৈখিক স্থিতিস্থাপকতার অনুমানের অধীনে কঠিন বলবিদ্যার সীমানা-মূল্য সমস্যা সাম্যাবস্থা সমীকরণ, যান্ত্রিক সীমানা শর্ত এবং জ্যামিতিক সীমানা শর্ত (মৌলিক সীমানা শর্ত) নিয়ে গঠিত (চিত্র 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{অঞ্চল:} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{সীমানা:} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{সীমানা:} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

এখানে \(\boldsymbol{\sigma}\) হলো Cauchy পীড়ন, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) একক আয়তনে বস্তুবল, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) পৃষ্ঠবল (নির্ধারিত মান), \(\overline{\boldsymbol{u}}\) নির্ধারিত স্থানচ্যুতি এবং \(S_t, S_u\) যথাক্রমে যান্ত্রিক ও জ্যামিতিক সীমানা।

কঠিন বলবিদ্যায় সীমানা-মূল্য সমস্যা (ক্ষুদ্র বিকৃতি সমস্যা)

চিত্র 2.1.1 কঠিন বলবিদ্যায় সীমানা-মূল্য সমস্যা (ক্ষুদ্র বিকৃতি সমস্যা)

স্ট্রেন-স্থানচ্যুতি সম্পর্ক সমমিত গ্রেডিয়েন্ট অপারেটর ব্যবহার করে

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

এবং রৈখিক স্থিতিস্থাপক গঠন-সমীকরণ

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

দিয়ে দেওয়া হয় (\(\boldsymbol{C}\) চতুর্থ-ক্রমের স্থিতিস্থাপকতা টেনসর)।

ভার্চুয়াল কাজের নীতি

ভার্চুয়াল কাজের নীতির সাধারণ রূপ—বর্তমান বিন্যাস, প্রাথমিক বিন্যাস এবং ক্ষুদ্র বিকৃতিতে প্রত্যাবর্তন—ভার্চুয়াল কাজের নীতি-তে একত্র করা হয়েছে। ক্ষুদ্র বিকৃতি ও রৈখিক স্থিতিস্থাপকতার অনুমানের অধীনে দুর্বল রূপটি হলো

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{সীমানা:} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

গঠন-সমীকরণ \eqref{eq:2.1.5} প্রতিস্থাপন করে Voigt নোটেশন-এ \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) লিখলে, বিচ্ছিন্নীকরণে সরাসরি ব্যবহারের উপযোগী রূপ

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

পাওয়া যায় (এখানে \(D\) হলো রৈখিক স্থিতিস্থাপকতা-এর স্থিতিস্থাপকতা ম্যাট্রিক্স)। সমীকরণ \eqref{eq:2.1.10} এবং \eqref{eq:2.1.7}-ই নিচে বিচ্ছিন্নীকৃত ভার্চুয়াল কাজের নীতি।

বিচ্ছিন্নীকরণ ও সামগ্রিক সমীকরণের সংযোজন

ভার্চুয়াল কাজের নীতির সমীকরণ \( \eqref{eq:2.1.10} \)-কে প্রতিটি সসীম উপাদানে বিচ্ছিন্নীকরণ করলে পাওয়া যায়

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

প্রতিটি উপাদানে, উপাদানটি গঠনকারী নোডগুলোর স্থানচ্যুতি ব্যবহার করে স্থানচ্যুতি ক্ষেত্রকে নিচের মতো অন্তর্বর্তী করা হয়।

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

তখন স্ট্রেন, সমীকরণ \(\eqref{eq:2.1.4}\) ব্যবহার করে, নিচের মতো হয়।

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

সমীকরণ \(\eqref{eq:2.1.12}\) ও \(\eqref{eq:2.1.13}\)-কে \(\eqref{eq:2.1.11}\)-এ বসালে পাওয়া যায়

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

সমীকরণ \(\eqref{eq:2.1.14}\)-কে নিচের মতো সংক্ষেপ করা যায়।

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

এখানে সমীকরণ \(\eqref{eq:2.1.16}\) ও \(\eqref{eq:2.1.17}\)-এ সংজ্ঞায়িত ম্যাট্রিক্স ও ভেক্টরের উপাংশ প্রতিটি সসীম উপাদানের জন্য গণনা করে একটির ওপর আরেকটি সংযোজন করা যায়।

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

সমীকরণ \(\eqref{eq:2.1.15}\) যেহেতু যেকোনো ভার্চুয়াল স্থানচ্যুতি \(\delta \boldsymbol{U}\)-এর জন্যসত্য হয়, তাই

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

পাওয়া যায়। অন্যদিকে স্থানচ্যুতি সীমানা শর্ত \(\eqref{eq:2.1.3}\) লেখা যায়

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

রূপে। সমীকরণ \(\eqref{eq:2.1.18}\)-কে বাধা শর্ত সমীকরণ \(\eqref{eq:2.1.19}\)-এর অধীনে সমাধান করে নোডীয় স্থানচ্যুতি \(\boldsymbol{U}\) নির্ধারণ করা যায়।

সংশ্লিষ্ট বিষয়